Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Физика және инженерлік білім берудегі бағалау мәселесі бағалау техникасы
Estimation problem in physics or engineering education
the estimation technique
Физика және инженерлік білім беруде Ферми мәселесі (немесе Ферми викторинасы, Ферми сұрағы, Ферми бағалауы), сондай-ақ шама тәртібі мәселесі (немесе шама тәртібі бағалауы, тәртіп бағалауы) деп аталады, бұл өлшемдік талдауды немесе өте күрделі ғылыми есептеулерді жуықтатуды үйрету үшін құрастырылған бағалау мәселесі, және мұндай мәселе көбінесе қағаз бетіндегі есептеу болып табылады. Бұл бағалау техникасы физик Энрико Фермидің есімімен аталған, өйткені ол нақты деректердің болмауында немесе олар аз болғанда да жақсы жуық шамамен есептеулер жасау қабілетімен белгілі болды. Ферми мәселелері көбінесе шамалар және олардың өзгеруі немесе ең төменгі және ең жоғарғы шектері туралы негізделген болжамдар жасауды қамтиды. Кейбір жағдайларда шама тәртібін бағалау өлшемдік талдау арқылы да шығаруға болады.
In physics or engineering education, a Fermi problem (or Fermi quiz, Fermi question, Fermi estimate), also known as a order of magnitude problem (or order of magnitude estimate, order estimation), is an estimation problem designed to teach dimensional analysis or approximation of extreme scientific calculations, and such a problem is usually a back of the envelope calculation. The estimation technique is named after physicist Enrico Fermi as he was known for his ability to make good approximate calculations with little or no actual data. Fermi problems typically involve making justified guesses about quantities and their variance or lower and upper bounds. In some cases, order of magnitude estimates can also be derived using dimensional analysis.
Тарихи негіздер
Мысалы, Энрико Ферми Тринити сынағында жарылған атом бомбасының күшін бағалаған, бұл бағалау оның қолынан түскен қағаздың жарылыс кезінде ұшқан қашықтығына негіделген. Фермидің 10 килотонна тротилге бағалаған шамасы, қазіргі қабылданған 21 килотонналық мәннен бір рет қана ерекшеленеді.
An example is Enrico Fermi's estimate of the strength of the atomic bomb that detonated at the Trinity test, based on the distance traveled by pieces of paper he dropped from his hand during the blast. Fermi's estimate of 10 kilotons of TNT was well within an order of magnitude of the now accepted value of 21 kilotons.
Артықшылықтар мен қолданылу аясы
Ғалымдар нақты жауапты есептеу үшін күрделі әдістерге жүгінгенге дейін, көбінесе мәселенің жауабын Ферми бағалауы бойынша іздейді. Бұл нәтижелерді тексеру үшін пайдалы. Бұл бағалаудың дұрыс емес екені анық, бірақ бұл қарапайым есептеу, ол қателерді оңай тексеруге және егер алынған көрсеткіш күткеннен әлдеқайда артық болса, қате болжамдарды табуға мүмкіндік береді. Ал дәл есептер өте күрделі болуы мүмкін, бірақ олар беретін жауап дұрыс болады деп күтіледі. Қатысушы факторлар мен операциялардың әлдеқайда көп саны математикалық процесте немесе теңдеу негізделген болжамдарда маңызды қателікті жасыра алады, бірақ нәтиже әлі де дұрыс деп есептелуі мүмкін, өйткені ол жақсы нәтижелер береді деп күтілетін нақты формуладан алынған. Жұмыс істеу үшін ақылға қонымды анықтамалық жүйе болмаса, нәтиженің қолайлы дәлдігі немесе шаманың көптеген дәрежесі (он немесе жүздеген есе) тым үлкен немесе тым кішкентай екендігі сирек анық болады. Ферми бағалауы осы анықтамалық жүйені тез және оңай жолмен береді. Бастапқы болжамдар шамамен ақылға қонымды шамалар болған жағдайда, алынған нәтиже дұрыс нәтижемен бірдей масштабта жауап береді, ал егер дұрыс нәтиже болмаса, неге солай екенін түсіну үшін негіз береді. Мысалы, бір кісіден Чикагодағы фортепианоны баптаушылардың санын анықтауды сұраса дейік. Егер бастапқы баға жүздеген болса, бірақ нақты жауап мыңдаған болса, онда олар неге күтілетін нәтижеден ауытқушылық бар екенін білу керек екенін біледі. Алдымен қателерді, содан кейін бағалауда ескерілмеген факторларды іздеу – Чикагода музыка мектептері немесе адамдар үшін пианинолардың арақатынасы өте жоғары басқа орындар бар ма? Байқалған нәтижелерге жақын немесе өте алыс болсын, бағалаудың контексі есептеу процесі туралы және проблемаларды қарастыру үшін пайдаланылған болжамдар туралы пайдалы ақпарат береді. Ферми бағалауы сонымен қатар есептің оңтайлы әдісін таңдау жауабын күткен мөлшерге байланысты болатын мәселелерге жақындауда пайдалы. Мысалы, Ферми бағалауы құрылыстың ішкі кернеулері жеткілікті төмен екенін немесе оны сызықтық икемділікпен дәл сипаттауға болатындығын көрсете алады; немесе егер бағалауда басқа құндылыққа қатысты масштабта маңызды