Кіріспе
Жоғарғы жартысы жазықтықта модульдік топтың белгілі бір қасиеттеріне сәйкес келетін аналитикалық функция. Математикада модульдік форма – жоғарғы жартысы жазықтықтағы (кешенді) аналитикалық функция, , ол келесі шарттарды қанағаттандырады:
In mathematics, a modular form is a (complex) analytic function on the upper half plane, , that satisfies:
a kind of functional equation with respect to the group action of the modular group,
and a growth condition. The theory of modular forms therefore belongs to complex analysis. The main importance of the theory is its connections with number theory. Modular forms appear in other areas, such as algebraic topology, sphere packing, and string theory. Modular form theory is a special case of the more general theory of automorphic forms, which are functions defined on Lie groups that transform nicely with respect to the action of certain discrete subgroups, generalizing the example of the modular group
The term "modular form", as a systematic description, is usually attributed to Hecke. Each modular form is attached to a Galois representation.
Модульдік топтың әрекетіне қатысты функционалдық теңдеудің бір түрі және өсу шарты. Сондықтан модульдік формалар теориясы күрделі анализ саласына жатады. Теорияның ең маңыздысы – сандар теориясымен байланысы. Модульдік формалар алгебралық топология, шарларды жинақтау және іс тізбегі теориясы сияқты басқа да салаларда кездеседі. Модульдік формалар теориясы – автоморфтық формалардың көбірек жалпыланған теориясының ерекше жағдайы болып табылады, олар белгілі бір дискретті кіші топтардың әрекетіне қатысты жақсы түрленетін Лай топтарында анықталған функциялар, модульдік топ мысалын кеңейтеді. "Модульдік форма" термині жүйелі сипаттама ретінде көбінесе Гекке жатқызылады. Әрбір модульдік форма Галуа өкілдігімен байланысты.
In mathematics, a modular form is a (complex) analytic function on the upper half plane, , that satisfies:
a kind of functional equation with respect to the group action of the modular group,
and a growth condition. The theory of modular forms therefore belongs to complex analysis. The main importance of the theory is its connections with number theory. Modular forms appear in other areas, such as algebraic topology, sphere packing, and string theory. Modular form theory is a special case of the more general theory of automorphic forms, which are functions defined on Lie groups that transform nicely with respect to the action of certain discrete subgroups, generalizing the example of the modular group
The term "modular form", as a systematic description, is usually attributed to Hecke. Each modular form is attached to a Galois representation.
Желі түйінінің қималары ретінде
Модульді формалар модульді сорттардағы белгілі бір сызық шоғының қималары ретінде де қарастырылуы мүмкін. Деңгейі мен салмағы берілген модульді форманы модульді қисықтағы канондық сызық шоғындағы элемент ретінде анықтауға болады. Бұл модульді формалар кеңістіктерінің өлшемдерін Риманн-Рох теоремасы арқылы есептеуге болады. Эллиптік қисықтардың модульді стегіндегі сызық шоғының қималары классикалық модульді формалар болып табылады.
Модульдік функция
Модульдік функция — модульдік топқа қатысты өзгермейтін функция, бірақ f(z) жоғарғы жарты жазықтықта голоморфты болуы талабы болмайды (басқа талаптармен қатар). Оның орнына модульдік функциялар мероморфты болады: олар функцияның полюстері болатын оқшауланған нүктелер жиынының толықтығында голоморфты болады.
Жалпы топтар үшін модульдік нысандар
Функционалдық теңдеу, яғни f функциясының қалай өзгеретінін, кіші топтардағы матрицалар үшін ғана орындау шартын қою арқылы жеңілдетуге болады.
Анықтама
G салмағы k модульдік формасы – G-дегі барлық матрицалар үшін жоғарыда көрсетілген функционалдық теңдеуді қанағаттандыратын, H-да голоморфты және G-дің барлық шеттерінде аналитикалық функция. Барлық шеттерінде нөлге тең болатын модульдік формалар G үшін шеттік формалар деп аталады. K салмағы модульдік және шеттік формалардың C векторлық кеңістіктері сәйкесінше Mk(G) және Sk(G) деп белгіленеді. Сол сияқты, G\H* аралығындағы мероморфты функция G үшін модульді функция деп аталады. Егер G = Γ0(N) болса, олар N деңгейлі модульдік/шеттік формалар және функциялар деп те аталады. Бұл жағдайда, алдыңғыда айтылған анықтамалар қайтадан қолданылады.
