Анализ стабильности частоты: дисперсия Аллана и её варианты.

Аллан-вариация (AVAR): оценка стабильности частоты часов и осцилляторов. Математическое определение, виды (MAVAR, MVAR) и интерпретация результатов.

12 мин чтения

100%

Источник: Allan variance — Wikipedia

Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.

Содержание

Введение

Измерение стабильности частоты в часах и осцилляторах

Дисперсия Аллана (AVAR), также известная как дисперсия двух выборок, является мерой стабильности частоты в часах, осцилляторах и усилителях. Она названа в честь Дэвида У. Аллана и математически выражается как Отклонение Аллана (ADEV), также известное как сигма тау, является квадратным корнем дисперсии Аллана. Дисперсия M выборок является мерой стабильности частоты, использующей M выборок, интервал времени T между измерениями и время наблюдения. Дисперсия M выборок выражается как

Дисперсия Аллана предназначена для оценки стабильности, обусловленной шумовыми процессами, а не систематическими ошибками или несовершенствами, такими как дрейф частоты или температурные эффекты. Дисперсия Аллана и отклонение Аллана описывают стабильность частоты. См. также раздел «Интерпретация значений» ниже. Существуют также различные адаптации или модификации дисперсии Аллана, в частности, модифицированная дисперсия Аллана MAVAR или MVAR, общая дисперсия и дисперсия Адамара. Существуют также варианты стабильности во времени, такие как временное отклонение (TDEV) или временная дисперсия (TVAR). Дисперсия Аллана и ее варианты оказались полезными за пределами области измерения времени и представляют собой набор улучшенных статистических инструментов, которые следует использовать всякий раз, когда шумовые процессы не являются безусловно стабильными, а значит, существует производная. Общая дисперсия M выборок остается важной, поскольку она допускает наличие "мертвого времени" в измерениях, а функции смещения позволяют преобразовать их в значения дисперсии Аллана. Тем не менее, для большинства приложений наибольший интерес представляет собой частный случай 2 выборок, или "дисперсия Аллана".

Предыстория

При исследовании стабильности кристаллических осцилляторов и атомных часов было обнаружено, что их фазовый шум состоит не только из белого шума, но и из шума мерцающей частоты. Эти формы шума представляют собой проблему для традиционных статистических инструментов, таких как стандартное отклонение, поскольку оценка не будет сходиться. Таким образом, шум считается расходящимся. Первые усилия по анализу стабильности включали как теоретический анализ, так и практические измерения. Важным побочным следствием наличия этих типов шума было то, что из-за несогласованности различных методов измерений невозможно было достичь ключевого аспекта – повторяемости измерений. Это ограничивает возможность сравнения источников и установления значимых спецификаций для поставщиков. По сути, все формы научного и коммерческого использования были ограничены специализированными измерениями, которые, как ожидалось, учтут требования конкретного применения. Для решения этих проблем Дэвид Аллан ввел дисперсию M-выборки и (косвенно) дисперсию двух выборок. Хотя дисперсия двух выборок не позволяла полностью различать все типы шума, она обеспечивала возможность осмысленного разделения многих форм шума для временных рядов измерений фазы или частоты между двумя или более осцилляторами. Аллан предложил метод преобразования между любой дисперсией M-выборки и любой дисперсией N-выборки через общую дисперсию двух выборок, что делало все дисперсии M-выборки сопоставимыми. Механизм преобразования также показал, что дисперсия M-выборки не сходится при больших M, что снижает их полезность. Позднее IEEE определила дисперсию двух выборок как предпочтительную меру. Ранней проблемой были приборы для измерения времени и частоты с мёртвым временем между измерениями. Такая серия измерений не формировала непрерывного наблюдения сигнала и, следовательно, вносила систематическую погрешность в измерение. Большое внимание уделялось оценке этих погрешностей. Введение счетчиков с нулевым мёртвым временем устранило эту необходимость, но инструменты анализа погрешностей оказались полезными. Другим ранним аспектом, вызывающим беспокойство, было влияние полосы пропускания измерительного прибора на измерения, которое необходимо было учитывать. Позже было обнаружено, что алгоритмическое изменение окна наблюдения влияет только на низкие значения, в то время как более высокие значения остаются неизменными. Изменение выполняется путем задания значения, кратного целому числу базовому интервалу времени измерения:

