Сан теориясы мен геометрияның байланысы: Лэнглендс бағдарламасы
Langlands program
Лэнгландс бағдарламасы: сандар теориясы мен геометрия арасындағы байланыс. Галуа топтары, автоморфтық формалар, өкілдік теориясы – математиканың біріктіруші теориясы.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сандар теориясы мен геометрияны байланыстыратын кең ауқымды болжамдар
Far reaching conjectures connecting number theory and geometry
Өкілдік теориясы мен алгебралық сандар теориясында Лэнглендс бағдарламасы – сандар теориясы мен геометрия арасындағы байланыстар туралы кең ауқымды және маңызды болжамдардың жиынтығы. Ол, алгебралық сандар теориясындағы Галуа топтарын автоморфтық формалармен және алгебралық топтардың жергілікті өрістер мен адельдердегі бейнелеу теориясымен байланыстыруға тырысады. Қазіргі заманғы математикалық зерттеулердегі ең ірі жоба ретінде танылған Лэнглендс бағдарламасын Эдвард Френкель «математиканың ұлы біріктірілген теориясы» деп сипаттаған. Лэнглендс бағдарламасында өте күрделі теориялық абстракциялар бар, оларды тіпті мамандандырылған математиктердің өзіне түсіну қиын болуы мүмкін. Айтар болсақ, жобаның негізгі леммасы шекті өрістің жалпыланған негізгі бейнеленуі мен оның топтық кеңеюі арасындағы тікелей байланысты, оның астында ол инвариантты болатын автоморфтық формалармен байланыстырады. Бұл жоғары өлшемді интеграцияға абстракциялау арқылы, оның алгебрасының абсолютті кеңейтілуі ретінде белгілі бір аналитикалық топқа теңдестіру арқылы жүзеге асырылады. Осының нәтижесінде, сандық өрістің өзінің алгебралық құрылымына қуатты инварианттық түрлендірулерді аналитикалық жолмен құруға болады. Мұндай құрылымның мәні күрделі, бірақ оның нақты шешімдері мен жалпыламалары өте күшті. Мұндай теориялық объектілердің бар екенін дәлелдеудің салдары – дерлік кез келген сандық өріс үшін негізгі құрылымдардың категориялық бейнесін құрудағы аналитикалық әдіс. Алғашқы сандардың ықтимал нақты таралуына аналог ретінде, Лэнглендс бағдарламасы жалпыланған алгебралық құрылымдар деңгейінде инварианттықты шешуге арналған әлеуетті жалпы құралды ұсынады. Бұл өз кезегінде арифметикалық объектілерді олардың автоморфтық функциялары арқылы біріктірілген талдау жасауға мүмкіндік береді. Қысқасы, Лэнглендс философиясы сандардың абстракцияларын құрылымдаудың жалпы талдауын жүргізуге мүмкіндік береді. Әрине, бұл сипаттама бағдарламаның нақты теоремаларын қысқарту және жалпылау болып табылады, бірақ осы математикалық аналогтар оның тұжырымдамасының негізін құрайды.
In representation theory and algebraic number theory, the Langlands program is a web of far reaching and consequential conjectures about connections between number theory and geometry. Proposed by , it seeks to relate Galois groups in algebraic number theory to automorphic forms and representation theory of algebraic groups over local fields and adeles. Widely seen as the single biggest project in modern mathematical research, the Langlands program has been described by Edward Frenkel as "a kind of grand unified theory of mathematics." The Langlands program consists of some very complicated theoretical abstractions, which can be difficult even for specialist mathematicians to grasp. To oversimplify, the fundamental lemma of the project posits a direct connection between the generalized fundamental representation of a finite field with its group extension to the automorphic forms under which it is invariant. This is accomplished through abstraction to higher dimensional integration, by an equivalence to a certain analytical group as an absolute extension of its algebra. Consequently, this allows an analytical functional construction of powerful invariance transformations for a number field to its own algebraic structure. The meaning of such a construction is nuanced, but its specific solutions and generalizations are very powerful. The consequence for proof of existence to such theoretical objects implies an analytical method in constructing the categoric mapping of fundamental structures for virtually any number field. As an analogue to the possible exact distribution of primes, the Langlands program allows a potential general tool for the resolution of invariance at the level of generalized algebraic structures. This in turn permits a somewhat unified analysis of arithmetic objects through their automorphic functions. Simply put, the Langlands philosophy allows a general analysis of structuring the abstractions of numbers. Naturally, this description is at once a reduction and over generalization of the program's proper theorems, but these mathematical analogues provide the basis of its conceptualization.
