Введение
Физика, связанная с критическими точками. В физике критические явления – это общее название для физики критических точек. Большинство из них обусловлены расхождением длины корреляции, а также замедлением динамики. Критические явления включают в себя масштабирование соотношений между различными величинами, степенные расхождения некоторых величин (например, магнитной восприимчивости в ферромагнитном фазовом переходе), описываемые критическими показателями, универсальность, фрактальное поведение и нарушение эргодичности. Критические явления наблюдаются во фазовых переходах второго рода, хотя и не только в них. Критическое поведение обычно отличается от приближения среднего поля, которое справедливо вдали от фазового перехода, поскольку последнее не учитывает корреляции, которые становятся все более важными по мере приближения системы к критической точке, где длина корреляции расходится. Многие свойства критического поведения системы могут быть выведены в рамках теории ренормализационной группы. Чтобы объяснить физическую природу этих явлений, мы будем использовать модель Изинга в качестве наглядного примера.
In physics, critical phenomena is the collective name associated with the
physics of critical points. Most of them stem from the divergence of the
correlation length, but also the dynamics slows down. Critical phenomena include scaling relations among different quantities, power law divergences of some quantities (such as the magnetic susceptibility in the ferromagnetic phase transition) described by critical exponents, universality, fractal behaviour, and ergodicity breaking. Critical phenomena take place in second order phase transitions, although not exclusively. The critical behavior is usually different from the mean field approximation which is valid away from the phase transition, since the latter neglects correlations, which become increasingly important as the system approaches the critical point where the correlation length diverges. Many properties of the critical behavior of a system can be derived in the framework of the renormalization group. In order to explain the physical origin of these phenomena, we shall use the Ising model as a pedagogical example.
Расхождения в критической точке
Длина корреляции расходится в критической точке: как ξ → ∞. Это расхождение не представляет собой физической проблемы. Другие физические величины также расходится в этой точке, что поначалу может вводить в заблуждение. Наиболее важной из них является восприимчивость. Приложим очень слабое магнитное поле к системе в критической точке. Очень слабое магнитное поле не способно намагнитить большое когерентное скопление, но в случае фрактальных скоплений ситуация меняется. Оно легко воздействует на кластеры наименьшего размера, поскольку они демонстрируют почти парамагнитное поведение. Но это изменение, в свою очередь, влияет на кластеры следующего масштаба, и возмущение распространяется по иерархии, пока вся система не претерпит радикальные изменения. Таким образом, критические системы чрезвычайно чувствительны к малым изменениям во внешней среде. Другие наблюдаемые, такие как удельная теплоемкость, также могут расходиться в этой точке. Все эти расходимости обусловлены расхождением длины корреляции.
system in the critical point. A very small magnetic field is not able to magnetize a large coherent cluster, but with these fractal clusters the picture changes. It affects easily the smallest size clusters, since they have a nearly paramagnetic behaviour. But this change, in its turn, affects the next scale clusters, and the perturbation climbs the ladder until the whole system changes radically. Thus, critical systems are very sensitive to small changes in the environment. Other observables, such as the specific heat, may also diverge at this point. All these divergences stem from that of the correlation length.
Критические показатели и универсальность
При приближении к критической точке эти различающиеся наблюдаемые ведут себя как ~ для некоторого показателя степени α, где, как правило, значение показателя α одинаково выше и ниже Tc. Эти показатели степени называются критическими показателями и являются устойчивыми наблюдаемыми. Более того, они принимают одни и те же значения для очень разных физических систем. Это интригующее явление, называемое универсальностью, объясняется группой ренормализации как качественно, так и количественно.
Критическая динамика
Критические явления могут возникать и для динамических величин, не только для статических. Фактически, расходимость характерного времени системы напрямую связана с расхождением длины тепловой корреляции посредством введения динамического показателя z и соотношения. Объемный класс статической универсальности системы расщепляется на различные, менее объемные классы динамической универсальности с разными значениями z, но общим статическим критическим поведением, и при приближении к критической точке можно наблюдать всевозможные явления замедления. Расходимость времени релаксации вблизи критической точки приводит к сингулярностям в различных величинах коллективного транспорта, например, в интердиффузии, динамической вязкости и объемной вязкости. Динамические критические показатели подчиняются определенным законам масштабирования, а именно , где d – размерность пространства. Существует только один независимый динамический критический показатель. Значения этих показателей определяются различными классами универсальности. В соответствии с номенклатурой Хогенберга — Халперина, для универсального класса модели H (жидкостей) .
but a common static critical behaviour, and by approaching the critical point one may observe all kinds of slowing down phenomena. The divergence of relaxation time at criticality leads to singularities in various collective transport quantities, e. g., the interdiffusivity, shear viscosity , and bulk viscosity The dynamic critical exponents follow certain scaling relations, viz., , where d is the space dimension. There is only one independent dynamic critical exponent. Values of these exponents are dictated by several universality classes. According to the Hohenberg−Halperin nomenclature, for the model H universality class (fluids) .
Математические инструменты
Основными математическими инструментами для изучения критических точек являются группа ренормализации, которая использует аналогию русских матрешек или самоподобие для объяснения универсальности и численного предсказания критических показателей, и вариационная теория возмущений, преобразующая расходящиеся ряды возмущений в сходящиеся ряды для сильных взаимодействий, применимые к критическим явлениям. В двухмерных системах конформная теория поля является мощным инструментом, позволившим открыть множество новых свойств 2D критических систем, опираясь на тот факт, что масштабная инвариантность, вместе с некоторыми другими условиями, приводит к бесконечной группе симметрий.
Критический момент в теории групп ренормализации
Критическая точка описывается конформной теорией поля. Согласно теории ренормализационной группы, определяющим свойством критичности является то, что характерный масштаб длины структуры физической системы, также известный как длина корреляции ξ, становится бесконечным. Это может происходить вдоль критических линий в фазовом пространстве. Этот эффект является причиной критической опалесценции, наблюдаемой при приближении бинарной смеси жидкостей к критической точке разделения фаз жидкость-жидкость. В системах, находящихся в равновесии, критическая точка достигается только при точной настройке управляющего параметра. Однако в некоторых неравновесных системах критическая точка является аттрактором динамики, устойчивым к изменениям параметров системы, что называется самоорганизованной критичностью.
Приложения
Приложения встречаются в физике и химии, но также и в таких областях, как социология. Например, естественно описать систему двух политических партий с помощью модели Изинга. Таким образом, при переходе от одного доминирующего положения к другому могут проявиться вышеупомянутые критические явления.