Кіріспе
Хаостық карталар класы
Хаос теориясы математикасында аттың ізі картасы – шаршыны өзіне айналдыратын хаостық карталар класының кез келген мүшесі. Бұл динамикалық жүйелерді зерттеудегі маңызды мысал. Картаны Стивен Смел ван дер Поль осцилляторының орбиталарының мінез-құлқын зерттеген кезде енгізді. Картаның әрекеті геометриялық түрде шаршыны қысып, содан кейін нәтижені ұзын жолаққа созу және, соңында, жолақты аттың ізі пішініне бүктеу арқылы анықталады. Көптеген нүктелер картаның әсерінен шаршыны тастап кетеді. Олар қаптарға қарай жылжиды, онда олар қайталап ішкенде қаптардың біріндегі бекітілген нүктеге жақындайды. Қайталап ішкенде шаршыда қалатын нүктелер фракталдық жиынды құрайды және картаның инвариантты жиынының бөлігі болып табылады. Аттың ізі картасының қысуы, созуы және бүктелуі хаостық жүйелерге тән, бірақ қажетті емес және тіпті жеткілікті емес. Аттың ізі картасында қысу және созу біркелкі болады. Олар бір-бірін теңестіреді, сондықтан шаршының ауданы өзгермейді. Бүктелу мұқият жасалады, сондықтан шаршыда мәңгілікке қалатын орбиталарды оңай сипаттауға болады. Аттың ізі картасы үшін:
шексіз көп мерзімді орбиталар бар;
кез келген ұзақтықтағы мерзімді орбиталар бар;
мерзімді орбиталардың саны кезеңмен бірге экспоненциалды түрде өседі; және
фракталдық инвариантты жиынның кез келген нүктесіне жақын мерзімді орбитаның нүктесі бар.
there are an infinite number of periodic orbits;
periodic orbits of arbitrarily long period exist;
the number of periodic orbits grows exponentially with the period; and
close to any point of the fractal invariant set there is a point of a periodic orbit.
Ат тұяғы картасы
Ат тұғыры картасы – жазықтықтың S аймағынан өзіне қарай анықталатын диффеоморфизм. S аймағы – екі жартылай дискімен шектелген квадрат. (The "horseshoe") кодоменасы оның доменінің нақты кіші жиынтығы болып табылады. f әрекеті үш геометриялық түрде анықталған түрлендірулердің композициясы арқылы анықталады. Біріншіден, квадрат тік бағытта белгілі бір коэффициентпен қысқарады. Дискілер жартылай дискілер ретінде қалатындай етіп, нәтижедегі тіктөртбұрышқа жалғастырылады. Бір жарымнан кем коэффициентте қысқарту ат тұғырының тармақтары арасында бос орын болатынын қамтамасыз етеді. Содан кейін тіктөртбұрыш көлденең бағытта белгілі бір коэффициентпен созылады; дискілер өзгеріссіз қалады. Соңында, алынған жолақ ат тұғыры пішініне бүктеліп, қайтадан S-ке орналастырылады. Динамиканың қызықты бөлігі – квадраттың өзіне өтуі. Осы бөлік анықталғаннан кейін, картаны дискілердегі әрекетін анықтап, диффеоморфизмге дейін кеңейтуге болады. Дискілер қысқарады және ақырында біреуінің (суреттегі сол жақтағы) ішіне өтеді. f-тің дискілерге дейінгі кеңейтілуі картаның серуендемейтін жиынтығына тұрақты нүкте қосады. Ат тұғыры карталарының класын қарапайым ұстау үшін ат тұғырының қисық бөлігі қайтадан квадратқа өтуіне жол берілмеуі керек. Ат тұғыры картасы бір-бірге сәйкес келеді, яғни f астында S кескінімен шектелгенде f−1 кері функциясы бар. Қысқартылған және созылған квадратты әртүрлі жолдармен бүктеу арқылы ат тұғыры карталарының басқа түрлері де мүмкін. Картаның бір-бірге сәйкес келуін қамтамасыз ету үшін қысқартылған квадрат өзін-өзі жаппауы керек. Квадраттағы әрекет диффеоморфизмге дейін кеңейтілгенде, кеңейту әрқашан жазықтықта жасалмайды. Мысалы, оң жақтағы картаны экватордың айналасын орап тұратын «дискі» арқылы сфераның диффеоморфизміне кеңейту қажет. Ат тұғыры картасы – Аксиома А диффеоморфизмі, ол тұрақты және тұрақсыз көптіктердің кезеңдік нүктеде қиылысатын көлденең гомоклиникалық нүктедегі жалпы мінез-құлықтың моделі болып табылады.