Өмірбаян
Өте кең мағынада, бағдарлама бұрыннан бар идеяларға негізделген: бірнеше жыл бұрын Хариш Чандра және басқалар қалыптасқан құспілік формалар философиясы, Хариш Чандраның жартылай қарапайым Ли тобындағы жұмысы мен тәсілі, сондай-ақ Сельберг және басқалардың із формуласы. Лэнглендтің жұмысында техникалық тереңдіктен басқа, бастапқыда жаңа болған нәрсе – сан теориясына тікелей байланыс, сонымен бірге болжамдалған бай ұйымдық құрылым (функционалдық деп аталатын). Мысалы, Хариш Чандраның еңбегінде, егер бір жартылай қарапайым (немесе редуктивті) Ли тобы үшін бірдеңе жасалса, оны барлық топтар үшін жасау керек деген қағида кездеседі. Сондықтан, модульді формалар теориясында GL(2) сияқты төмен өлшемді Ли топтарының рөлі анықталғаннан кейін, және сабақ өрістері теориясында GL(1) кейіннен қарастырылғаннан кейін, жалпы n > 2 үшін GL(n) туралы болжамдарға мүмкіндік ашылды. Құспілік форма идеясы модульді қисықтардағы құспистерден туындады, бірақ спектрлік теорияда да "дискретті спектр" ретінде көрінетін мағынаға ие болды, бұл Эйзенштейн қатарларынан алынған "үздік спектрге" қарсы қойылды. Бұл үлкен Ли топтары үшін әлдеқайда күрделі болады, себебі параболалық кіші топтар көп. Осы тәсілдердің бәрінде техникалық әдістер жетіспеді деуге болмайды, олар көбінесе индуктивті сипатта және Леви ыдырауларына негізделген, бірақ бұл сала өте қиын болды және қалады. Модульді формалар жағынан, мысалдар бар, мысалы, Хилберт модульді формалары, Сигель модульді формалары және тета қатарлары.
In a very broad context, the program built on existing ideas: the philosophy of cusp forms formulated a few years earlier by Harish Chandra and , the work and approach of Harish Chandra on semisimple Lie groups, and in technical terms the trace formula of Selberg and others. What initially was very new in Langlands' work, besides technical depth, was the proposed direct connection to number theory, together with the rich organisational structure hypothesised (so called functoriality). For example, in the work of Harish Chandra one finds the principle that what can be done for one semisimple (or reductive) Lie group, should be done for all. Therefore, once the role of some low dimensional Lie groups such as GL(2) in the theory of modular forms had been recognised, and with hindsight GL(1) in class field theory, the way was open at least to speculation about GL(n) for general n > 2. The cusp form idea came out of the cusps on modular curves but also had a meaning visible in spectral theory as "discrete spectrum", contrasted with the "continuous spectrum" from Eisenstein series. It becomes much more technical for bigger Lie groups, because the parabolic subgroups are more numerous. In all these approaches there was no shortage of technical methods, often inductive in nature and based on Levi decompositions amongst other matters, but the field wasand isvery demanding. And on the side of modular forms, there were examples such as Hilbert modular forms, Siegel modular forms, and theta series.
Болжамдар
Лэнглендс болжамдарын тұжырымдаудың бірнеше әртүрлі тәсілі бар, олар тығыз байланысты, бірақ көріне бермейтіндей эквивалентті емес.
There are several different ways of stating the Langlands conjectures, which are closely related but not obviously equivalent.
