Введение

Числовой инвариант, описывающий сцепление двух замкнутых кривых в трёхмерном пространстве.

В математике, число сцепления — это числовой инвариант, описывающий сцепление двух замкнутых кривых в трёхмерном пространстве. Интуитивно, число сцепления представляет собой количество витков одной кривой вокруг другой. В евклидовом пространстве число сцепления всегда является целым числом, но может быть положительным или отрицательным в зависимости от ориентации кривых (это неверно для кривых на большинстве трёхмерных многообразий, где числа сцепления могут быть дробными или вообще не определены). Число сцепления было введено Гауссом в форме интеграла сцепления. Это важный объект изучения в теории узлов, алгебраической топологии и дифференциальной геометрии, и имеет многочисленные применения в математике и науке, включая квантовую механику, электромагнетизм и изучение суперспирализации ДНК.

Доказательство

Этот факт (что связывающее число является единственным инвариантом) легче всего доказать, поместив один круг в стандартное положение, а затем показав, что связывающее число является единственным инвариантом другого круга. Подробно: одиночная кривая регулярно гомотопна стандартному кругу (любой узел можно развязать, если кривой разрешено проходить через себя). Тот факт, что кривая гомотопна, очевиден, поскольку трехмерное пространство стягиваемо, и, следовательно, все отображения в него гомотопны, хотя для доказательства возможности осуществления этого посредством погружений требуется некоторый геометрический аргумент. Дополнение к стандартному кругу гомеоморфно твердому тору с удаленной точкой (это можно увидеть, рассматривая трехмерное пространство как трехмерную сферу с удаленной точкой на бесконечности, а трехмерную сферу как два твердых тора, склеенных по границе), или это дополнение можно проанализировать непосредственно. Фундаментальная группа трехмерного пространства минус круг – это целые числа, соответствующие связывающему числу. Это можно увидеть, используя теорему Зейферта — Ван Кампена (либо добавление точки на бесконечности для получения твердого тора, либо добавление круга для получения трехмерного пространства позволяет вычислить фундаментальную группу нужного пространства). Таким образом, классы гомотопии кривой в трехмерном пространстве минус круг определяются связывающим числом. Также верно, что классы регулярной гомотопии определяются связывающим числом, что требует дополнительного геометрического аргумента.

Вычисление номера связи

Существует алгоритм для вычисления числа сцепления двух кривых по диаграмме зацепления. Обозначьте каждое пересечение как положительное или отрицательное в соответствии со следующим правилом:

Общее число положительных пересечений минус общее число отрицательных пересечений равно удвоенному числу сцепления. То есть:

где n1, n2, n3, n4 обозначают количество пересечений каждого из четырех типов. Две суммы и всегда равны, что приводит к следующей альтернативной формуле:

Формула учитывает только подкрестки синей кривой под красной, а формула – только перекрестки сверху.

Свойства и примеры

Любые две несвязанные кривые имеют число сцепления, равное нулю. Однако две кривые с числом сцепления, равным нулю, всё равно могут быть сцеплены (например, сцепление Уайтхеда). Изменение ориентации любой из кривых меняет знак числа сцепления на противоположный, в то время как изменение ориентации обеих кривых не влияет на его значение. Число сцепления является хиральным: отражение сцепления меняет знак числа сцепления на противоположный. Принятое соглашение о положительном числе сцепления основано на правиле правой руки. Число витков ориентированной кривой в плоскости xy равно её числу сцепления с осью z (если рассматривать ось z как замкнутую кривую в 3-сфере). В более общем случае, если хотя бы одна из кривых проста, то первая группа гомологий её дополнения изоморфна Z. В этом случае число сцепления определяется классом гомологии другой кривой. В физике число сцепления является примером топологического квантового числа.

Обобщения

Так же, как замкнутые кривые могут быть связаны в трех измерениях, любые два замкнутых многообразия размерностей m и n могут быть связаны в евклидовом пространстве размерности . Любая такая связь имеет ассоциированную карту Гаусса, степень которой является обобщением числа сцепления. Любой обрамленный узел имеет число самосцепления, полученное вычислением числа сцепления узла C с новой кривой, полученной путем небольшого перемещения точек C вдоль векторов обрамления. Число самосцепления, полученное при перемещении вертикально (вдоль обрамления доски), известно как число самосцепления Кауффмана. Число сцепления определяется для двух связанных окружностей; при наличии трех или более окружностей можно определить инварианты Милнора, которые являются численными инвариантами, обобщающими число сцепления. В алгебраической топологии чашечное произведение является далеко идущим алгебраическим обобщением числа сцепления, а произведения Масси — алгебраическими аналогами инвариантов Милнора. Безсвязное вложение неориентированного графа — это вложение в трехмерное пространство, такое что любые два цикла имеют нулевое число сцепления. Графы, которые имеют безсвязное вложение, характеризуются запрещенным минором как графы, не содержащие минор из семейства Петерсена.