The interesting part of the dynamics is the image of the square into itself. Once that part is defined, the map can be extended to a diffeomorphism by defining its action on the caps. The caps are made to contract and eventually map inside one of the caps (the left one in the figure). The extension of f to the caps adds a fixed point to the non wandering set of the map. To keep the class of horseshoe maps simple, the curved region of the horseshoe should not map back into the square. The horseshoe map is one to one, which means that an inverse f−1 exists when restricted to the image of S under f.
By folding the contracted and stretched square in different ways, other types of horseshoe maps are possible. To ensure that the map remains one to one, the contracted square must not overlap itself. When the action on the square is extended to a diffeomorphism, the extension cannot always be done in the plane. For example, the map on the right needs to be extended to a diffeomorphism of the sphere by using a “cap” that wraps around the equator. The horseshoe map is an Axiom A diffeomorphism that serves as a model for the general behavior at a transverse homoclinic point, where the stable and unstable manifolds of a periodic point intersect.
Картаның динамикасы
Ат айқасы картасы берілген периодты орбитаның айналасындағы ағыстың хаотикалық динамикасын қайта жаңғырту үшін құрастырылған. Айналасы орбитаға перпендикуляр шағын диск ретінде таңдалады. Жүйе дами келе, бұл дисктегі нүктелер берілген периодты орбитаға жақын қалып, ақырында дискпен қайта қиылысатын орбиталарды құрайды. Басқа орбиталар шашырап кетеді. Дискідегі барлық орбиталардың мінез-құлқын дискке не болатынын қарастыру арқылы анықтауға болады. Диск пен берілген периодты орбитаның қиылысуы орбитаның әр периодында өзіне және оның айналасындағы нүктелерге оралады. Бұл айнала қайта келгенде, оның пішіні өзгереді. Диск ішіндегі нүктелердің арасында диск айналасынан шығып кететіндері де, қайта оралатындары да бар. Берілген периодты орбитаның айналасынан ешқашан шықпайтын нүктелер жиынтығы фрактал құрайды. Айналасында қалатын барлық орбиталарға символдық атау беруге болады. Бастапқы айнала дискісін шағын аймақтарға бөлуге болады. Орбитаның осы аймақтарды аралау тізбегін білу орбитаны нақты анықтауға мүмкіндік береді. Орбиталардың аралау тізбегі динамиканың символдық бейнесін, яғни символдық динамиканы қамтамасыз етеді.
Орбиталар
Жылқының ілгегі картасының барлық бастапқы жағдайларының мінез-құлқын сипаттау мүмкін. Бастапқы нүкте u0 = (x, y) f(u0) нүктесіне бейнеленеді, яғни u1 = f(u0). Оның келесі итерациясы u2 = f(u1) = f²(u0) болып табылады, ал қайталанған итерация u0, u1, u2 орбитасын жасайды.
Жылқының ілгегі картасының қайталанған итерациясы кезінде көптеген орбиталар сол жақ бөлігіндегі тұрақты нүктеге жетеді. Бұл себебі жылқының ілгегі сол жақ бөлігін өзіне аффиндік түрлендіру арқылы бейнелейді, және осы түрлендірудің дәл бір тұрақты нүктесі бар. Сол жақ бөлікке түскен кез келген орбита оны ешқашан тастамайды және итерация кезінде сол жақ бөлігіндегі тұрақты нүктеге жақындайды. Оң жақ бөлігіндегі нүктелер келесі итерацияда сол жақ бөлікке бейнеленеді, ал квадраттың көп бөлігі бөліктерге бейнеленеді. Итерация кезінде көптеген нүктелер сол жақ бөлігіндегі тұрақты нүктеге жақындайтын орбиталардың бөлігі болады, бірақ квадраттың кейбір нүктелері ешқашан одан шықпайды.
