Введение

Используется для определения предельного продукта и для разграничения аллокативной эффективности.

В экономике производственная функция описывает технологическую взаимосвязь между объемами используемых ресурсов и объемами выпускаемой продукции. Производственная функция является одной из ключевых концепций основных неоклассических теорий, используемой для определения предельного продукта и для разграничения аллокативной эффективности – важнейшего направления экономических исследований. Важной целью производственной функции является анализ аллокативной эффективности использования факторов производства и распределения доходов между ними, при этом абстрагируясь от технологических проблем достижения технической эффективности, в понимании инженера или профессионального менеджера. Для моделирования случаев множественного выпуска и множества ресурсов исследователи часто используют так называемые функции расстояния Шепарда или, альтернативно, функции направленного расстояния, которые являются обобщениями простой производственной функции в экономике. В макроэкономике агрегированные производственные функции используются для создания основы, позволяющей определить, какая доля экономического роста обусловлена изменениями в распределении факторов производства (например, накоплением физического капитала), а какая – технологическим прогрессом. Однако некоторые экономисты, не придерживающиеся основных течений, отвергают саму концепцию агрегированной производственной функции.

Производственная функция в виде графика

Любое из этих уравнений можно изобразить на графике. Типичная (квадратичная) производственная функция показана на следующей диаграмме при условии использования одного переменного фактора производства (или фиксированных пропорций факторов, позволяющих рассматривать их как один переменный фактор). Все точки, расположенные выше производственной функции, недостижимы при текущих технологиях, все точки ниже – технически осуществимы, а все точки на функции показывают максимальный объем выпуска, который можно получить при заданном уровне использования фактора производства. На участке от точки А до точки С фирма испытывает положительную, но убывающую предельную производительность переменного фактора. По мере добавления дополнительных единиц фактора производства объем выпуска увеличивается, но замедляющимися темпами. Точка B – это точка, после которой начинается снижение средней производительности, что демонстрируется уменьшением наклона кривой среднего физического продукта (APP) после точки Y. Точка B является точкой касания с самым крутым лучом, исходящим из начала координат, следовательно, средний физический продукт достигает максимума. После точки B математически необходимо, чтобы предельная кривая располагалась ниже средней кривой (см. основы теории производства для дальнейшего разъяснения и Sickles и Zelenyuk (2019) для более подробного обсуждения различных производственных функций, их обобщений и оценок).

Этапы производства

Для упрощения интерпретации производственной функции, её область определения обычно разделяют на 3 стадии. На стадии 1 (от начала координат до точки B) переменный фактор используется таким образом, что выпуск на единицу этого фактора увеличивается, достигая максимума в точке B (поскольку средний физический продукт максимален именно в этой точке). Поскольку выпуск на единицу переменного фактора растет на протяжении всей стадии 1, фирма, принимающая цены, никогда не будет работать в этой стадии. На стадии 2 выпуск увеличивается замедленными темпами, а средний и предельный физический продукты снижаются. Однако средний продукт фиксированных факторов (не показан) всё ещё растёт, поскольку общий выпуск увеличивается при неизменном использовании фиксированных факторов. На этой стадии привлечение дополнительных переменных факторов увеличивает выпуск на единицу фиксированного фактора, но уменьшает выпуск на единицу переменного фактора. Оптимальная комбинация факторов производства для фирмы, принимающей цены, будет находиться на стадии 2, хотя фирма, сталкивающаяся с убывающей кривой спроса, может посчитать наиболее прибыльным работать на стадии 2. На стадии 3 используется избыточное количество переменных факторов по отношению к имеющимся фиксированным факторам: переменные факторы перегружены в том смысле, что их дополнительное использование на пределе препятствует, а не способствует производственному процессу. Выпуск на единицу как фиксированного, так и переменного фактора снижается на протяжении всей этой стадии. На границе между стадиями 2 и 3 достигается максимально возможный выпуск с использованием имеющихся фиксированных факторов.

