Параметр в статистике: определение, роль в описании популяций и вероятностных распределений. Параметрические семейства и их значение для выборки данных.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Количество, индексирующее параметризованное семейство распределений вероятностей.
Quantity that indexes a parametrized family of probability distributions
В статистике, в отличие от его общего использования в математике, параметром является любая характеристика статистической совокупности, которая обобщает или описывает её аспект, например, среднее или стандартное отклонение. Если совокупность точно следует известному и определённому распределению, например нормальному распределению, то можно измерить небольшой набор параметров, который полностью описывает совокупность и может рассматриваться как определяющий распределение вероятностей для целей получения выборки из этой совокупности. "Параметр" относится к совокупности так же, как "статистика" относится к выборке; то есть параметр описывает истинное значение, рассчитанное на основе всей совокупности (например, среднее значение совокупности), в то время как статистика является оценочным измерением параметра, основанным на выборке (например, среднее значение выборки). Таким образом, "статистический параметр" можно более точно назвать параметром совокупности.
In statistics, as opposed to its general use in mathematics, a parameter is any quantity of a statistical population that summarizes or describes an aspect of the population, such as a mean or a standard deviation. If a population exactly follows a known and defined distribution, for example the normal distribution, then a small set of parameters can be measured which completely describes the population, and can be considered to define a probability distribution for the purposes of extracting samples from this population. A "parameter" is to a population as a "statistic" is to a sample; that is to say, a parameter describes the true value calculated from the full population (such as the population mean), whereas a statistic is an estimated measurement of the parameter based on a sample (such as the sample mean). Thus a "statistical parameter" can be more specifically referred to as a population parameter.
Параметризированные распределения
Предположим, что у нас есть индексированное семейство. Если индекс также является параметром элементов этого семейства, то семейство является параметрическим семейством. К параметрическим семействам распределений относятся нормальные распределения, распределения Пуассона, биномиальные распределения и экспоненциальное семейство распределений. Например, семейство нормальных распределений имеет два параметра – среднее значение и дисперсию: если они заданы, распределение определяется однозначно. Семейство распределений хи-квадрат может быть проиндексировано числом степеней свободы: число степеней свободы является параметром для этих распределений, и, следовательно, семейство является параметрическим.
Suppose that we have an indexed family of If the index is also a parameter of the members of the family, then the family is a parameterized family. Among parameterized families of distributions are the normal distributions, the Poisson distributions, the binomial distributions, and the exponential family of distributions. For example, the family of normal distributions has two parameters, the mean and the variance: if those are specified, the distribution is known exactly. The family of chi squared distributions can be indexed by the number of degrees of freedom: the number of degrees of freedom is a parameter for the distributions, and so the family is thereby parameterized.
Измерение параметров
В статистическом выводе параметры иногда рассматриваются как ненаблюдаемые, и в этом случае задача статистика состоит в том, чтобы оценить или сделать выводы об их значениях на основе случайной выборки наблюдений, полученной из генеральной совокупности. Оценки параметров конкретного распределения часто вычисляются для генеральной совокупности, при условии, что эта совокупность распределена (по крайней мере, приблизительно) согласно этому распределению вероятностей. В других случаях параметры могут быть фиксированы характером используемой процедуры выборки или видом проводимой статистической процедуры (например, число степеней свободы в критерии хи-квадрат Пирсона). Даже если семейство распределений не задано, такие величины, как среднее и дисперсия, обычно все равно можно рассматривать как статистические параметры генеральной совокупности, и статистические процедуры могут пытаться делать выводы об этих параметрах совокупности.
In statistical inference, parameters are sometimes taken to be unobservable, and in this case the statistician's task is to estimate or infer what they can about the parameter based on a random sample of observations taken from the full population. Estimators of a set of parameters of a specific distribution are often measured for a population, under the assumption that the population is (at least approximately) distributed according to that specific probability distribution. In other situations, parameters may be fixed by the nature of the sampling procedure used or the kind of statistical procedure being carried out (for example, the number of degrees of freedom in a Pearson's chi squared test). Even if a family of distributions is not specified, quantities such as the mean and variance can generally still be regarded as statistical parameters of the population, and statistical procedures can still attempt to make inferences about such population parameters.
Примеры
Во время выборов в стране может быть определенный процент избирателей, которые проголосуют за каждого конкретного кандидата – эти проценты являются статистическими параметрами. Опрашивать каждого избирателя перед выборами о его предпочтениях непрактично, поэтому проводится опрос выборки избирателей, и вместо этого измеряется статистика (также называемая оценкой) – то есть процент голосов в опрошенной выборке. Эта статистика, вместе с оценкой ее точности (известной как погрешность выборки), затем используется для получения выводов об истинных статистических параметрах (процентах всех избирателей). Аналогично, при некоторых видах тестирования произведенной продукции вместо разрушающего тестирования всей продукции тестируется только выборка. Такие тесты собирают статистические данные, подтверждающие соответствие продукции спецификациям.
During an election, there may be specific percentages of voters in a country who would vote for each particular candidate – these percentages would be statistical parameters. It is impractical to ask every voter before an election occurs what their candidate preferences are, so a sample of voters will be polled, and a statistic (also called an estimator) – that is, the percentage of the sample of polled voters – will be measured instead. The statistic, along with an estimation of its accuracy (known as its sampling error), is then used to make inferences about the true statistical parameters (the percentages of all voters). Similarly, in some forms of testing of manufactured products, rather than destructively testing all products, only a sample of products are tested. Such tests gather statistics supporting an inference that the products meet specifications.