Өзгермейтін жиын
Егер бір нүкте квадратта шексіз уақытқа дейін қалуы керек болса, онда ол өзіне өтетін Λ жиынына жататын болуы керек. Бұл жиынның бос немесе бос емес екенін анықтау қажет. Тік жолақтар V1 көлденең жолақтар H1-ге бейнеленеді, бірақ V1-дің барлық нүктелері V1-ге кері бейнеленбейді. Тек V1 және H1 қиылысындағы нүктелер ғана Λ-ға жатуы мүмкін, себебі қиылыстан тыс нүктелерді бір қайталап тексеруге болады. Көлденең және тік жолақтардың қиылысы, Hn ∩ Vn, n → ∞ болғанда Λ инвариантты жиынына жақындайтын квадраттар (бұл жиын Cantor жиынынан құралған тік сызықтардың Cantor жиынынан құралған көлденең сызықтармен қиылысы). Бұл жиынның құрылымын түсіну үшін барлық қиылыстарға белгілер жүйесін енгізуге болады – символдық динамика.
Символикалық динамика
Hn ∩ Vn ⊂ V1 болғандықтан, итерация кезінде Λ-да орналасқан кез келген нүкте V1-дің сол жақ вертикальді жолағында A немесе оң жақ вертикальді жолағында B-ге түсуі керек. H1-дің төменгі көлденең жолағы – A-ның бейнесі, ал жоғарғы көлденең жолағы – B-ның бейнесі, сондықтан H1 = f(A) ∪ f(B). A және B жолақтарын V1 және H1 қиылысындағы төрт шаршыны белгілеу үшін пайдалануға болады: ΛB•A жиыны A жолағындағы, алдыңғы итерацияда B жолағында болған нүктелерден тұрады. Нүктенің орбитасы орналасқан аймақты, нүкте шыққан аймақтан бөлу үшін нүкте қолданылады. Бұл белгілеуді ат асты картасының жоғары итерацияларына дейін кеңейтуге болады. Тік жолақтар A немесе B жолағына сапарлардың тізбесіне сәйкес аталуы мүмкін. Мысалы, ABB ⊂ V3 жиыны A-дан B-ға бір итерацияда түсетін және одан кейінгі итерацияда B-да қалатын нүктелерден тұрады: Осы траекториядан кері қарай жұмыс істеу V3-тің ішінде ABB жиыны сияқты шағын аймақты анықтайды. Көлденең жолақтар олардың тік жолақтардан алынған бейнелерінен аталды. Осы белгілеуде V2 және H2 қиылысы 16 квадраттан тұрады, олардың бірі – ΛAB•BB. ΛAB•BB-дегі барлық нүктелер B-де және кем дегенде бір итерацияға B-де болады. Олардың BB-ға түсу алдындағы траекториясы A, содан кейін B болды.
The set ΛB•A consist of points from strip A that were in strip B in the previous iteration. A dot is used to separate the region the point of an orbit is in from the region the point came from. The notation can be extended to higher iterates of the horseshoe map. The vertical strips can be named according to the sequence of visits to strip A or strip B. For example, the set ABB ⊂ V3 consists of the points from A that will all land in B in one iteration and remain in B in the iteration after that:
Working backwards from that trajectory determines a small region, the set ABB, within V3. The horizontal strips are named from their vertical strip pre images. In this notation, the intersection of V2 and H2 consists of 16 squares, one of which is
All the points in ΛAB•BB are in B and will continue to be in B for at least one more iteration. Their previous trajectory before landing in BB was A followed by B.
Периодикалық орбиталар
P және F тізбектері A және B әріптерінен құралған көлденең және тік жолақтың кез келген қиылысы ΛP•F, V1-дегі кішкентай аймақтың аффиндік түрленуі болып табылады. Егер P тізбегінде k символ болса және f^(−k)(ΛP•F) пен ΛP•F қиылысса, онда ΛP•F аймағында тұрақты нүкте болады. Бұл P тізбегі F тізбегімен бірдей болғанда орын алады. Мысалы, ΛABAB•ABAB, V4 ∩ H4 жиынында кем дегенде бір тұрақты нүктеге ие. Бұл нүкте ΛAB•AB-дегі тұрақты нүктемен сәйкес келеді. Қиылыс белгісіндегі P және F бөліктеріне көбірек AB тізбектерін қосу арқылы қиылыс ауданын қалауынша кішірейте беруге болады. Ол аттың жанындағы картаның (horseshoe map) периодтық орбитасының бір бөлігі болып табылатын нүктеге жуықсап келеді. Периодтық орбита, осы орбитадан өтетін аймақтың бірін белгілейтін A және B әріптерінің ең қарапайым тізбегімен белгіленеді. A және B әріптерінің кез келген тізбегі үшін периодтық орбита болады.