Кіріспе
Үш өлшемді кеңістіктегі екі жабық қисықтың байланысын сипаттайтын сандық инвариант. Математикада байланыс саны – үш өлшемді кеңістіктегі екі жабық қисықтың байланысын сипаттайтын сандық инвариант. Түсініксіз айтқанда, байланыс саны әр қисықтың екіншісінің айналасын қанша рет орап өтетінін көрсетеді. Евклид кеңістігінде байланыс саны әрқашан бүтін сан болады, бірақ екі қисықтың бағытына қарай оң немесе теріс болуы мүмкін (бұл көптеген үш өлшемді кеңістіктердегі қисықтар үшін дұрыс емес, онда байланыс саны бөлшек сан болуы немесе мүлдем болмауы мүмкін). Байланыс санын Гаусс байланыс интегралы арқылы енгізген. Бұл түйін теориясы, алгебралық топология және дифференциалдық геометрия салаларында зерттелетін маңызды объекті болып табылады және математика мен ғылымда, соның ішінде кванттық механикада, электромагнетизмде және ДНК суперспиральдеуін зерттеуде көптеген қолданысқа ие.
In mathematics, the linking number is a numerical invariant that describes the linking of two closed curves in three dimensional space. Intuitively, the linking number represents the number of times that each curve winds around the other. In Euclidean space, the linking number is always an integer, but may be positive or negative depending on the orientation of the two curves (this is not true for curves in most 3 manifolds, where linking numbers can also be fractions or just not exist at all). The linking number was introduced by Gauss in the form of the linking integral. It is an important object of study in knot theory, algebraic topology, and differential geometry, and has numerous applications in mathematics and science, including quantum mechanics, electromagnetism, and the study of DNA supercoiling.
Дәлел
Осы факт (байланысты сан – жалғыз инвариант) бір шеңберді стандарттық жағдайға қойып, содан кейін байланысты сан екінші шеңбердің жалғыз инварианты екенін көрсету арқылы ең оңай дәлелденеді. Толыққанда:
Жеке қисық стандартты шеңберге реттелген гомотоптық болып табылады (қисыққа өзінен өтуге рұқсат етілсе, кез келген түйін шешіледі). Оның гомотоптық екендігі анық, себебі 3-кеңістік жиырылғыш, сондықтан оған енгізілген барлық бейнелеулер гомотоптық, бірақ оны суға батыру арқылы жасау мүмкін екендігіне қатысты фактіге геометриялық аргументтер қажет. Стандартты шеңбердің толықтығы бір нүктесі алынып тасталған қатты торға гомеоморфты (мұны 3-кеңістікті шексіз нүктесі алынып тасталған 3-сфера ретінде, ал 3-сфераны шекарасы бойынша біріктірілген екі қатты тор ретінде қарастыру арқылы көруге болады) немесе толықтықты тікелей талдауға болады. 3-кеңістіктің шеңберден кем түскен негізгі тобы – байланысты санға сәйкес келетін бүтін сандар. Бұл Сейферт-Ван Кампен теоремасы арқылы көрінеді (шексіз нүктені қосып тұтас тор алуға немесе шеңберді қосып 3-кеңістік алуға болады, бұл қажетті кеңістіктің негізгі тобын есептеуге мүмкіндік береді). Осылайша, 3-кеңістіктегі қисықтың гомотопиялық кластары шеңберден кем түскенде байланысты санмен анықталады. Сондай-ақ, реттелген гомотопиялық кластар байланысты санмен анықталады, бұл қосымша геометриялық аргументті қажет етеді.