When investigating the stability of crystal oscillators and atomic clocks, it was found that they did not have a phase noise consisting only of white noise, but also of flicker frequency noise. These noise forms become a challenge for traditional statistical tools such as standard deviation, as the estimator will not converge. The noise is thus said to be divergent. Early efforts in analysing the stability included both theoretical analysis and practical measurements. An important side consequence of having these types of noise was that, since the various methods of measurements did not agree with each other, the key aspect of repeatability of a measurement could not be achieved. This limits the possibility to compare sources and make meaningful specifications to require from suppliers. Essentially all forms of scientific and commercial uses were then limited to dedicated measurements, which hopefully would capture the need for that application. To address these problems, David Allan introduced the M sample variance and (indirectly) the two sample variance. While the two sample variance did not completely allow all types of noise to be distinguished, it provided a means to meaningfully separate many noise forms for time series of phase or frequency measurements between two or more oscillators. Allan provided a method to convert between any M sample variance to any N sample variance via the common 2 sample variance, thus making all M sample variances comparable. The conversion mechanism also proved that M sample variance does not converge for large M, thus making them less useful. IEEE later identified the 2 sample variance as the preferred measure. An early concern was related to time and frequency measurement instruments that had a dead time between measurements. Such a series of measurements did not form a continuous observation of the signal and thus introduced a systematic bias into the measurement. Great care was spent in estimating these biases. The introduction of zero dead time counters removed the need, but the bias analysis tools have proved useful. Another early aspect of concern was related to how the bandwidth of the measurement instrument would influence the measurement, such that it needed to be noted. It was later found that by algorithmically changing the observation , only low values would be affected, while higher values would be unaffected. The change of is done by letting it be an integer multiple of the measurement timebase :

Физику кристаллических осцилляторов анализировал Д. Б. Лисон.

Интерпретация стоимости

Дисперсия Аллана определяется как половина среднего значения квадратов разностей между последовательными измерениями отклонения частоты, полученными в течение периода выборки. Дисперсия Аллана зависит от интервала времени между измерениями, поэтому она является функцией периода выборки, обычно обозначаемого как τ, а также от измеряемого распределения и представляется в виде графика, а не отдельного числа. Низкая дисперсия Аллана является признаком часов с хорошей стабильностью в течение измеряемого периода. Отклонение Аллана широко используется для построения графиков (обычно в логарифмическом масштабе) и представления данных. Оно предпочтительнее, поскольку характеризует относительную стабильность амплитуды, что облегчает сравнение с другими источниками погрешностей. Отклонение Аллана, равное 1,3 при времени наблюдения 1 с (т.е. τ = 1 с), следует интерпретировать как нестабильность частоты между двумя наблюдениями, разделёнными интервалом в 1 секунду, с относительным среднеквадратичным (RMS) значением 1,3. Для часов частотой 10 МГц это эквивалентно 13 мГц RMS разброса. Если требуется оценка стабильности фазы осциллятора, следует использовать варианты, основанные на временном отклонении. Можно преобразовать дисперсию Аллана и другие дисперсии во временной области в частотные характеристики стабильности времени (фазы) и частоты.

Диверсификация M-образца

Для временного ряда, для любых положительных действительных чисел , определим последовательность действительных чисел . Затем дисперсия выборки определяется при условии использования улучшенного инструмента, так как измерения перекрывались в n перекрывающихся сериях, полученных из исходного ряда. Оцениватель перекрывающегося аллановского разброса был предложен Хау, Алланом и Барнсом и используется в стандартах ETSI для сопоставимых измерений, например, для квалификации в области телекоммуникаций.