Өзара тиімділік
Бағдарламаның бастапқы нүктесі Эмил Артиннің квадраттық өзара әрекеттестікті жалпылайтын өзара әрекеттестік заңы деп қарастырылуы мүмкін. Артиннің өзара әрекеттестік заңы алгебралық сандар өрісінің Галуа кеңейтуіне қолданылады, оның Галуа тобы абельдік; ол осы Галуа тобының бір өлшемді бейнелеулеріне L функцияларын тағайындайды және бұл L функциялары белгілі бір Дирихле L сериясына немесе одан да жалпы серияға (яғни Риманның зетта функциясының белгілі бір аналогтарына) тең екенін көрсетеді. Осы L функцияларының түрлері арасындағы нақты сәйкестік Артиннің өзара әрекеттестік заңы болып табылады. Абельдік емес Галуа топтары мен олардың жоғары өлшемді бейнелеулері үшін L функцияларын табиғи түрде анықтауға болады: Артин L функциялары. Лэнгландтың түсінігі Дирихле L функцияларының дұрыс жалпылануын табу болды, бұл Артиннің тұжырымын осы жалпы жағдайда формулирлеуге мүмкіндік береді. Хеке бұрын Дирихле L функцияларын автоморфтық формалармен байланыстырған (кешендік сандардың жоғарғы жарты жазықтығындағы голоморфтық функциялар, белгілі бір функционалдық теңдеулерді қанағаттандырады). Лэнглендс содан кейін оларды автоморфты куспидальді бейнелеулерге жалпылады, олар рационал сандардың адель сақинасы бойынша жалпы сызықтық топтың GL(n) шексіз өлшемді азайтылмайтын бейнелеулері болып табылады. (Бұл сақинаның бірден-бір қызметі – барлық аяқталуларды қадағалау.) Лэнглендс осы автоморфты бейнелеулерге автоморфты L функцияларын қосады және сандық өрістің Галуа тобының шекті өлшемді бейнелеуінен туындайтын әр Артин L функциясы автоморфты куспидальді бейнелеуден туындайтын функциямен тең деп болжайды. Бұл оның «өзара әрекеттестік болжамы» деп аталады. Шамамен айтқанда, өзара әрекеттестік болжамы редуктивті топтың автоморфтық бейнелеулері мен Лэнгленд тобынан L тобына гомоморфизмдер арасындағы сәйкестікті көрсетеді. Бұның көптеген нұсқалары бар, өйткені Лэнгленд тобы мен L тобының анықтамасы нақтыланбаған. Жергілікті өрістерде бұл жергілікті өрісте редуктивті топтың қабылданған азайтылмайтын бейнелерінің L пакеттерін параметрлеуді қамтамасыз етуі күтілуде. Мысалы, нақты сандар бойынша бұл сәйкестік – нақты редуктивті топтардың Лэнгленд классификациясы. Глобалды өрістерде ол автоморфтық формалардың параметрленуін беруі керек.
The starting point of the program may be seen as Emil Artin's reciprocity law, which generalizes quadratic reciprocity. The Artin reciprocity law applies to a Galois extension of an algebraic number field whose Galois group is abelian; it assigns L functions to the one dimensional representations of this Galois group, and states that these L functions are identical to certain Dirichlet L series or more general series (that is, certain analogues of the Riemann zeta function) constructed from Hecke characters. The precise correspondence between these different kinds of L functions constitutes Artin's reciprocity law. For non abelian Galois groups and higher dimensional representations of them, one can still define L functions in a natural way: Artin L functions. The insight of Langlands was to find the proper generalization of Dirichlet L functions, which would allow the formulation of Artin's statement in this more general setting. Hecke had earlier related Dirichlet L functions with automorphic forms (holomorphic functions on the upper half plane of (the complex numbers) that satisfy certain functional equations). Langlands then generalized these to automorphic cuspidal representations, which are certain infinite dimensional irreducible representations of the general linear group GL(n) over the adele ring of (the rational numbers). (This ring simultaneously keeps track of all the completions of see p adic numbers.) Langlands attached automorphic L functions to these automorphic representations, and conjectured that every Artin L function arising from a finite dimensional representation of the Galois group of a number field is equal to one arising from an automorphic cuspidal representation. This is known as his "reciprocity conjecture". Roughly speaking, the reciprocity conjecture gives a correspondence between automorphic representations of a reductive group and homomorphisms from a Langlands group to an L group. There are numerous variations of this, in part because the definitions of Langlands group and L group are not fixed. Over local fields this is expected to give a parameterization of L packets of admissible irreducible representations of a reductive group over the local field. For example, over the real numbers, this correspondence is the Langlands classification of representations of real reductive groups. Over global fields, it should give a parameterization of automorphic forms.
