Оценка величины: метод Ферми в физическом и инженерном образовании
Fermi problem
Физические задачи Ферми: оценка величин и порядков в науке и инженерии. Метод приближенных вычислений, названный в честь Энрико Ферми, для обучения и анализа.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Проблема оценки в физическом или инженерном образовании
Метод оценки
Estimation problem in physics or engineering education
the estimation technique
В физическом или инженерном образовании проблема Ферми (или тест Ферми, вопрос Ферми, оценка Ферми), также известная как задача на оценку порядка величины (или оценка порядка величины, оценка порядка), представляет собой задачу оценки, предназначенную для обучения размерностному анализу или приближению сложных научных расчетов. Такая задача обычно решается методом быстрой прикидки. Метод оценки назван в честь физика Энрико Ферми, поскольку он был известен своей способностью выполнять точные приближенные вычисления, располагая небольшим количеством данных или не располагая ими вовсе. Проблемы Ферми обычно включают в себя обоснованные предположения о величинах и их разбросе, а также определение нижних и верхних границ. В некоторых случаях оценки порядка величины также могут быть получены с помощью размерностного анализа.
In physics or engineering education, a Fermi problem (or Fermi quiz, Fermi question, Fermi estimate), also known as a order of magnitude problem (or order of magnitude estimate, order estimation), is an estimation problem designed to teach dimensional analysis or approximation of extreme scientific calculations, and such a problem is usually a back of the envelope calculation. The estimation technique is named after physicist Enrico Fermi as he was known for his ability to make good approximate calculations with little or no actual data. Fermi problems typically involve making justified guesses about quantities and their variance or lower and upper bounds. In some cases, order of magnitude estimates can also be derived using dimensional analysis.
Исторический фон
Примером может служить оценка Энрико Ферми мощности атомной бомбы, взорванной в ходе испытания «Троица», основанная на расстоянии, на которое отбросило обрывки бумаги, выпущенные им из руки во время взрыва. Оценка Ферми в 10 килотонн в тротиловом эквиваленте оказалась в пределах одного порядка величины от современного общепринятого значения в 21 килотонну.
An example is Enrico Fermi's estimate of the strength of the atomic bomb that detonated at the Trinity test, based on the distance traveled by pieces of paper he dropped from his hand during the blast. Fermi's estimate of 10 kilotons of TNT was well within an order of magnitude of the now accepted value of 21 kilotons.
Преимущества и сфера применения
Ученые часто ищут оценки Ферми для ответа на задачу, прежде чем прибегать к более сложным методам для вычисления точного решения. Это позволяет провести полезную проверку результатов. Хотя оценка почти наверняка неверна, она представляет собой простой расчет, который облегчает проверку ошибок и выявление ошибочных предположений, если полученное значение значительно превышает разумные ожидания. В отличие от этого, точные вычисления могут быть чрезвычайно сложными, но при этом предполагается, что полученный ответ будет верным. Гораздо большее количество факторов и операций может замаскировать существенную ошибку, будь то в математических вычислениях или в исходных предположениях, лежащих в основе уравнения, однако результат все равно может считаться правильным, поскольку он получен на основе точной формулы, которая, как ожидается, даст хорошие результаты. Без разумной системы отсчета сложно определить, является ли полученный результат достаточно точным или же он на несколько порядков (в десятки или сотни раз) больше или меньше ожидаемого. Оценка Ферми предоставляет быстрый и простой способ получить такую систему отсчета, позволяющую оценить, какое значение можно разумно ожидать. Если исходные предположения в оценке являются разумными, то полученный результат будет находиться в том же порядке величины, что и правильный ответ, а если нет – это даст основу для понимания причин расхождения. Например, предположим, что человека попросили определить количество настройщиков пианино в Чикаго. Если его первоначальная оценка дает значение около ста, а точный расчет – несколько тысяч, то он понимает, что необходимо выяснить причину такого расхождения с ожидаемым результатом. Сначала следует искать ошибки, а затем факторы, которые не были учтены в оценке: например, имеет ли Чикаго большое количество музыкальных школ или других мест с непропорционально высоким соотношением пианино к населению? Независимо от того, насколько близок или далек результат оценки к наблюдаемым данным, контекст, который она предоставляет, дает полезную информацию как о процессе вычисления, так и об используемых предположениях. Оценки Ферми также полезны при решении задач, где оптимальный выбор метода расчета зависит от ожидаемого масштаба ответа. Например, оценка Ферми может указать, достаточно ли малы внутренние напряжения в конструкции, чтобы ее можно было точно описать с помощью линейной упругости, или же оценка уже имеет значимую связь по масштабу с каким-либо другим значением, например, если конструкция будет перепроектирована для выдерживания нагрузок, в несколько раз превышающих расчетные. Хотя расчеты Ферми часто бывают неточными из-за возможных проблем с исходными предположениями, такой анализ помогает понять, что искать для получения более точного ответа. В приведенном выше примере можно попытаться получить более точную оценку количества пианино, настраиваемых настройщиком в течение типичного дня, или найти точные данные о населении Чикаго. Кроме того, он дает приблизительную оценку, которая может быть достаточной для определенных целей: если человек планирует открыть в Чикаго магазин, продающий оборудование для настройки пианино, и рассчитывает, что ему потребуется 10 000 потенциальных клиентов для поддержания бизнеса, он может разумно предположить, что вышеуказанная оценка значительно ниже 10 000, и ему следует рассмотреть другой бизнес-план (и, приложив немного усилий, он может вычислить приблизительную верхнюю границу количества настройщиков пианино, рассмотрев наиболее экстремальные разумные значения, которые могут встретиться в каждом из его предположений).