A single curve is regular homotopic to a standard circle (any knot can be unknotted if the curve is allowed to pass through itself). The fact that it is homotopic is clear, since 3 space is contractible and thus all maps into it are homotopic, though the fact that this can be done through immersions requires some geometric argument. The complement of a standard circle is homeomorphic to a solid torus with a point removed (this can be seen by interpreting 3 space as the 3 sphere with the point at infinity removed, and the 3 sphere as two solid tori glued along the boundary), or the complement can be analyzed directly. The fundamental group of 3 space minus a circle is the integers, corresponding to linking number. This can be seen via the Seifert–Van Kampen theorem (either adding the point at infinity to get a solid torus, or adding the circle to get 3 space, allows one to compute the fundamental group of the desired space). Thus homotopy classes of a curve in 3 space minus a circle are determined by linking number. It is also true that regular homotopy classes are determined by linking number, which requires additional geometric argument.
Байланыстыратын нөмірді есептеу
Екі қисық сызықтың байланыстыру санын байланыстыру диаграммасынан есептеуге арналған алгоритм бар. Әр қиылысты келесі ереже бойынша оң немесе теріс деп белгілеңіз:
Оң қиылыстардың жалпы саны мен теріс қиылыстардың жалпы санының айырмасы байланыстыру санын екі еселенгенге тең. Яғни:
мұнда n1, n2, n3, n4 – төрт түрдің әрқайсысының қиылысу санын көрсетеді. Екі қосынды әрқашан тең болады, осыдан келесі балама формула туындайды:
Формула тек қызыл сызықтан төмен өтетін көк сызықтың қиылыстарын қамтиды, ал тек қызыл сызықтан жоғары өтетін қиылыстарды қамтиды.
Қасиеттері мен мысалдар
Кез келген екі байланыспаған қисық сызықтың байланыстыру саны нөлге тең. Дегенмен, байланыстыру саны нөл болатын екі қисық сызық байланысты болуы мүмкін (мысалы, Уайтхед торабы). Кез келген қисықтың бағытын кері бұру байланыстыру санын теріске шығарады, ал екі қисықтың бағытын кері бұру оны өзгеріссіз қалдырады. Байланыстыру саны хиралды: тораптың көлеңкелік бейнесі байланыстыру санын теріске шығарады. Оң байланыстыру санының конвенциясы оң қол ережесіне негізделген. xy жазықтығындағы бағытталған қисықтың орау саны z осьпен байланыстыру санына тең (z осьті 3 сферадағы жабық қисық ретінде қарастырғанда). Көбінесе, егер қисықтардың бірі жай болса, онда оның толықтығының бірінші гомология тобы Z-ге изоморфты болады. Бұл жағдайда, байланыстыру саны екінші қисықтың гомология классымен анықталады. Физикада байланыстыру саны – топологиялық кванттық санның мысалы.
Жалпылау
Жабық қисықтар үш өлшемде байланыса алатындай, m және n өлшемдеріндегі кез келген екі жабық көпқырлылық Евклид кеңістігінің кез келген өлшемінде байланыса алады. Мұндай кез келген байланыстың байланысты Гаусс картасы болады, оның дәрежесі байланыстыру санының жалпылама түрі болып табылады. Кез келген шеңберленген түйіннің өзіне-өзі байланысу саны бар, ол түйін C-нің байланыстыру санын кадрлық векторлар бойынша C нүктелерін сәл жылжыту арқылы алынған жаңа қисықпен есептеу арқылы анықталады. Тік бағытта жылжу арқылы (қара тақта кадры бойынша) алынған өзіне-өзі байланысу саны Кауффманның өзіне-өзі байланысу саны деп аталады. Байланыстыру саны екі байланысқан шеңбер үшін анықталады; үш немесе одан көп шеңбер берілген жағдайда, байланыстыру санын жалпылайтын Милнор инварианттарын анықтауға болады. Алгебралық топологияда, тостаған көбейтіндісі байланыстыру санын алгебралық түрде жалпылайды, ал Масси көбейтінділері Милнор инварианттарының алгебралық аналогтары болып табылады. Бағытталмаған графтың байланыссыз ендіруі – бұл үш өлшемді кеңістікке ендіру, онда кез келген екі циклдың байланыстыру саны нөлге тең. Байланыссыз ендірілген графтар Петерсен отбасының кішілеуі жоқ графтар ретінде сипатталады.