Кіріспе
Математикада, n айнымалылардың k өрісіндегі алгебралық функция өрісі (көбінесе функция өрісі деп қысқартылады) – k өрісіндегі трансценденттік дәрежесі n болатын K/k шекті түрде жасалған өріс кеңейтілімідері. Балама ретінде, n айнымалылардың k өрісіндегі алгебралық функция өрісі, k өрісіндегі n айнымалылардың рационалды функцияларының өрісі K = k(x₁, …, xₙ) өрісінің шекті кеңейтілімі ретінде анықталуы мүмкін.
In mathematics, an algebraic function field (often abbreviated as function field) of n variables over a field k is a finitely generated field extension K/k which has transcendence degree n over k. Equivalently, an algebraic function field of n variables over k may be defined as a finite field extension of the field K = k(x1, ,xn) of rational functions in n variables over k.
Мысал
Мысалы, k[X,Y] полиномиялық сақинасында Y² − X³ иррационалды полиномиясымен туындаған идеалды қарастырайық және k[X,Y]/(Y² − X³) бөлу сақинасының бөлшектер өрісін құрайық. Бұл k-ның бір айнымалысының функциялық өрісі болып табылады; оны (k-ға қатысты 2-дәрежелі) немесе (k-ға қатысты 3-дәрежелі) деп те жазуға болады. Алгебралық функциялық өрістің дәрежесі анықталмаған ұғым екенін көреміз.
Санаты құрылымы
k-ға дейінгі алгебралық функциялық өрістер санат құрайды; K функциялық өрісінен L функциялық өрісіне дейінгі морфизмдер – f: K → L сақиналық гомоморфизмдері болып табылады, мұнда k-дағы барлық a үшін f(a) = a. Бұл морфизмдердің бәрі инъективті. Егер K – k-ның n айнымалысындағы функциялық өріс болса, ал L – m айнымалысындағы функциялық өріс болса және n > m болса, онда K-дан L-ге морфизмдер жоқ.
Түрліліктерден, қисықтардан және Риманның бетінен туындайтын функция өрістері
n / k өлшемді алгебралық сан алуандықтың функциялық өрісі – n / k сан алуандығының алгебралық функциялық өрісі. Екі сан алуандық бирационалдық эквивалентті болады, егер және тек егер олардың функциялық өрістері изоморфты болса. (Бірақ, изоморфты емес сан алуандықтардың бірдей функциялық өрісі болуы мүмкін екеніне назар аударыңыз!) Әрбір сан алуандыққа оның функциялық өрісін сәйкес қою, k-дағы сан алуандықтар санаты (морфизмдер ретінде басым рационалды карталар) мен k-дағы алгебралық функциялық өрістер санаты арасындағы дуалдықты (контраварианттық тепе-теңдік) тудырады. (Бұл жерде қарастырылатын сан алуандықтар схемалық мағынада түсініледі; олардың, мысалы, нақты сандарда анықталған 1=X^(2) + Y^(2) + 1 = 0 қисығы сияқты k рационалдық нүктелері болуы міндетті емес, яғни 1=k = 'R'.) n = 1 (схемалық мағынадағы кемітілмейтін алгебралық қисықтар) жағдайы ерекше маңызды, себебі k-дағы әрбір бір айнымалы функциялық өрісі, k-дағы бірмәнді анықталған тұрақты (яғни сингуляр емес) проективті кемітілмейтін алгебралық қисықтың функциялық өрісі ретінде туындайды. Шындығында, функциялық өріс k-дағы бір айнымалы функциялық өрістер санаты мен тұрақты проективті кемітілмейтін алгебралық қисықтар санаты арасындағы дуалдықты тудырады.