байланыс болса, мысалы, егер құрылым шамадан тыс жүктемелерге төтеп беру үшін инженерлік тұрғыдан жасалған болса. Ферми есептеулері жиі дұрыс болмай тұрса да, олардың болжамдарында көптеген проблемалар болуы мүмкін, мұндай талдау жақсы жауап алу үшін не іздеу керектігін айтады. Жоғарыда келтірілген мысал үшін, пианиноны баптаушы әдеттегі күні баптаған пианинолардың санын жақсырақ бағалауды табуға тырысуы немесе Чикаго халқының нақты санын іздеу керек. Ол сондай-ақ кейбір мақсаттар үшін жеткілікті болуы мүмкін шамамен бағалауды береді: егер адам Чикагода фортепианоны баптау жабдықтарын сататын дүкен ашуды қаласа және бизнесте қалу үшін оларға 10 000 әлеуетті клиент қажет деп есептегенде, олар жоғарыдағы бағалауды басқа бизнес-жоспарды қарастыру керек деп 10,000-ден төмен деп болжауға болады (және, сәл көбірек жұмыс істесе, олар фортепианоны баптаушылардың санына қатысты жоғарғы шекті есептеуі мүмкін олардың әрқайсысында пайда болуы мүмкін ең жоғарғы ақылға қонымды мәндерді қарастыру арқылы).
Scientists often look for Fermi estimates of the answer to a problem before turning to more sophisticated methods to calculate a precise answer. This provides a useful check on the results. While the estimate is almost certainly incorrect, it is also a simple calculation that allows for easy error checking, and to find faulty assumptions if the figure produced is far beyond what we might reasonably expect. By contrast, precise calculations can be extremely complex but with the expectation that the answer they produce is correct. The far larger number of factors and operations involved can obscure a very significant error, either in mathematical process or in the assumptions the equation is based on, but the result may still be assumed to be right because it has been derived from a precise formula that is expected to yield good results. Without a reasonable frame of reference to work from it is seldom clear if a result is acceptably precise or is many degrees of magnitude (tens or hundreds of times) too big or too small. The Fermi estimation gives a quick, simple way to obtain this frame of reference for what might reasonably be expected to be the answer. As long as the initial assumptions in the estimate are reasonable quantities, the result obtained will give an answer within the same scale as the correct result, and if not gives a base for understanding why this is the case. For example, suppose a person was asked to determine the number of piano tuners in Chicago. If their initial estimate told them there should be a hundred or so, but the precise answer tells them there are many thousands, then they know they need to find out why there is this divergence from the expected result. First looking for errors, then for factors the estimation did not take account of – does Chicago have a number of music schools or other places with a disproportionately high ratio of pianos to people? Whether close or very far from the observed results, the context the estimation provides gives useful information both about the process of calculation and the assumptions that have been used to look at problems. Fermi estimates are also useful in approaching problems where the optimal choice of calculation method depends on the expected size of the answer. For instance, a Fermi estimate might indicate whether the internal stresses of a structure are low enough that it can be accurately described by linear elasticity; or if the estimate already bears significant relationship in scale relative to some other value, for example, if a structure will be over engineered to withstand loads several times greater than the estimate. Although Fermi calculations are often not accurate, as there may be many problems with their assumptions, this sort of analysis does inform one what to look for to get a better answer. For the above example, one might try to find a better estimate of the number of pianos tuned by a piano tuner in a typical day, or look up an accurate number for the population of Chicago. It also gives a rough estimate that may be good enough for some purposes: if a person wants to start a store in Chicago that sells piano tuning equipment, and calculates that they need 10,000 potential customers to stay in business, they can reasonably assume that the above estimate is far enough below 10,000 that they should consider a different business plan (and, with a little more work, they could compute a rough upper bound on the number of piano tuners by considering the most extreme reasonable values that could appear in each of their assumptions).