Модифицированная дисперсия Аллана

Для решения проблемы невозможности разделения модуляции белой фазы от модуляции мерцания с помощью традиционных оценок дисперсии Аллана, применяется алгоритмическая фильтрация, уменьшающая полосу пропускания на n. Эта фильтрация вносит изменения в определение и оценки, выделяя тем самым отдельный класс дисперсии, называемый модифицированной дисперсией Аллана. Модифицированная дисперсия Аллана является мерой стабильности частоты, подобно дисперсии Аллана.

Другие оценщики

Дальнейшие разработки привели к созданию усовершенствованных методов оценки той же меры стабильности – дисперсии/отклонения частоты, однако они известны под разными названиями, такими как дисперсия Хадамара, модифицированная дисперсия Хадамара, полная дисперсия, модифицированная полная дисперсия и дисперсия Тео. Они отличаются более эффективным использованием статистики для получения более точных доверительных интервалов или способности компенсировать линейное изменение частоты.

Доверительные интервалы и эквивалентные степени свободы

Статистические оценки вычисляют предполагаемое значение на основе используемой выборки данных. Эти оценки могут отличаться от истинного значения, а диапазон значений, который с определенной вероятностью содержит истинное значение, называется доверительным интервалом. Доверительный интервал зависит от количества наблюдений в выборке, преобладающего типа шума и используемого метода оценки. Ширина интервала также зависит от требуемой статистической достоверности, определяющей границы, в пределах которых с заданной вероятностью находится истинное значение. Для переменных оценок τ, произведение τ0 на n также является переменной.

Вопросы измерения

При проведении измерений для вычисления дисперсии Аллана или отклонения Аллана ряд факторов может привести к ухудшению качества измерений. В данном разделе рассматриваются эффекты, специфичные для дисперсии Аллана, которые могут исказить результаты.

Пределы пропускной способности измерений

Ожидается, что полоса пропускания системы измерений будет равна или меньше частоте Найквиста, как описано в теореме Шеннона — Хартли. Как видно из формул шумовых закономерностей, модуляции белого и мерцающего шума зависят от верхней граничной частоты (предполагается, что эти системы фильтруются только по низким частотам). Учитывая свойства частотного фильтра, становится очевидно, что низкочастотный шум оказывает большее влияние на результат. Для типов фазовой модуляции с относительно плоским спектром (например, WPM и FPM) фильтрация имеет значение, в то время как для типов шума с большим наклоном верхняя частотная граница становится менее важной, при условии, что полоса пропускания системы измерений значительно шире, чем указано в …

Если это предположение не выполняется, эффективную полосу пропускания необходимо указывать вместе с результатами измерения. Заинтересованным лицам следует обратиться к NBS TN394 для получения информации об измерении TDEV. Рекомендуется игнорировать первые несколько множителей, чтобы большая часть обнаруженного шума находилась в полосе пропускания системы измерений. Дальнейшие разработки в области дисперсии Аллана позволили уменьшить аппаратную полосу пропускания программными средствами. Это развитие программной полосы пропускания позволило учесть остаточный шум, и метод теперь называется модифицированной дисперсией Аллана. Этот метод уменьшения полосы пропускания не следует путать с усовершенствованным вариантом модифицированной дисперсии Аллана, который также изменяет полосу пропускания сглаживающего фильтра.

