Введение

Произведение первых простых чисел

В математике, и особенно в теории чисел, примориал, обозначаемый символом "#", — это функция, отображающая натуральные числа в натуральные числа, подобная факториалу, но вместо последовательного умножения положительных целых чисел она умножает только простые числа. Название "примориал", предложенное Харви Дубнером, проводит аналогию с простыми числами, подобно тому, как название "факториал" связано с факторами.

Применение и свойства

Приморьялы играют роль в поиске простых чисел в аддитивных арифметических прогрессиях. Например, 2236133941 + 23# дает простое число, являющееся началом последовательности из тринадцати простых чисел, найденных путем многократного добавления 23#, и заканчивающейся числом 5136341251. 23# также является разностью арифметической прогрессии, содержащей пятнадцать и шестнадцать простых чисел. Каждое высокосоставное число является произведением примориалов (например, 360 = 2 × 6 × 30). Приморьялы – это все числа, свободные от квадратов, и каждый из них имеет больше различных простых делителей, чем любое число, меньшее его. Для каждого примориала n, дробь меньше, чем для любого меньшего целого числа, где φ – функция Эйлера. Любая полностью мультипликативная функция определяется своими значениями в примориалах, поскольку она определяется своими значениями в простых числах, которые могут быть восстановлены путем деления соседних значений. Системы счисления, соответствующие примориалам (например, система с основанием 30, которую не следует путать с системой счисления по примориалам), имеют меньшую долю повторяющихся дробей, чем любая система с меньшим основанием. Каждый примориал является разреженным тотиентным числом. Композиториал числа n – это произведение всех составных чисел до n включительно. Композиториал n равен факториалу n, деленному на примориал n#. Значения композиториалов: 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600.