Перемещение производственной функции

По определению, в долгосрочной перспективе фирма может изменить масштаб своей деятельности, корректируя уровень ресурсов, которые фиксированы в краткосрочной перспективе, тем самым смещая функцию производства вверх при графическом изображении в зависимости от переменного ресурса. Если фиксированные ресурсы дискретны, корректировки масштаба деятельности могут быть более существенными, чем необходимо для простого уравновешивания производственной мощности со спросом. Например, для удовлетворения спроса может потребоваться увеличить производство всего на миллион единиц в год, но доступные обновления производственного оборудования могут подразумевать увеличение производственных мощностей на 2 миллиона единиц в год. Если фирма работает на уровне максимизации прибыли на первом этапе, в долгосрочной перспективе она может решить сократить масштаб своей деятельности (например, продав капитальное оборудование). Уменьшая объем фиксированных капитальных вложений, производственная функция сместится вниз. Начало второй стадии смещается с B1 на B2. (Неизменный) уровень максимизации прибыли теперь будет достигнут на второй стадии.

Однородные и гомотетические производственные функции

Существует два специальных класса производственных функций, которые часто анализируются. Производственная функция называется однородной по степени *k*, если для любой положительной константы *λ* выполняется условие *f(λx₁ , λx₂) = λᵏf(x₁, x₂)*. Если *k > 1*, функция демонстрирует возрастающую отдачу от масштаба, и убывающую отдачу от масштаба, если *k < 1*. Если она однородна по степени *k = 1*, она демонстрирует постоянную отдачу от масштаба. Наличие возрастающей отдачи от масштаба означает, что увеличение уровня использования всех факторов производства на один процент приведет к увеличению выпуска более чем на один процент; наличие убывающей отдачи от масштаба означает, что это приведет к увеличению выпуска менее чем на один процент. Постоянная отдача от масштаба – это промежуточный случай. В вышеупомянутой производственной функции Кобба-Дугласа отдача от масштаба возрастает, если *α + β > 1*, убывает, если *α + β < 1*, и постоянна, если *α + β = 1*.

Если производственная функция однородна по степени один, ее иногда называют "линейно однородной". Линейно однородная производственная функция с факторами производства капиталом и трудом обладает свойствами, что предельные и средние физические продукты как капитала, так и труда могут быть выражены как функции только отношения капитала к труду. Более того, в этом случае, если каждый фактор производства оплачивается по ставке, равной его предельному продукту, доходы фирмы будут полностью исчерпаны, и не будет избыточной экономической прибыли. Гомотетические функции – это функции, предельная норма технических замен (наклон изокванты, кривой, проходящей через множество точек в пространстве, заданном, например, капиталом и трудом, в которых производится одно и то же количество продукции при различных комбинациях факторов производства) является однородной по степени ноль. Благодаря этому, вдоль лучей, исходящих из начала координат, наклоны изоквант будут одинаковыми. Гомотетические функции имеют вид *f(x₁, x₂) = g(x₁/x₂)*, где *g* – монотонно возрастающая функция (производная *g* положительна), а функция *g* является однородной функцией любой степени.

Объединенные производственные функции

В макроэкономике иногда строятся агрегированные производственные функции для целых стран. В теории они представляют собой сумму производственных функций всех отдельных производителей; однако с агрегированными производственными функциями связаны методологические проблемы, и экономисты долго и активно обсуждают вопрос о состоятельности этой концепции.