Время отсчета в измерениях

Многие измерительные приборы времени и частоты имеют этапы подготовки, времени базы, обработки и могут затем повторно инициировать подготовку. Время подготовки – это интервал от момента инициирования подготовки до момента возникновения события запуска на канале запуска. Временная база обеспечивает минимальную задержку перед принятием события на канале остановки в качестве события остановки. Количество событий и время, прошедшее между событием запуска и событием остановки, регистрируются и отображаются в течение времени обработки. Во время обработки (также известной как время удержания) прибор обычно не может выполнить другое измерение. После обработки прибор в режиме непрерывной работы снова инициирует цепь подготовки. Время между событием остановки и следующим событием запуска становится мертвым временем, в течение которого сигнал не регистрируется. Такое мертвое время вносит систематические погрешности в измерения, которые необходимо компенсировать для получения корректных результатов. Для таких измерительных систем время T обозначает интервал между соседними событиями запуска (и, следовательно, измерениями), а обозначает длину временной базы, то есть номинальную длительность между событиями запуска и остановки любого измерения. Влияние мертвого времени на измерения настолько значительно, что было проведено множество исследований для точной количественной оценки его характеристик. Введение счетчиков нулевого мертвого времени устранило необходимость в этом анализе. Счетчик нулевого мертвого времени обладает свойством, при котором событие остановки одного измерения используется в качестве события запуска следующего. Такие счетчики создают последовательность пар событий и временных меток, по одной для каждого канала, с интервалом, равным длительности временной базы. Такие измерения также оказались полезными в различных формах анализа временных рядов. Измерения, выполненные с мертвым временем, могут быть скорректированы с использованием функций смещения B1, B2 и B3. Таким образом, мертвое время само по себе не препятствует доступу к дисперсии Аллана, но усложняет его вычисление. Мертвое время должно быть известно, чтобы можно было установить интервал между отсчетами T.

Many measurement instruments of time and frequency have the stages of arming time, time base time, processing time and may then re trigger the arming. The arming time is from the time the arming is triggered to when the start event occurs on the start channel. The time base then ensures that minimal amount of time goes prior to accepting an event on the stop channel as the stop event. The number of events and time elapsed between the start event and stop event is recorded and presented during the processing time. When the processing occurs (also known as the dwell time), the instrument is usually unable to do another measurement. After the processing has occurred, an instrument in continuous mode triggers the arm circuit again. The time between the stop event and the following start event becomes dead time, during which the signal is not being observed. Such dead time introduces systematic measurement biases, which needs to be compensated for in order to get proper results. For such measurement systems will the time T denote the time between the adjacent start events (and thus measurements), while denote the time base length, i. e. the nominal length between the start and stop event of any measurement. Dead time effects on measurements have such an impact on the produced result that much study of the field have been done in order to quantify its properties properly. The introduction of zero dead time counters removed the need for this analysis. A zero dead time counter has the property that the stop event of one measurement is also being used as the start event of the following event. Such counters create a series of event and time timestamp pairs, one for each channel spaced by the time base. Such measurements have also proved useful in order forms of time series analysis. Measurements being performed with dead time can be corrected using the bias function B1, B2 and B3. Thus, dead time as such is not prohibiting the access to the Allan variance, but it makes it more problematic. The dead time must be known, such that the time between samples T can be established.

Тип доминирующего шума

Большое количество констант преобразования, поправок на смещение и доверительных интервалов зависит от преобладающего типа шума. Для корректной интерпретации необходимо определить преобладающий тип шума для конкретного интересующего значения τ с помощью идентификации шума. Неправильное определение преобладающего типа шума приведет к появлению смещенных значений. Некоторые из этих смещений могут быть на несколько порядков величины, что может иметь существенное значение.

Линейный дрейф

Систематические эффекты на сигнал компенсируются лишь частично. Фазовый и частотный сдвиг компенсируются, но линейный дрейф или другие высокопорядокные полиномиальные фазовые кривые не компенсируются и, следовательно, являются ограничением точности измерений. Возможно применение аппроксимации кривой и устранения систематической погрешности. Зачастую достаточно устранить только линейный дрейф. Также можно использовать оценщики линейного дрейфа, такие как дисперсия Адамара. Для устранения линейного дрейфа можно применить оценщик, основанный на моменте.

Оценка погрешности прибора измерения

Традиционные приборы позволяли измерять только отдельные события или пары событий. Введение усовершенствованного статистического метода перекрывающихся измерений, предложенного Дж. Дж. Снайдером, но при больших значениях τ приводит к постепенному исчезновению эффекта и искажению значений в области малых τ. Это искажение занижает реальные значения, что является оптимистичным (если желательны низкие показатели), но снижает полезность измерения, а не повышает её. Обычно такие алгоритмы можно отключить или обойти, используя режим записи временных меток, который предпочтительнее, если он доступен.

