Введение

Класс хаотических отображений

В математике теории хаоса отображение подковы — это любой элемент класса хаотических отображений квадрата на себя. Оно является ключевым примером в изучении динамических систем. Отображение было введено Стивеном Смалем при исследовании поведения орбит осциллятора Ван дер Поля. Действие отображения определяется геометрически путем сжатия квадрата, последующего растяжения полученного результата в длинную полосу и, наконец, складывания полосы в форму подковы. Большинство точек в конечном итоге покидают квадрат под действием отображения. Они направляются к боковым областям, где при итерациях сходятся к фиксированной точке в одной из этих областей. Точки, которые остаются в квадрате при повторных итерациях, образуют фрактальное множество и являются частью инвариантного множества отображения. Сжатие, растяжение и складывание, характерные для отображения подковы, типичны для хаотических систем, но не являются необходимыми или даже достаточными условиями. В отображении подковы сжатие и растяжение происходят равномерно. Они компенсируют друг друга, так что площадь квадрата не изменяется. Складывание выполняется аккуратно, что позволяет просто описать орбиты, которые навсегда остаются в квадрате. Для отображения подковы: существует бесконечное число периодических орбит; существуют периодические орбиты произвольной длины; число периодических орбит экспоненциально растет с увеличением периода; и вблизи любой точки фрактального инвариантного множества находится точка периодической орбиты.

Карта подковы

Подковообразное отображение f – это диффеоморфизм, определенный из области S на плоскости в саму себя. Область S представляет собой квадрат, к которому присоединены два полудиска. Кообласть (подкова) является собственным подмножеством его области определения. Действие f определяется как композиция трех геометрически определенных преобразований. Сначала квадрат сжимается вдоль вертикального направления в коэффициент. Полудиски сжимаются таким образом, чтобы оставаться прикрепленными к образовавшемуся прямоугольнику. Сжатие с коэффициентом, меньшим половины, гарантирует наличие зазора между ветвями подковы. Затем прямоугольник растягивается по горизонтали в коэффициент, а полудиски остаются неизменными. Наконец, полученная полоса складывается в форму подковы и помещается обратно в S.

Интересная часть динамики – это отображение квадрата на себя. Как только эта часть определена, отображение можно расширить до диффеоморфизма, определив его действие на полудиски. Полудиски сжимаются и в конечном итоге отображаются внутрь одного из них (левого на рисунке). Расширение f на полудиски добавляет фиксированную точку к неблуждающему множеству отображения. Чтобы класс подковообразных отображений оставался простым, изогнутая область подковы не должна отображаться обратно в квадрат. Подковообразное отображение является взаимно однозначным, что означает, что обратное отображение f−1 существует при ограничении его областью значений S под f.

Складывая сжатый и растянутый квадрат различными способами, можно получить другие типы подковообразных отображений. Чтобы отображение оставалось взаимно однозначным, сжатый квадрат не должен перекрываться сам с собой. Когда действие на квадрате расширяется до диффеоморфизма, расширение не всегда может быть выполнено на плоскости. Например, отображение справа необходимо расширить до диффеоморфизма сферы, используя «колпачок», который оборачивается вокруг экватора. Подковообразное отображение является диффеоморфизмом типа Аксиомы А, который служит моделью для общего поведения в точке поперечного гомоклинического пересечения, где пересекаются устойчивое и неустойчивое многообразия периодической точки.

Динамика карты

Подкованая карта была разработана для воспроизведения хаотической динамики потока в окрестности заданной периодической орбиты. Окрестность выбирается в виде небольшого диска, перпендикулярного орбите. По мере эволюции системы точки в этом диске остаются близкими к заданной периодической орбите, прослеживая траектории, которые в конечном итоге снова пересекают диск. Другие траектории расходятся. Поведение всех траекторий в диске можно определить, рассматривая, что происходит с самим диском. Пересечение диска с заданной периодической орбитой возвращается в себя каждый период орбиты, и то же самое происходит с точками в его окрестности. Когда эта окрестность возвращается, её форма преобразуется. Среди точек, вернувшихся внутрь диска, есть те, которые покинут окрестность диска, и те, которые продолжат возвращаться. Множество точек, которые никогда не покидают окрестность заданной периодической орбиты, образует фрактал. Всем траекториям, остающимся в окрестности, можно присвоить символическое обозначение. Исходный окрестный диск можно разделить на небольшое число областей. Зная последовательность, в которой траектория посещает эти области, можно точно определить траекторию. Последовательность посещения областей траекториями обеспечивает символическое представление динамики, известное как символическая динамика.

