Введение

Конечно порожденное расширение поля положительной степени трансцендентности

В математике, алгебраическое поле функций (часто сокращаемое как поле функций) от n переменных над полем k — это конечно порожденное расширение поля K/k, имеющее степень трансцендентности n над k. Эквивалентно, алгебраическое поле функций от n переменных над k может быть определено как конечное расширение поля K = k(x₁, …, xₙ) рациональных функций от n переменных над k.

Пример

В качестве примера, в кольце многочленов k[X,Y] рассмотрим идеал, порожденный неразложимым многочленом Y² − X³ и сформируем поле частных кольца k[X,Y]/(Y² − X³). Это поле функций одной переменной над k; его также можно записать как (степени 2 над k) или как (степени 3 над k). Мы видим, что степень алгебраического поля функций не является четко определенным понятием.

Структура категорий

Алгебраические поля функций над k образуют категорию; морфизмы из поля функций K в L — это кольцевые гомоморфизмы f : K → L, такие что f(a) = a для всех a из k. Все эти морфизмы инъективны. Если K — поле функций над k от n переменных, а L — поле функций от m переменных, и n > m, то морфизмов из K в L не существует.

Функциональные поля, возникающие из разновидностей, кривых и поверхностей Римана

Поле функций алгебраического многообразия размерности n над k является алгебраическим полем функций n переменных над k. Два многообразия бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их поля функций изоморфны. (Но следует отметить, что неизоморфные многообразия могут иметь одно и то же поле функций!) Отображение, сопоставляющее каждому многообразию его поле функций, задает дуальность (контравариантное соответствие) между категорией многообразий над k (с доминирующими рациональными отображениями в качестве морфизмов) и категорией алгебраических полей функций над k. (Многообразия, рассматриваемые здесь, понимаются в смысле схем; они не обязаны иметь k-рациональные точки, как, например, кривая 1=X^(2) + Y^(2) + 1 = 0, заданная над действительными числами, то есть при 1=k = 'R'.) Случай n = 1 (неприводимые алгебраические кривые в смысле схемы) особенно важен, поскольку каждое поле функций одной переменной над k возникает как поле функций единственно определенной регулярной (т.е. несингулярной) проективной неприводимой алгебраической кривой над k. Фактически, поле функций задает дуальность между категорией регулярных проективных неприводимых алгебраических кривых (с доминирующими регулярными отображениями в качестве морфизмов) и категорией полей функций одной переменной над k.

Поле M(X) мероморфных функций, определенных на связной римановой поверхности X, является полем функций одной переменной над комплексными числами C. Фактически, M задает дуальность (контравариантное соответствие) между категорией компактных связных римановых поверхностей (с неголоморфными отображениями, не являющимися константами, в качестве морфизмов) и полями функций одной переменной над C. Аналогичное соответствие существует между компактными связными поверхностями Клейна и полями функций одной переменной над R.

Числовые поля и конечные поля

Аналогия поля функций утверждает, что почти для всех теорем о числовых полях существует аналог в полях функций одной переменной над конечным полем, и эти аналоги часто проще доказать. (Например, см. Аналог для неприводимых многочленов над конечным полем.) В контексте этой аналогии как числовые поля, так и поля функций над конечными полями обычно называют "глобальными полями". Изучение полей функций над конечным полем находит применение в криптографии и кодах, исправляющих ошибки. Например, поле функций эллиптической кривой над конечным полем (важный математический инструмент для криптографии с открытым ключом) является алгебраическим полем функций. Поля функций над полем рациональных чисел также играют важную роль в решении обратных задач Галуа.

Поле констант

Для любого алгебраического поля функций K над k мы можем рассмотреть множество элементов K, алгебраических над k. Эти элементы образуют поле, известное как поле констант алгебраического поля функций. Например, C(x) является полем функций одной переменной над R; его поле констант равно C.

Оценки и места

Ключевыми инструментами для изучения алгебраических функциональных полей являются абсолютные значения, валорации, места и их завершения. Для алгебраического функционального поля K/k одной переменной мы определяем понятие кольца валорации K/k: это подкольцо O поля K, содержащее k и отличное от k и K, такое что для любого x из K выполняется либо x ∈ O, либо x⁻¹ ∈ O. Каждое такое кольцо валорации является дискретным кольцом валорации, а его максимальный идеал называется местом K/k. Дискретная валорация K/k — это сюръективное отображение v : K → Z ∪ {∞}, такое что v(x) = ∞ тогда и только тогда, когда x = 0, v(xy) = v(x) + v(y) и v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)) для всех x, y ∈ K, и v(a) = 0 для всех a ∈ k \ {0}. Существуют естественные биективные соответствия между множеством колец валорации K/k, множеством мест K/k и множеством дискретных валораций K/k. Этим множествам можно придать естественную топологическую структуру: пространство Зариски — Римана K/k.