Функционалдылық
Функторлық болжам L топтарының сәйкес гомоморфизмінің автоморфтық формалардың (жаһандық жағдайда) немесе өкілдіктердің (жергілікті жағдайда) арасында сәйкестік тудыруы керек екенін айтады. Деректеп айтқанда, Лэнглендтің өзара байланыс болжамы – редуктивті топтардың бірі тривиальды болғандағы функторлық болжамның ерекше жағдайы.
The functoriality conjecture states that a suitable homomorphism of L groups is expected to give a correspondence between automorphic forms (in the global case) or representations (in the local case). Roughly speaking, the Langlands reciprocity conjecture is the special case of the functoriality conjecture when one of the reductive groups is trivial.
Жалпыланған функционалдылық
Лэнгланд функционалдық идеяны жалпылады: жалпы сызықтық топ GL(n) пайдаланудың орнына басқа да байланысты редуктивті топтарды қолдануға болады. Сонымен қатар, мұндай G тобын берген кезде Лэнгланд LG Лэнгланд қос тобын құрастырады, содан кейін G-нің әрбір автоматты куспидалық өкілдігі және LG-нің әрбір шекті өлшемді өкілдігі үшін ол L функциясын анықтайды. Оның бір болжамында бұл L функциялары белгілі бір функционалдық теңдеуді қанағаттандырады, бұл басқа белгілі L функцияларының жалпылауын қамтамасыз етеді. Содан кейін ол өте жалпы "Функционалдық Принципті" тұжырымдайды. Екі редуктивті топ және олардың сәйкес L топтары арасындағы (жақсы қасиеттері бар) морфизмді ескере отырып, бұл болжам олардың L функцияларымен үйлесімді түрде олардың автоморфты өкілдіктерін байланыстырады. Бұл функционалдық болжам осыған дейін ұсынылған барлық басқа болжамдарды қамтиды. Ол индуцирленген өкілдік құрылысының сипатына ие – автоморфтық формалардың дәстүрлі теориясында «көтеру» деп аталған, нақты жағдайларда белгілі, сондықтан ковариантты (ал шектеулі өкілдік контравариантты). Тікелей құрылымды анықтауға жасалған әрекеттер тек шартты нәтижелерге ғана әкелді. Осы болжамдардың барлығы алгебралық сандар өрістері (алғашқы және ең маңызды жағдай), жергілікті өрістер және функция өрістері (p – жай сан және p элементтері бар шекті өрістегі рационалды функциялар өрісі Fp(t)-ның шекті кеңейтулері) орнына жалпы өрістер үшін де тұжырымдалуы мүмкін.
Langlands generalized the idea of functoriality: instead of using the general linear group GL(n), other connected reductive groups can be used. Furthermore, given such a group G, Langlands constructs the Langlands dual group LG, and then, for every automorphic cuspidal representation of G and every finite dimensional representation of LG, he defines an L function. One of his conjectures states that these L functions satisfy a certain functional equation generalizing those of other known L functions. He then goes on to formulate a very general "Functoriality Principle". Given two reductive groups and a (well behaved) morphism between their corresponding L groups, this conjecture relates their automorphic representations in a way that is compatible with their L functions. This functoriality conjecture implies all the other conjectures presented so far. It is of the nature of an induced representation construction—what in the more traditional theory of automorphic forms had been called a 'lifting', known in special cases, and so is covariant (whereas a restricted representation is contravariant). Attempts to specify a direct construction have only produced some conditional results. All these conjectures can be formulated for more general fields in place of : algebraic number fields (the original and most important case), local fields, and function fields (finite extensions of Fp(t) where p is a prime and Fp(t) is the field of rational functions over the finite field with p elements).
Геометриялық болжамдар
Владимир Дринфельдтің идеялары негізінде Жерар Лаймон ұсынған, геометриялық Лэнгленд бағдарламасы, дәстүрлі Лэнгленд бағдарламасының геометриялық түрлендірілуі болып табылады, ол тек азайтылмас өкілдіктерді ғана емес, одан да көп нәрсені байланыстыруға бағытталған. Ең қарапайым жағдайларда, алгебралық қисықтың этальдық негізгі тобының l-адық өкілдіктерін, қисық үстіндегі векторлық бундельдердің модульді стегіндегі l-адық шоғырлардың туынды санатындағы объектілермен байланыстырады.