Scientists often look for Fermi estimates of the answer to a problem before turning to more sophisticated methods to calculate a precise answer. This provides a useful check on the results. While the estimate is almost certainly incorrect, it is also a simple calculation that allows for easy error checking, and to find faulty assumptions if the figure produced is far beyond what we might reasonably expect. By contrast, precise calculations can be extremely complex but with the expectation that the answer they produce is correct. The far larger number of factors and operations involved can obscure a very significant error, either in mathematical process or in the assumptions the equation is based on, but the result may still be assumed to be right because it has been derived from a precise formula that is expected to yield good results. Without a reasonable frame of reference to work from it is seldom clear if a result is acceptably precise or is many degrees of magnitude (tens or hundreds of times) too big or too small. The Fermi estimation gives a quick, simple way to obtain this frame of reference for what might reasonably be expected to be the answer. As long as the initial assumptions in the estimate are reasonable quantities, the result obtained will give an answer within the same scale as the correct result, and if not gives a base for understanding why this is the case. For example, suppose a person was asked to determine the number of piano tuners in Chicago. If their initial estimate told them there should be a hundred or so, but the precise answer tells them there are many thousands, then they know they need to find out why there is this divergence from the expected result. First looking for errors, then for factors the estimation did not take account of – does Chicago have a number of music schools or other places with a disproportionately high ratio of pianos to people? Whether close or very far from the observed results, the context the estimation provides gives useful information both about the process of calculation and the assumptions that have been used to look at problems. Fermi estimates are also useful in approaching problems where the optimal choice of calculation method depends on the expected size of the answer. For instance, a Fermi estimate might indicate whether the internal stresses of a structure are low enough that it can be accurately described by linear elasticity; or if the estimate already bears significant relationship in scale relative to some other value, for example, if a structure will be over engineered to withstand loads several times greater than the estimate. Although Fermi calculations are often not accurate, as there may be many problems with their assumptions, this sort of analysis does inform one what to look for to get a better answer. For the above example, one might try to find a better estimate of the number of pianos tuned by a piano tuner in a typical day, or look up an accurate number for the population of Chicago. It also gives a rough estimate that may be good enough for some purposes: if a person wants to start a store in Chicago that sells piano tuning equipment, and calculates that they need 10,000 potential customers to stay in business, they can reasonably assume that the above estimate is far enough below 10,000 that they should consider a different business plan (and, with a little more work, they could compute a rough upper bound on the number of piano tuners by considering the most extreme reasonable values that could appear in each of their assumptions).
Пояснение
Оценки Ферми обычно работают, потому что оценки отдельных слагаемых часто оказываются близки к верным, а переоценки и недооценки помогают компенсировать друг друга. То есть, если нет систематической ошибки, то расчет Ферми, включающий умножение нескольких оцененных величин (например, количества настройщиков фортепиано в Чикаго), скорее всего, будет точнее, чем можно предположить на первый взгляд. В частности, умножение оценок эквивалентно сложению их логарифмов; таким образом, получается своего рода процесс Винера или случайное блуждание на логарифмической шкале, которое диффундирует как (где n – число слагаемых). В дискретном случае разность между количеством переоценок и недооценок будет подчиняться биномиальному распределению. В непрерывном случае, если выполнить оценку Ферми в n шагов, с отклонением σ единиц по логарифмической шкале от истинного значения, то общая оценка будет иметь отклонение , поскольку отклонение суммы масштабируется как в количестве слагаемых. Например, если выполнить оценку Ферми в 9 шагов, каждый раз переоценивая или недооценивая правильное значение в 2 раза (или с отклонением 2), то после 9 шагов стандартная ошибка возрастет на логарифмический фактор , так что 2³ = 8. Таким образом, можно ожидать, что результат будет находиться в пределах от 1/8 до 8 раз от правильного значения – в пределах одного порядка величины, и значительно меньше, чем в худшем случае ошибки в 2⁹ = 512 раз (около 2,71 порядка величины). Если цепочка оценок короче или оценки точнее, то общая оценка будет соответственно лучше.
Fermi estimates generally work because the estimations of the individual terms are often close to correct, and overestimates and underestimates help cancel each other out. That is, if there is no consistent bias, a Fermi calculation that involves the multiplication of several estimated factors (such as the number of piano tuners in Chicago) will probably be more accurate than might be first supposed. In detail, multiplying estimates corresponds to adding their logarithms; thus one obtains a sort of Wiener process or random walk on the logarithmic scale, which diffuses as (in number of terms n). In discrete terms, the number of overestimates minus underestimates will have a binomial distribution. In continuous terms, if one makes a Fermi estimate of n steps, with standard deviation σ units on the log scale from the actual value, then the overall estimate will have standard deviation , since the standard deviation of a sum scales as in the number of summands. For instance, if one makes a 9 step Fermi estimate, at each step overestimating or underestimating the correct number by a factor of 2 (or with a standard deviation 2), then after 9 steps the standard error will have grown by a logarithmic factor of , so 23 = 8. Thus one will expect to be within 1/8 to 8 times the correct value – within an order of magnitude, and much less than the worst case of erring by a factor of 29 = 512 (about 2.71 orders of magnitude). If one has a shorter chain or estimates more accurately, the overall estimate will be correspondingly better.