Түсіндірме
Ферми бағалаулары әдетте дұрыс келеді, себебі жеке шарттардың бағалауы көбінесе дұрыс болады, ал артық бағалаулар мен кем бағалаулар бір-бірін теңестіруге көмектеседі. Яғни, егер тұрақты қателік болмаса, бірнеше бағаланған факторларды көбейтуді қамтитын Ферми есептеуі (мысалы, Чикагодағы фортепианоны келтіретін маманның саны) алғашқыда ойлағаннан гөрі дәл болуы мүмкін. Нақтырақ айтқанда, бағалауларды көбейту олардың логарифмдерін қосуға сәйкес келеді; осылайша логарифмдік шкалада Винер процесі немесе кездейсоқ қозғалыс түріне қол жеткізіледі, ол (шарттардың саны n бойынша) таралады. Дискретті жағдайда, артық бағаланғандар мен кем бағаланғандардың айырмасы биномдық үлестірімге ие болады. Ұзындығында, егер n қадамдық Ферми бағалауы жасалса, нақты мәннен логарифмдік шкаладағы σ стандартты ауытқу бірліктерімен, онда жалпы бағалаудың стандартты ауытқуы болады, себебі қосындының стандартты ауытқуы қосылғандар санына пропорционалды. Мысалы, егер 9 қадамдық Ферми бағалауы жасалса, әр қадамда дұрыс санды 2 есе артық немесе кем бағаласа (немесе стандартты ауытқуы 2 болса), онда 9 қадамнан кейін стандартты қате логарифмдік фактормен өседі, сондықтан 2³ = 8. Осылайша, дұрыс мәннен 1/8-ден 8 есеге дейін аралықта болуы күтіледі – шамамен бір рет өлшемнің ішінде, және 2⁹ = 512 (шамамен 2,71 рет өлшем) ең нашар қателік жағдайынан әлдеқайда аз. Егер тізбек қысқа болса немесе бағалаулар дәлірек болса, жалпы бағалау сәйкесінше жақсарады.
Fermi estimates generally work because the estimations of the individual terms are often close to correct, and overestimates and underestimates help cancel each other out. That is, if there is no consistent bias, a Fermi calculation that involves the multiplication of several estimated factors (such as the number of piano tuners in Chicago) will probably be more accurate than might be first supposed. In detail, multiplying estimates corresponds to adding their logarithms; thus one obtains a sort of Wiener process or random walk on the logarithmic scale, which diffuses as (in number of terms n). In discrete terms, the number of overestimates minus underestimates will have a binomial distribution. In continuous terms, if one makes a Fermi estimate of n steps, with standard deviation σ units on the log scale from the actual value, then the overall estimate will have standard deviation , since the standard deviation of a sum scales as in the number of summands. For instance, if one makes a 9 step Fermi estimate, at each step overestimating or underestimating the correct number by a factor of 2 (or with a standard deviation 2), then after 9 steps the standard error will have grown by a logarithmic factor of , so 23 = 8. Thus one will expect to be within 1/8 to 8 times the correct value – within an order of magnitude, and much less than the worst case of erring by a factor of 29 = 512 (about 2.71 orders of magnitude). If one has a shorter chain or estimates more accurately, the overall estimate will be correspondingly better.