The so called geometric Langlands program, suggested by Gérard Laumon following ideas of Vladimir Drinfeld, arises from a geometric reformulation of the usual Langlands program that attempts to relate more than just irreducible representations. In simple cases, it relates l adic representations of the étale fundamental group of an algebraic curve to objects of the derived category of l adic sheaves on the moduli stack of vector bundles over the curve.
Ағымдағы жағдай
Лэнгландтың GL(1, K) жорамалдары кластық өріс теориясынан (және негізінен оған тең) туындайды. Лэнглендс Архимедтің жергілікті өрістеріндегі (нақты сандар) және (кешенді сандар) топтар үшін олардың икемдемейтін бейнелерінің Лэнглендс жіктемесін беру арқылы Лэнглендс болжамын дәлелдеді. Люстигтің шекті өрістердегі Ли типті топтардың икемдемейтін бейнелерінің жіктелуі шекті өрістердегі Лэнглендс болжамдарының аналогы деп қарастыруға болады. Эндрю Уайлстың рационалдар үстіндегі жартылай тұрақты эллиптік қисықтардың модулярлығын дәлелдеуі Лэнглендс өзара байланыс болжамының бір мысалы ретінде қарастырылуы мүмкін, себебі негізгі идея эллиптік қисықтардан туындайтын Галуа бейнелеулерін модулярлық формалармен байланыстыру болып табылады. Уайлстың нәтижелері көптеген бағыттар бойынша айтарлықтай жалпыланғанмен, толық Лэнглендс болжамы әлі дәлелденбеген. 1998 жылы Лоран Лаффорг функциялық өрістер үшін жалпы сызықтық топ GL(n, K) үшін Лэнглендс жорамалдарын растайтын Лаффорг теоремасын дәлелдеді. Бұл жұмыс 1980 жылдары GL(2, K) жағдайын дәлелдеген Дринфельдтің бұрынғы зерттеулерін жалғастырды. 2018 жылы Винсент Лаффорг глобалды функциялық өрістердегі байланысқан редуктивті топтар үшін Лэнглендс глобалды сәйкестігін (автоморфтық формалардан Галуа бейнелеулеріне бағытталған) құрды.
The Langlands conjectures for GL(1, K) follow from (and are essentially equivalent to) class field theory. Langlands proved the Langlands conjectures for groups over the archimedean local fields (the real numbers) and (the complex numbers) by giving the Langlands classification of their irreducible representations. Lusztig's classification of the irreducible representations of groups of Lie type over finite fields can be considered an analogue of the Langlands conjectures for finite fields. Andrew Wiles' proof of modularity of semistable elliptic curves over rationals can be viewed as an instance of the Langlands reciprocity conjecture, since the main idea is to relate the Galois representations arising from elliptic curves to modular forms. Although Wiles' results have been substantially generalized, in many different directions, the full Langlands conjecture for remains unproved. In 1998, Laurent Lafforgue proved Lafforgue's theorem verifying the Langlands conjectures for the general linear group GL(n, K) for function fields K. This work continued earlier investigations by Drinfeld, who proved the case GL(2, K) in the 1980s. In 2018, Vincent Lafforgue established the global Langlands correspondence (the direction from automorphic forms to Galois representations) for connected reductive groups over global function fields.
Жергілікті Лэнглендтер болжамы
жергілікті өрістердегі жалпы сызықтық топ GL(2, K) үшін жергілікті Лэнглендтер болжамын дәлелдеді. Оң сипаттағы жергілікті өрістер үшін жалпы сызықтық топ GL(n, K) үшін жергілікті Лэнглендтер болжамдарын дәлелдеді. Олардың дәлелі жаһандық аргументті қолданады. 0 сипаттағы жергілікті өрістер үшін жалпы сызықтық топ GL(n, K) үшін жергілікті Лэнгленд болжамын дәлелдеді. Тағы бір дәлел келтірді. Екі дәлелдеуде де жаһандық аргумент қолданылады. Тағы бір дәлел келтірді.
proved the local Langlands conjectures for the general linear group GL(2, K) over local fields. proved the local Langlands conjectures for the general linear group GL(n, K) for positive characteristic local fields K. Their proof uses a global argument. proved the local Langlands conjectures for the general linear group GL(n, K) for characteristic 0 local fields K. gave another proof. Both proofs use a global argument. gave another proof.
