Гармонограф: Механическое создание изображений маятниками
Harmonograph
Гармонограф: устройство для создания геометрических изображений с помощью маятников. История, принцип работы, кривые Лиссажу и изобретатель Хью Блэкберн.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Устройство, использующее маятники для создания изображений
Device using pendulums to create images
Гармонограф – это механический аппарат, использующий маятники для создания геометрического изображения. Рисунки, создаваемые с его помощью, как правило, представляют собой кривые Лиссажу или связанные с ними рисунки большей сложности. Устройства, которые начали появляться в середине XIX века и достигли пика популярности в 1890-х годах, нельзя однозначно приписать одному изобретателю, хотя Хью Блэкберн, профессор математики в Университете Глазго, обычно считается его официальным создателем. Простой, так называемый "боковой" гармонограф использует два маятника для управления движением пера относительно поверхности рисования. Один маятник перемещает перо вперед-назад по одной оси, а другой – поверхность рисования вперед-назад по перпендикулярной оси. Изменяя частоту и фазу маятников относительно друг друга, можно создавать различные узоры. Даже простой гармонограф, как описано выше, способен создавать эллипсы, спирали, восьмерки и другие фигуры Лиссажу. Более сложные гармонографы включают в себя три или более маятника или связанные маятники (например, подвешивание одного маятника к другому), либо используют вращательное движение, при котором один или несколько маятников установлены на карданном подвесе, позволяющем движение в любом направлении. Особый тип гармонографа, пинтограф, основан на относительном движении двух вращающихся дисков, как показано по ссылкам ниже. (Пинтограф не следует путать с пантографом, который является механическим устройством, используемым для увеличения изображений.)
A harmonograph is a mechanical apparatus that employs pendulums to create a geometric image. The drawings created typically are Lissajous curves or related drawings of greater complexity. The devices, which began to appear in the mid 19th century and peaked in popularity in the 1890s, cannot be conclusively attributed to a single person, although Hugh Blackburn, a professor of mathematics at the University of Glasgow, is commonly believed to be the official inventor. A simple, so called "lateral" harmonograph uses two pendulums to control the movement of a pen relative to a drawing surface. One pendulum moves the pen back and forth along one axis, and the other pendulum moves the drawing surface back and forth along a perpendicular axis. By varying the frequency and phase of the pendulums relative to one another, different patterns are created. Even a simple harmonograph as described can create ellipses, spirals, figure eights and other Lissajous figures. More complex harmonographs incorporate three or more pendulums or linked pendulums together (for example, hanging one pendulum off another), or involve rotary motion, in which one or more pendulums is mounted on gimbals to allow movement in any direction. A particular type of harmonograph, a pintograph, is based on the relative motion of two rotating disks, as illustrated in the links below. (A pintograph is not to be confused with a pantograph, which is a mechanical device used to enlarge figures.)
История
В 1870-х годах термин "гармонограф" впервые встречается в связи с А. Э. Донкиным и устройствами, созданными Сэмюэлем Чарльзом Тисли.
In the 1870s, the term harmonograph is attested in connection with A. E. Donkin and devices built by Samuel Charles Tisley.
Блэкбернский маятник
Блэкберновский маятник – это устройство для демонстрации простого гармонического движения, названное в честь Хью Блэкберна, описавшего его в 1844 году. Впервые он был рассмотрен Джеймсом Дином в 1815 году и математически проанализирован Натаниэлем Боудичем в том же году. Груз подвешен на нити, которая, в свою очередь, крепится к паре нитей, образующих V-образную конструкцию, благодаря чему маятник одновременно колеблется в двух взаимно перпендикулярных направлениях с различными периодами. В результате груз описывает траекторию, напоминающую кривую Лиссажу; он относится к семейству механических устройств, известных как гармонографы. В середине XX века в учебниках по физике этот тип маятника иногда называли двойным маятником.
A Blackburn pendulum is a device for illustrating simple harmonic motion, it was named after Hugh Blackburn, who described it in 1844. This was first discussed by James Dean in 1815 and analyzed mathematically by Nathaniel Bowditch in the same year. A bob is suspended from a string that in turn hangs from a V shaped pair of strings, so that the pendulum oscillates simultaneously in two perpendicular directions with different periods. The bob consequently follows a path resembling a Lissajous curve; it belongs to the family of mechanical devices known as harmonographs. Mid 20th century physics textbooks sometimes refer to this type of pendulum as a double pendulum.
Фигура гармографа, созданная компьютером
Гармонограф создает свои фигуры, используя движения затухающих маятников. Движение затухающего маятника описывается уравнением
A harmonograph creates its figures using the movements of damped pendulums. The movement of a damped pendulum is described by the equation
в котором обозначает частоту, – фазу, – амплитуду, – затухание и – время. Если этот маятник может двигаться по двум осям (по круговой или эллиптической траектории), то, благодаря принципу суперпозиции, движение стержня, соединенного с нижней частью маятника вдоль одной из осей, будет описано уравнением
in which represents frequency, represents phase, represents amplitude, represents damping and represents time. If that pendulum can move about two axes (in a circular or elliptical shape), due to the principle of superposition, the motion of a rod connected to the bottom of the pendulum along one axes will be described by the equation
Типичный гармонограф имеет два маятника, движущихся подобным образом, и перо, которое перемещается двумя перпендикулярными стержнями, соединенными с этими маятниками. Следовательно, траектория фигуры гармонографа описывается параметрическими уравнениями
A typical harmonograph has two pendulums that move in such a fashion, and a pen that is moved by two perpendicular rods connected to these pendulums. Therefore, the path of the harmonograph figure is described by the parametric equations
Соответствующая компьютерная программа может преобразовать эти уравнения в график, имитирующий гармонограф. Повторное применение первого уравнения к каждому из этих уравнений позволяет имитировать движение листа бумаги (см. рисунок ниже).
An appropriate computer program can translate these equations into a graph that emulates a harmonograph. Applying the first equation a second time to each equation can emulate a moving piece of paper (see the figure below).