Введение

Сумматическая функция функции Мёбиуса

В теории чисел функция Мертенса определяется для всех положительных целых чисел n как

где – функция Мёбиуса. Функция названа в честь Франца Мертенса. Это определение может быть расширено до положительных действительных чисел следующим образом:

Менее формально, – это количество безквадратных целых чисел до x, имеющих четное число простых делителей, минус количество тех, которые имеют нечетное число. Первые 143 значения M(n) следующие:

M(n) +0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 0+10−1−1−2−1−2−2−2−1−2 12+−2−3−2−1−1−2−2−3−3−2−1−2 24+−2−2−1−1−1−2−3−4−4−3−2−1 36+−1−2−1 0−1−2−3−3−3−2−3 48+−3−3−3−2−2−3−3−2−2−1 0−1 60+−1−2−1−1−1 0−1−2−2−1−2−3 72+−3−4−3−3−3−2−3−4−4−4−3−4 84+−4−3−2−1−1−2−2−1−1 0 1296+2 11110−1−2−2−3−2−3 108+−3−4−5−4−4−5−6−5−5−5−4−3 120+−3−3−2−1−1−1−1−2−2−1−2−3 132+−3−2−1−1−1−2−3−4−4−3−2−1

Функция Мертенса медленно растет как в положительном, так и в отрицательном направлениях, как в среднем, так и по пиковым значениям, колеблясь, по-видимому, хаотично и проходя через ноль, когда n принимает значения
2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427, 428.
Поскольку функция Мёбиуса принимает только значения −1, 0 и +1, функция Мертенса растет медленно, и не существует такого x, чтобы |M(x)| > x.
Г. Давенпорт показал, что для любого фиксированного h,

равномерно по Это подразумевает, что для

Предположение Мертенса шло еще дальше, утверждая, что не будет такого x, где абсолютное значение функции Мертенса превышало бы квадратный корень из x. Предположение Мертенса было опровергнуто в 1985 году Эндрю Одлицко и Германом те Риле. Однако гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте M(x), а именно M(x) = O(x1/2 + ε). Поскольку высокие значения для M(x) растут по крайней мере так же быстро, как , это накладывает довольно жесткое ограничение на скорость ее роста. Здесь O относится к нотации «большое O». Настоящая скорость роста M(x) неизвестна. Неопубликованная гипотеза Стива Гонека гласит, что

Вероятностные доказательства этой гипотезы даны Натаном Нгом. В частности, Нг дает условное доказательство того, что функция имеет предельное распределение на То есть, для всех ограниченных липшицево-непрерывных функций на действительных числах мы имеем, что

если принять различные гипотезы о функции дзета Римана.

В качестве суммы числа точек под n-мерными гиперболоидами

Эта формулировка, расширяющая функцию Мертенса, предполагает асимптотические оценки, полученные при рассмотрении проблемы делителей Пилца, которая является обобщением проблемы делителей Дирихле, связанной с вычислением асимптотических оценок для сумматорной функции функции делителей.

Расчет

Ни один из вышеупомянутых методов не приводит к практическим алгоритмам для вычисления функции Мертенса. Используя методы просеивания, аналогичные используемым при подсчете простых чисел, функция Мертенса была вычислена для всех целых чисел до возрастающего диапазона x.

| Имя | Год | Предел |
|------------|------|--------|
| Мертенс | 1897 | 10⁴ |
| фон Стернек | 1897 | 1.5×10⁴ |
| фон Стернек | 1901 | 5×10⁴ |
| Нейбауэр | 1912 | 5×10⁴ |
| Коэн и Дресс| 1963 | 10⁸ |
| Дресс | 1979 | 7.8×10⁸ |
| Лиоен и ван де Лун | 1993 | 10¹² |
| Котник и ван де Лун | 1994 | 10¹³ |
| Хёрст | 2003 | 10¹⁴ |
| | 2016 | 10¹⁶ |

Функция Мертенса для всех целых значений до x может быть вычислена за время O(x log log x). Комбинаторный алгоритм, разработанный последовательно начиная с 1870 года Эрнстом Мейсселем, Лемером, Лагариасом, Миллером, Одлызко и Делеглизом-Риватом, вычисляет отдельные значения M(x) за время O(x²/³ (log log x)¹/³); дальнейшее улучшение, предложенное Харальдом Хельфготтом и Лолой Томпсон в 2021 году, снижает это значение до O(x³/⁵ (log x)³/⁵ + ε), а алгоритм Лагариаса и Одлызко, основанный на интегралах функции дзета Римана, достигает времени работы O(x¹/² + ε). См. для значений M(x) при степенях 10.