Практические измерения

Хотя можно разработать несколько подходов к измерению дисперсии Аллана, простой пример может проиллюстрировать, как проводятся измерения.

Измерение

Все измерения дисперсии Аллана по сути являются сравнением двух различных генераторов. Рассмотрим эталонный генератор и испытываемое устройство (DUT), оба с общей номинальной частотой 10 МГц. Для измерения времени между фронтом нарастания эталонного сигнала (канал A) и фронтом нарастания сигнала испытываемого устройства используется счетчик временных интервалов. Чтобы обеспечить равномерно распределенные измерения, эталонный генератор делится по частоте для формирования частоты измерений, которая инициирует счетчик временных интервалов (вход ARM). Эта частота может быть 1 Гц (с использованием выхода 1 PPS эталонного генератора), но также могут использоваться и другие частоты, такие как 10 Гц и 100 Гц. Скорость, с которой счетчик временных интервалов может завершить измерение, вывести результат и подготовиться к следующему запуску, будет ограничивать частоту инициации. Компьютер затем используется для записи последовательности наблюдаемых разностей во времени.

Последующая обработка

Записанные временные ряды требуют постобработки для развертывания завернутой фазы, чтобы обеспечить непрерывную ошибку фазы. При необходимости следует также исправить ошибки регистрации и измерений. Необходимо выполнить оценку и устранение дрейфа, а также определить и понять механизм дрейфа для выявления его источников. Ограничения, связанные с дрейфом в измерениях, могут быть значительными, поэтому необходимо дать осцилляторам стабилизироваться, поддерживая их включенными в течение достаточного времени. После этого можно рассчитать дисперсию Аллана, используя предложенные оценщики, и для практических целей следует использовать перекрывающийся оценщик из-за его более эффективного использования данных по сравнению с неперекрывающимся оценщиком. Другие оценщики, такие как оценщики полной или Тео-варианса, также могут быть использованы при применении коррекций смещения, обеспечивающих результаты, совместимые с дисперсией Аллана. Для построения классических графиков отклонение Аллана (квадратный корень из дисперсии Аллана) отображается в логарифмическом масштабе по отношению к интервалу наблюдения τ.

Оборудование и программное обеспечение

Счетчик временных интервалов обычно представляет собой коммерчески доступный прибор. Ограничивающие факторы включают разрешение по единичному событию, джиттер запуска, скорость измерений и стабильность опорного генератора. Сбор данных и последующая обработка могут выполняться с использованием существующего коммерческого или общедоступного программного обеспечения. Существуют высокотехнологичные решения, обеспечивающие измерения и вычисления в одном устройстве.

История исследований

Область стабильности частоты изучается на протяжении долгого времени. Однако в 1960-х годах было обнаружено отсутствие четких определений. Симпозиум NASA IEEE по краткосрочной стабильности, прошедший в ноябре 1964 года, привел к публикации специального февральского выпуска IEEE Proceedings on Frequency Stability в 1966 году. Симпозиум NASA IEEE объединил различные области и применения, связанные со стабильностью как в краткосрочной, так и в долгосрочной перспективе, и представил работы множества авторов. В статьях и панельных дискуссиях авторы пришли к согласию относительно существования мерцающего частотного шума и необходимости выработки единого определения для краткосрочной и долгосрочной стабильности. Важные работы, включая труды Дэвида Аллана, Л.С. Катлера и К.Л. Сёрла 1974 года, в 8-й главе которых содержится раздел "Статистика анализа данных времени и частоты". Это расширенная версия технической записки NBS 394, которая существенно дополняет информацию о методах измерений и практической обработке данных. Важным дополнением станут характеристики источников сигналов и методы измерений.

Пятидесятая годовщина

В 2016 году IEEE UFFC планирует опубликовать "Специальный выпуск, посвященный 50-летию дисперсии Аллана (1966–2016)". Гостевым редактором этого выпуска будет бывший коллега Дэвида из NIST, Джуда Левин, недавно удостоенный премии I. I. Rabi.