Введение

Тип математической функции

другие применения "по кусочно-линейной" функции
В математике, кусочно-линейная или сегментированная функция — это функция вещественной переменной, график которой состоит из отрезков прямых линий.

Определение

Линейная функция по частям — это функция, определенная на (возможно, неограниченном) интервале действительных чисел, такая, что существует набор интервалов, на каждом из которых функция является аффинной функцией. (Таким образом, термин "линейная по частям" фактически означает "аффинная по частям".) Если область определения функции компактна, то должен существовать конечный набор таких интервалов; если область определения не компактна, то может потребоваться, чтобы этот набор был конечным или локально конечным в множестве действительных чисел.

Приспособление к кривой

Приближение к известной кривой можно получить, выполняя дискретизацию кривой и линейную интерполяцию между полученными точками. Опубликован алгоритм вычисления наиболее важных точек с учетом заданной погрешности.

Подгонка к данным

Если разделы и точки разрыва уже известны, линейная регрессия может быть выполнена независимо для каждого из этих разделов. Однако в этом случае не обеспечивается непрерывность, и отсутствует единая базовая модель, описывающая наблюдаемые данные. Для этого случая разработан устойчивый алгоритм. Если разделы неизвестны, для выбора оптимальных точек разделения можно использовать остаточную сумму квадратов. Однако эффективные вычисления и совместная оценка всех параметров модели (включая точки разрыва) могут быть достигнуты с помощью итеративной процедуры, реализованной в пакете `segmented` для языка R. Вариант обучения деревьев решений, известный как модельные деревья, позволяет изучать кусочно-линейные функции.

Приложения

В сельском хозяйстве применяется кусочно-регрессионный анализ измеренных данных для определения диапазона, в котором факторы роста влияют на урожайность, и диапазона, в котором культура нечувствительна к изменениям этих факторов. График слева показывает, что при неглубоком залегании уровня грунтовых вод урожайность снижается, в то время как при более глубоком залегании (> 7 дм) урожайность не изменяется. График построен методом наименьших квадратов для определения двух сегментов с наилучшей степенью соответствия. График справа показывает, что урожайность сельскохозяйственных культур устойчива к засоленности почвы до ECe = 8 дС/м (ECe – электрическая проводимость экстракта насыщенного образца почвы), а при превышении этого значения наблюдается снижение урожайности. График построен методом частной регрессии для определения максимально широкого диапазона "отсутствия эффекта", то есть участка, где линия горизонтальна. Два сегмента не обязательно должны соприкасаться в одной точке. Метод наименьших квадратов используется только для второго сегмента.