Квантовый эффект Холла: точная квантизация и фундаментальные константы.
Quantum Hall effect
Квантовый эффект Холла: физическое явление в двумерных электронных системах при низких температурах и сильных магнитных полях. Квантование сопротивления.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Электромагнитный эффект в физике
Квантовый эффект Холла (или эффект Холла с целым квантованием) — это квантованная версия эффекта Холла, наблюдаемая в двумерных электронных системах при низких температурах и в сильных магнитных полях, в которой сопротивление Холла Rxy демонстрирует ступенчатое изменение, принимая квантованные значения:
Electromagnetic effect in physics
The quantum Hall effect (or integer quantum Hall effect) is a quantized version of the Hall effect which is observed in two dimensional electron systems subjected to low temperatures and strong magnetic fields, in which the Hall resistance Rxy exhibits steps that take on the quantized values
где VHall — напряжение Холла, Ichannel — ток канала, e — элементарный заряд, а h — постоянная Планка. Делитель [[Nu (буква)] может принимать как целые, так и дробные значения. Здесь [[Nu (буква)] приблизительно, но не точно, равен коэффициенту заполнения уровней Ландау. Квантовый эффект Холла называют эффектом Холла с целым или дробным квантованием в зависимости от того, является ли ν целым или дробным числом соответственно. Характерной особенностью эффекта Холла с целым квантованием является устойчивость квантования (то есть плато Холла) при изменении плотности электронов. Поскольку плотность электронов остаётся постоянной, когда уровень Ферми находится в чистом спектральном зазоре, эта ситуация соответствует случаю, когда уровень Ферми представляет собой энергию с конечной плотностью состояний, хотя эти состояния локализованы (см. Локализация Андерсона). Дробный квантовый эффект Холла более сложен и до сих пор остаётся открытой исследовательской проблемой. Его существование принципиально зависит от взаимодействия между электронами. В 1988 году было предложено, что существует квантовый эффект Холла, не связанный с уровнями Ландау.
where VHall is the Hall voltage, Ichannel is the channel current, e is the elementary charge and h is the Planck constant. The divisor [[Nu (letter) can take on either integer or fractional values. Here, [[Nu (letter) is roughly but not exactly equal to the filling factor of Landau levels. The quantum Hall effect is referred to as the integer or fractional quantum Hall effect depending on whether ν is an integer or fraction, respectively. The striking feature of the integer quantum Hall effect is the persistence of the quantization (i. e. the Hall plateau) as the electron density is varied. Since the electron density remains constant when the Fermi level is in a clean spectral gap, this situation corresponds to one where the Fermi level is an energy with a finite density of states, though these states are localized (see Anderson localization). The fractional quantum Hall effect is more complicated and still considered an open research problem. Its existence relies fundamentally on electron–electron interactions. In 1988, it was proposed that there was a quantum Hall effect without Landau levels.
Приложения
Квантование холловской проводимости обладает важным свойством – исключительной точностью. Фактические измерения холловской проводимости оказались равными целочисленным или дробным кратным величины с точностью до одной части на миллиард. Это позволило определить новый практический стандарт электрического сопротивления, основанный на кванте сопротивления, задаваемом постоянной фон Клицинга RK. Этот стандарт назван в честь Клауса фон Клицинга, открывшего точное квантование. Квантовый эффект Холла также обеспечивает чрезвычайно точное независимое определение постоянной тонкой структуры, величины, имеющей фундаментальное значение в квантовой электродинамике. В 1990 году было установлено фиксированное условное значение для использования в калибровках сопротивления по всему миру. 16 ноября 2018 года на 26-й конференции Генеральной конференции по мерам и весам было принято решение зафиксировать точные значения постоянной Планка (h) и элементарного заряда (e), заменив значение 1990 года точным постоянным значением.
The quantization of the Hall conductance has the important property of being exceedingly precise. Actual measurements of the Hall conductance have been found to be integer or fractional multiples of to nearly one part in a billion. It has allowed for the definition of a new practical standard for electrical resistance, based on the resistance quantum given by the von Klitzing constant RK. This is named after Klaus von Klitzing, the discoverer of exact quantization. The quantum Hall effect also provides an extremely precise independent determination of the fine structure constant, a quantity of fundamental importance in quantum electrodynamics. In 1990, a fixed conventional value was defined for use in resistance calibrations worldwide. On 16 November 2018, the 26th meeting of the General Conference on Weights and Measures decided to fix exact values of h (the Planck constant) and e (the elementary charge), superseding the 1990 value with an exact permanent value .
Статус исследований
Целое квантовое число Холла рассматривается как часть точного квантования. Точное квантование в полной мере не до конца понято, но оно объясняется как очень тонкое проявление комбинации принципа калибровочной инвариантности вместе с другой симметрией (см. Аномалии). В то же время, целое квантовое число Холла считается решенной исследовательской задачей. Существуют и другие модели, объясняющие дробный квантовый эффект Холла. В настоящее время это остается открытой исследовательской проблемой, поскольку не существует единого, подтвержденного и общепринятого списка дробных квантовых чисел, а также единой общепринятой модели для их объяснения, хотя подобные утверждения существуют в рамках теории составных фермионов и неабелевых лагранжианов Черна — Саймонса.