Негізгі лемма
2008 жылы Нго Бао Чжу Лэнглендс пен Шелстадтың 1983 жылы болжаған және Лэнглендс бағдарламасындағы маңызды болжамдарды дәлелдеу үшін қажет болған "негізгі лемманы" дәлелдеді.
In 2008, Ngô Bảo Châu proved the "fundamental lemma", which was originally conjectured by Langlands and Shelstad in 1983 and being required in the proof of some important conjectures in the Langlands program.
Салдары
Оқырман үшін немесе тіпті маманданбаған математик үшін Лэнгленд бағдарламасындағы абстракциялар біршама түсініксіз болуы мүмкін. Дегенмен, Лэнглендтің негізгі болжамдарын дәлелдеу немесе жоққа шығару үшін маңызды және нақты салдарлар бар. Бағдарлама аналитикалық сандар теориясы мен алгебралық геометрияның кеңейтілген түрлері арасындағы тығыз байланысты қалыптастыратындықтан, сандар денелерінің абстрактілі алгебралық өкілдіктері мен олардың аналитикалық жай сан құрылымдары арасындағы 'Функционалдық' идеясы жай сан таралуын нақты анықтауға мүмкіндік беретін қуатты функционалдық құралдарға әкеледі. Бұл, өз кезегінде, диофантикалық теңдеулерді жіктеуге және алгебралық функцияларды одан әрі абстракциялауға қабілеттілікті қамтамасыз етеді. Егер ұсынылған объектілер үшін осындай кеңейтілген алгебралардың өзара байланысы болса және олардың аналитикалық функциялары дұрыс анықталғаны көрсетілсе, математикадағы терең нәтижелерге қол жеткізу мүмкін болады. Мысалдарға эллиптік қисықтардың рационалды шешімдері, алгебралық түрлердің топологиялық құрылысы және танымал Риманн гипотезасы жатады. Мұндай дәлелдер жалпыланған аналитикалық қатарлардың объектілеріндегі абстрактілі шешімдерді пайдалануы күтіледі, олардың әрқайсысы сандық денелердің құрылымдарындағы өзгермейтін қасиеттерге байланысты. Сонымен қатар, Лэнгленд бағдарламасы мен М теориясы арасындағы байланыстар да ұсынылды, өйткені олардың дуалдықтары маңызды тәсілдермен байланысты, бұл суперкөздер теориясында нақты шешімдерді ұсынуы мүмкін (топтар теориясында айшықтың нұры арқылы жасалғандай). Қысқасы, Лэнгленд жобасы математиканың ең негізгі салаларына қатысты терең және қуатты шешімдер жүйесін білдіреді, алгебралық теңдеулердің нақты шешімдеріндегі жоғары дәрежелі кеңейтімдер арқылы, геометриялық формаларға енген аналитикалық функциялармен. Бұл көптеген алыс математикалық салаларды қуатты аналитикалық әдістердің формализміне біріктіруге мүмкіндік береді.
To a lay reader or even nonspecialist mathematician, abstractions within the Langlands program can be somewhat impenetrable. However, there are some strong and clear implications for proof or disproof of the fundamental Langlands conjectures. As the program posits a powerful connection between analytic number theory and generalizations of algebraic geometry, the idea of 'Functoriality' between abstract algebraic representations of number fields and their analytical prime constructions results in powerful functional tools allowing an exact quantification of prime distributions. This, in turn, yields the capacity for classification of diophantine equations and further abstractions of algebraic functions. Furthermore, if the reciprocity of such generalized algebras for the posited objects exists, and if their analytical functions can be shown to be well defined, some very deep results in mathematics could be within reach of proof. Examples include: rational solutions of elliptic curves, topological construction of algebraic varieties, and the famous Riemann hypothesis. Such proofs would be expected to utilize abstract solutions in objects of generalized analytical series, each of which relates to the invariance within structures of number fields. Additionally, some connections between the Langlands program and M theory have been posited, as their dualities connect in nontrivial ways, providing potential exact solutions in superstring theory (as was similarly done in group theory through monstrous moonshine). Simply put, the Langlands project implies a deep and powerful framework of solutions, which touches the most fundamental areas of mathematics, through high order generalizations in exact solutions of algebraic equations, with analytical functions, as embedded in geometric forms. It allows a unification of many distant mathematical fields into a formalism of powerful analytical methods.