О понятии капитала

В 1950-х, 60-х и 70-х годах велись оживленные дебаты о теоретической состоятельности производственных функций (см. споры о капитале). Хотя критика была направлена в основном на агрегированные производственные функции, микроэкономические производственные функции также подверглись тщательному анализу. Эти дебаты начались в 1953 году, когда Джоан Робинсон подвергла критике способ измерения факторного ввода – капитала, а также то, как понятие факторных пропорций отвлекало экономистов. Она писала:

"Производственная функция стала мощным инструментом дезинформации. Студентов экономической теории учат записывать , где – количество труда, – количество капитала, а – объем производства товаров. [Им] предписывается считать всех рабочих одинаковыми и измерять в человеко-часах; [им] рассказывают о проблеме индексов при выборе единицы измерения выпуска; а затем [их] торопят к следующему вопросу, надеясь, что [они] забудут спросить, в каких единицах измеряется К. Прежде чем [они] успеют задать этот вопрос, [они] становятся профессорами, и таким образом, небрежные методы мышления передаются из поколения в поколение". Согласно этому аргументу, невозможно представить капитал таким образом, чтобы его количество было независимым от процентных ставок и заработной платы. Проблема заключается в том, что эта независимость является необходимым условием для построения изокванты. Более того, наклон изокванты помогает определить относительные цены факторов, но построить эту кривую (и измерить ее наклон) невозможно, если цены неизвестны заранее.

Об эмпирической значимости

В результате критики слабых теоретических основ, утверждалось, что эмпирические данные убедительно подтверждают использование неоклассических, хорошо определенных агрегированных производственных функций. Однако Анвар Шейх показал, что они также лишены эмпирической значимости, поскольку их кажущаяся хорошая соответствие обусловлена тождеством бухгалтерского учета, а не какими-либо фундаментальными закономерностями производства и распределения.

Природные ресурсы

Природные ресурсы обычно не учитываются в производственных функциях. Когда Роберт Солоу и Джозеф Стиглиц попытались разработать более реалистичную производственную функцию, включив в нее природные ресурсы, они сделали это способом, который экономист Николас Жоржску-Роген назвал "фокусом с исчезновением": Солоу и Стиглиц не учли законы термодинамики, поскольку их модель допускала полную взаимозаменяемость между созданным человеком капиталом и природными ресурсами. Ни Солоу, ни Стиглиц не отреагировали на критику Жоржску-Рогена, несмотря на приглашение ответить на нее в сентябрьском выпуске журнала Ecological Economics. Жоржску-Рогена можно рассматривать как критиковавшего подход Солоу и Стиглица к математическому моделированию факторов производства. Мы используем энергию в качестве примера, чтобы проиллюстрировать сильные и слабые стороны обоих подходов.

Взаимозависимые факторы производства

"Независимая" производственная функция, зависящая от энергии, может быть пересмотрена путем учета зависимых от энергии функций трудовых и капитальных вложений. Этот подход приводит к производственной функции, зависящей от энергии, которая в общем виде задается как […]. Детали, связанные с выводом конкретной функциональной формы этой производственной функции, а также эмпирическое подтверждение этой формы производственной функции обсуждаются в более поздних публикациях. Следует отметить, что аналогичные аргументы могут быть использованы для разработки более реалистичных производственных функций, учитывающих другие истощаемые природные ресурсы, помимо энергии:

Если географический регион исчерпывает природные ресурсы, необходимые для производства определенной машины или обслуживания существующих машин, и не имеет возможности импортировать дополнительные ресурсы или осуществлять переработку, машины в этом регионе в конечном итоге выйдут из строя, а их максимальная производительность снизится почти до нуля. Это следует моделировать как существенное влияние на общий объем производства. Следовательно, следует моделировать зависимость от временных изменений в поступлении природных ресурсов.

Практика производственных функций

Теория производственной функции описывает взаимосвязь между физическим объемом выпуска производственного процесса и физическим объемом используемых ресурсов, то есть факторов производства. Практическое применение производственных функций достигается путем оценки физического объема выпуска и используемых ресурсов в ценах. Экономическая стоимость физического объема выпуска минус экономическая стоимость физического объема используемых ресурсов представляет собой доход, генерируемый производственным процессом. Если поддерживать цены неизменными между двумя рассматриваемыми периодами, то можно определить изменение дохода, вызванное изменением производственной функции. Именно так производственная функция становится практическим понятием, то есть измеримым и понятным в реальных ситуациях.