The integer quantum hall is considered part of exact quantization. Exact quantization in full generality is not completely understood but it has been explained as a very subtle manifestation of the combination of the principle of gauge invariance together with another symmetry (see Anomalies). The integer quantum hall instead is considered a solved research problem Other models to explain the Fractional Quantum Hall Effect also exists. Currently it is considered an open research problem because no single, confirmed and agreed list of fractional quantum numbers exists, neither a single agreed model to explain all of them, although there are such claims in the scope of composite fermions and Non Abelian Chern–Simons Lagrangians.
Фотонический квантовый эффект Холла
Квантовый эффект Холла, помимо наблюдения в двумерных электронных системах, может наблюдаться и в фотонах. Фотоны не имеют собственного электрического заряда, но посредством манипулирования дискретными оптическими резонаторами и фазами связи или фазами на элементах, можно создать искусственное магнитное поле. Этот процесс можно представить метафорой фотонов, отражающихся от нескольких зеркал. Направляя свет между множеством зеркал, фотоны перенаправляются и приобретают дополнительную фазу, пропорциональную их угловому моменту. Это создает эффект, эквивалентный нахождению в магнитном поле.
The quantum Hall effect, in addition to being observed in two dimensional electron systems, can be observed in photons. Photons do not possess inherent electric charge, but through the manipulation of discrete optical resonators and coupling phases or on site phases, an artificial magnetic field can be created. This process can be expressed through a metaphor of photons bouncing between multiple mirrors. By shooting the light across multiple mirrors, the photons are routed and gain additional phase proportional to their angular momentum. This creates an effect like they are in a magnetic field.
Топологическая классификация
Целые числа, возникающие в эффекте Холла, являются примерами топологических квантовых чисел. В математике они известны как первые числа Черна и тесно связаны с фазой Берри. В этом контексте модель Azbel–Harper–Hofstadter представляет собой особенно интересный пример, квантовая диаграмма фаз которой изображена на рисунке в виде бабочки Хофштадтера. Вертикальная ось соответствует напряженности магнитного поля, а горизонтальная – химическому потенциалу, определяющему плотность электронов. Цвета обозначают целочисленные значения холловской проводимости. Тёплые цвета соответствуют положительным целым числам, а холодные – отрицательным. Однако следует отметить, что плотность состояний в областях с квантованной холловской проводимостью равна нулю, поэтому они не могут обуславливать плато, наблюдаемые в экспериментах. Диаграмма фаз является фрактальной и обладает структурой во всех масштабах. На рисунке заметна самоподобие. При наличии беспорядка, являющегося причиной возникновения плато в экспериментах, эта диаграмма существенно изменяется, и фрактальная структура в основном исчезает. Кроме того, эксперименты контролируют фактор заполнения, а не энергию Ферми. Если эта диаграмма построена как функция фактора заполнения, все особенности полностью сглаживаются, и она практически не имеет отношения к реальной физике эффекта Холла. Что касается физических механизмов, примеси и/или особые состояния (например, краевые токи) играют важную роль как в "целочисленном", так и в "дробном" эффектах. Кроме того, кулоновское взаимодействие также необходимо для дробного квантового эффекта Холла. Наблюдаемое сильное сходство между целочисленным и дробным квантовым эффектами Холла объясняется тенденцией электронов образовывать связанные состояния с чётным числом квантов магнитного потока, называемых композитными фермионами.
The integers that appear in the Hall effect are examples of topological quantum numbers. They are known in mathematics as the first Chern numbers and are closely related to Berry's phase. A striking model of much interest in this context is the Azbel–Harper–Hofstadter model whose quantum phase diagram is the Hofstadter butterfly shown in the figure. The vertical axis is the strength of the magnetic field and the horizontal axis is the chemical potential, which fixes the electron density. The colors represent the integer Hall conductances. Warm colors represent positive integers and cold colors negative integers. Note, however, that the density of states in these regions of quantized Hall conductance is zero; hence, they cannot produce the plateaus observed in the experiments. The phase diagram is fractal and has structure on all scales. In the figure there is an obvious self similarity. In the presence of disorder, which is the source of the plateaus seen in the experiments, this diagram is very different and the fractal structure is mostly washed away. Also, the experiments control the filling factor and not the Fermi energy. If this diagram is plotted as a function of filling factor, all the features are completely washed away, hence, it has very little to do with the actual Hall physics. Concerning physical mechanisms, impurities and/or particular states (e. g., edge currents) are important for both the 'integer' and 'fractional' effects. In addition, Coulomb interaction is also essential in the fractional quantum Hall effect. The observed strong similarity between integer and fractional quantum Hall effects is explained by the tendency of electrons to form bound states with an even number of magnetic flux quanta, called composite fermions.
Релятивистские аналоги
Релятивистские примеры целочисленного квантового эффекта Холла и квантового спинового эффекта Холла возникают в рамках теории решетчатого калибровочного поля.
Relativistic examples of the integer quantum Hall effect and quantum spin Hall effect arise in the context of lattice gauge theory.