Two varieties are birationally equivalent if and only if their function fields are isomorphic. (But note that non isomorphic varieties may have the same function field!) Assigning to each variety its function field yields a duality (contravariant equivalence) between the category of varieties over k (with dominant rational maps as morphisms) and the category of algebraic function fields over k. (The varieties considered here are to be taken in the scheme sense; they need not have any k rational points, like the curve 1=X^(2) + Y^(2) + 1 = 0 defined over the reals, that is with 1=k = 'R'.) The case n = 1 (irreducible algebraic curves in the scheme sense) is especially important, since every function field of one variable over k arises as the function field of a uniquely defined regular (i. e. non singular) projective irreducible algebraic curve over k. In fact, the function field yields a duality between the category of regular projective irreducible algebraic curves (with dominant regular maps as morphisms) and the category of function fields of one variable over k.
Байланысты Риман бетіне анықталған мероморфтық функциялардың M(X) өрісі – күрделі сандар C-ге бір айнымалы функциялық өріс. Шындығында, M – күрделі сандар C-ге байланысты ықшамдалған байланысты Риман беттері санаты (қалыптаспалы голоморфтық карталар) мен C-ге қатысты бір айнымалы функциялық өрістер санаты арасындағы дуалдықты (контраварианттық тепе-теңдік) тудырады. Ықшамдалған байланысты Кляйн беттері мен бір айнымалы функциялық өрістер арасында R-ге қатысты да ұқсас сәйкестік бар.
Сандық және шекті өрістер
Функциялық өрістер аналогиясы сан өрістеріндегі дерлік барлық теоремалардың бір айнымалы функциялық өрістерінде, шекті өріс үстінде аналогтары бар екенін көрсетеді, және мұндай аналогтарды дәлелдеу көбінесе оңайырақ болады. (Мысалы, шекті өрістегі икемдемейтін көпмүшелерге қатысты аналогты қараңыз.) Осы аналогия аясында, сан өрістері де, шекті өрістердегі функциялық өрістер де әдетте "жаһандық өрістер" деп аталады. Шекті өріс үстіндегі функциялық өрістерді зерттеу криптография және қателерді түзету кодтары салаларында қолданылады. Мысалы, шекті өріс үстіндегі эллипстік қисықтың функциялық өрісі (ашық кілтті криптография үшін маңызды математикалық құрал) алгебралық функциялық өріс болып табылады. Рационал сандар өрісіндегі функциялық өрістер кері Галуа мәселелерін шешуде де маңызды рөл атқарады.
Тұрақтылар өрісі
Кез келген алгебралық функциялық дене K/k берілген болса, K денесінің k-ға алгебралық болатын элементтерінің жиынын қарастыра аламыз. Бұл элементтер алгебралық функциялық дененің тұрақтылар денесі деп аталатын дене құрайды. Мысалы, C(x) – R бойынша бір айнымалы функциялық дене; оның тұрақтылар денесі C.
Бағалар мен орындар
Алгебралық функциялық денелерді зерттеудегі негізгі құралдар – абсолюттік шамалар, бағалаулар, орындар және олардың толықтырылуы. Бір айнымалылы K/k алгебралық функциялық денесі берілгенде, K/k бағалау сақинасының ұғымын анықтаймыз: бұл k-ны қамтитын және k мен K-дан өзгеше болатын K-ның O кіші сақинасы, және K-дегі кез келген x үшін x ∈ O немесе x⁻¹ ∈ O орындалады. Мұндай әрбір бағалау сақинасы дискретті бағалау сақинасы болып табылады және оның максималды идеалы K/k орны деп аталады. K/k дискретті бағалауы – v: K → Z∪{∞} сюръективті функциясы, мұнда x = 0 болғанда ғана v(x) = ∞, v(xy) = v(x) + v(y) және барлық x, y ∈ K үшін v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)), ал барлық a ∈ k \ {0} үшін v(a) = 0. K/k бағалау сақиналарының жиыны, K/k орындарының жиыны және K/k дискретті бағалауларының жиыны арасында табиғи биективті сәйкестіктер бар. Бұл жиындарға табиғи топологиялық құрылым беруге болады: K/k-ның Зариски-Риман кеңістігі.