Салдарлар
Риман беттерінің теориясы модульдік формалар мен функциялар туралы қосымша мәліметтер алу үшін G\H∗-ға қолданылады. Мысалы, Mk(G) және Sk(G) кеңістіктері шекті өлшемді, ал олардың өлшемдері Риман-Рох теоремасының арқасында H-ге G әрекетінің геометриясы тұрғысынан есептеледі. Мысалы,
мұндағы – ең кіші бүтін сан функциясын білдіреді және – жұп сан. Модульдік функциялар Риман бетінің функциялар өрісін құрайды, демек, бір трансценденттік дәрежелі өріс (C үстінен) құрайды. Егер f модульдік функциясы толыққанды 0-ге тең болмаса, онда f-тың нөлдерінің саны RΓ негізгі аймақтың жабылуындағы f-тың полюстерінің санына тең екенін көрсетуге болады. N (N ≥ 1) деңгейіндегі модульдік функциялар өрісі j(z) және j(Nz) функциялары арқылы туындайды.
Желілік бумалар
Бұл жағдайды проективті кеңістікте P(V) функцияларды іздеу кезінде туындайтын жағдаймен тиімді салыстыруға болады: сол жағдайда, V векторлық кеңістігінде v ≠ 0 координаталарында полиномдық болып келетін және F(cv) = F(v) теңдеуін қанағаттандыратын F функцияларын іздеуге болар еді. Өкінішке орай, мұндай функциялардың тек тұрақтылары ғана бар. Егер біз бөлшектерге (полиномдардың орнына рационалды функцияларға) рұқсат берсек, F-ті бірдей дәрежелі екі гомогенді полиномның қатынасы деп қарастыруға болады. Басқаша айтқанда, біз полиномдарды қолданып, c-қа тәуелділікті жеңілдете аламыз, яғни F(cv) = ckF(v) деп қоямыз. Ондағы шешімдер k дәрежелі гомогенді полиномдар болады. Бір жағынан, олар әр k үшін шекті өлшемді векторлық кеңістік құрайды, екінші жағынан, k-ны өзгерте отырып, негізгі проективті кеңістік P(V)-дегі барлық рационалды функцияларды құру үшін алымдар мен бөлімдерді табуға болады. Гомогенді полиномдар P(V)-де функциялар емес болса, олар геометриялық тұрғыдан не болып табылады деген сұрақ туындайды. Алгебралық-геометриялық жауап – олар бір буып-түйегінің қималары (бұл жағдайда сызықтық будап деп те айтуға болады). Модульдік формалар жағдайы да дәл осындай. Модульдік формаларға да геометриялық тұрғыдан, эллиптік қисықтардың модульдік кеңістігіндегі сызықтық будаптардың қималары ретінде қарауға болады.
Модульдік пішінді сақиналар
SL(2, 'Z')-дің кіші тобы Γ үшін модульдік формалар сақинасы – Γ-ның модульдік формаларымен туындайтын градуирленген сақина болып табылады. Яғни, егер Mk(Γ) салмағы k модульдік формалардың сақинасы болса, онда Γ модульдік формаларының сақинасы – градуирленген сақина. Пьер Делинье мен Майкл Рапопорттың нәтижесіне сәйкес, SL(2, 'Z') конгруэнттік кіші топтарының модульдік формалар сақиналары шекті түрде туындайды. Мұндай модульдік формалар сақиналары салмағы 6-ға дейін туындайды, ал конгруэнттік кіші топта нөлдік емес тақ салмақты модульдік формалар болған жағдайда қатынастар салмағы 12-ге дейін туындайды, ал нөлдік емес тақ салмақты модульдік формалар болмаған жағдайда сәйкес шектер 5 және 10 болады. Көбірек айтқанда, модульдік формалар сақинасының генераторларының салмақтарына және оның кез келген Фуксиан тобы үшін қатынастарына формулалар бар.
Rings of modular forms of congruence subgroups of SL(2, 'Z') are finitely generated due to a result of Pierre Deligne and Michael Rapoport. Such rings of modular forms are generated in weight at most 6 and the relations are generated in weight at most 12 when the congruence subgroup has nonzero odd weight modular forms, and the corresponding bounds are 5 and 10 when there are no nonzero odd weight modular forms. More generally, there are formulas for bounds on the weights of generators of the ring of modular forms and its relations for arbitrary Fuchsian groups.
Бүкіл нысандар
Егер f шоғырында голоморфты болса (q = 0-де полюсі болмаса), ол толық модульді форма деп аталады. Егер f мероморфты болса, бірақ шоғырында голоморфты болмаса, ол толық емес модульді форма деп аталады. Мысалы, j инварианты 0 салмақты толық емес модульді форма болып табылады және i∞-да жай полюсі бар.
Жаңа нысандар
Жаңа формалар – төменгі деңгейдегі модульді формалардан құрастырылмайтын, белгілі бір деңгейдегі модульді формалардың ішкі кеңістігі. Басқа формалар ескі формалар деп аталады. Осы ескі формаларды келесідей байқаулар арқылы құрастыруға болады: егер , онда , модульді формалардың кері қосылуын қамтамасыз етеді.
Қалқанның формалары
Куспистік форма — Фурье қатарындағы тұрақты коэффициенті нөлге тең модульдік форма. Бұл форма кусптердің барлығында нөлге тең болатындықтан куспистік форма деп аталады.