Орбиты

Можно описать поведение всех начальных условий карты-подковы. Начальная точка u0 = (x, y) переходит в точку u1 = f(u0). Её итерация – точка u2 = f(u1) = f²(u0), и повторная итерация генерирует орбиту u0, u1, u2, …

При многократной итерации карты-подковы большинство орбит в конечном итоге попадают в фиксированную точку в левой петле. Это происходит потому, что карта-подкова отображает левую петлю в себя аффинным преобразованием, имеющим ровно одну фиксированную точку. Любая орбита, попавшая в левую петлю, никогда её не покидает и при итерациях сходится к фиксированной точке в левой петле. Точки в правой петле переходят в левую петлю на следующей итерации, и большинство точек в квадрате переходят в петли. При итерациях большинство точек будут принадлежать орбитам, сходящимся к фиксированной точке в левой петле, но некоторые точки квадрата никогда не покинут его.

Неизменная множество

Если точка должна оставаться в квадрате неопределённо долго, то она должна принадлежать множеству Λ, которое отображается само на себя. Необходимо определить, является ли это множество пустым или нет. Вертикальные полосы V1 отображаются в горизонтальные полосы H1, но не все точки V1 отображаются обратно в V1. Только точки в пересечении V1 и H1 могут принадлежать Λ, что можно проверить, проследив за точками вне этого пересечения на одну итерацию дальше. Пересечение горизонтальных и вертикальных полос, Hn ∩ Vn, образует квадраты, которые при n стремящемся к бесконечности сходятся к инвариантному множеству Λ (это множество является пересечением канторова множества вертикальных линий с канторовым множеством горизонтальных линий). Структуру этого множества можно лучше понять, введя систему меток для всех пересечений – символическую динамику.

Символическая динамика

Поскольку Hn ∩ Vn ⊂ V1, любая точка, находящаяся в Λ при итерациях, должна попасть в левую вертикальную полосу A из V1 или в правую вертикальную полосу B. Нижняя горизонтальная полоса H1 является образом полосы A, а верхняя горизонтальная полоса – образом полосы B, поэтому H1 = f(A) ∪ f(B). Полосы A и B можно использовать для обозначения четырех квадратов в пересечении V1 и H1:

Множество ΛB•A состоит из точек из полосы A, которые находились в полосе B на предыдущей итерации. Точка используется для разделения области, в которой находится точка орбиты, от области, из которой эта точка пришла. Обозначение можно расширить на более высокие итерации карты-подковы. Вертикальные полосы можно именовать в соответствии с последовательностью посещений полосы A или полосы B. Например, множество ABB ⊂ V3 состоит из точек из A, которые все попадут в B на одной итерации и останутся в B на следующей итерации:

Двигаясь назад от этой траектории, можно определить небольшую область, множество ABB, внутри V3. Горизонтальные полосы называются по их вертикальным полосам-прообразам. В этой нотации пересечение V2 и H2 состоит из 16 квадратов, один из которых –

Все точки в ΛAB•BB находятся в B и останутся в B как минимум еще одну итерацию. Их предыдущая траектория перед попаданием в BB была A, за которой следовала B.

Периодические орбиты

Любое из пересечений ΛP•F горизонтальной полосы с вертикальной полосой, где P и F – последовательности, состоящие из A и B, является аффинным преобразованием небольшой области в V1. Если последовательность P содержит k символов, и если f^(−k)(ΛP•F) и ΛP•F пересекаются, то область ΛP•F будет иметь фиксированную точку. Это происходит, когда последовательность P совпадает с последовательностью F. Например, ΛABAB•ABAB ⊂ V4 ∩ H4 имеет по крайней мере одну фиксированную точку. Эта точка также совпадает с фиксированной точкой в ΛAB•AB. Увеличивая количество пар AB в частях P и F обозначения пересечения, площадь пересечения можно сделать сколь угодно малой. Она сходится к точке, являющейся частью периодической орбиты карты подковы. Периодическую орбиту можно обозначить самой простой последовательностью A и B, которая обозначает одну из областей, через которые проходит периодическая орбита. Для каждой последовательности A и B существует периодическая орбита.