Кіріспе
Ықтималдықтар теориясы және құмар ойындар туралы түсінік – статистикалық нәтижелердің «орындалуы» мүмкін деген қате сенім. Статистикада құмар ойыншының құлдырауы – бұл ойыншының күтілетін құны теріс болатын ойын ойнауының салдарынан, оның ставка жүйесіне қарамастан, ақыр соңында банкрот болуы. Бұл тұжырымдама бастапқыда былай айтылған: Жеңіске жеткеннен кейін ставкасын ойыншының банкролының белгілі бір үлесіне дейін арттыратын, бірақ жеңіліске ұшырағанда оны кемітпейтін табанды ойыншы, тіпті әр ставканың оң күтілетін құны болған жағдайда да, сөзсіз банкрот болады. Тұжырымдаманың тағы бір түсіндірмесінде, шектеулі байлығы бар және әділ ойын ойнайтын (яғни, әр ставканың екі тарапқа да күтілетін құны нөлге тең) табанды ойыншы, шексіз байлығы бар қарсыласына қарсы ақыр соңында сөзсіз жеңіледі. Мұндай жағдайды нақты сандар сызығындағы кездейсоқ қозғалыс арқылы модельдеуге болады. Осыған байланысты, ойыншы дерлік нақтылықпен бастапқы нүктесіне оралады, яғни банкрот болады, ал кездейсоқ қозғалыс мәңгі жалғаса берсе, шексіз рет құлдырайды. Бұл Кристиан Гюйгенстің жалпы теоремасының салдары, ол сондай-ақ құмар ойыншының құлдырауы деп те аталады. Бұл теорема екі ойыншының бастапқы ставкалары мен жеңіске жетудің тұрақты ықтималдығын ескере отырып, біреуінің барлық бастапқы ставкалары жоғалғанша жалғасатын ставкалар сериясын жеңу ықтималдығын қалай есептеу керектігін көрсетеді. Бұл құмар ойыншының құлдырауы деп аталатын ең көне математикалық идея, бірақ бұл атау алғаш рет қолданылған идея емес. Бүгінгі күні терминнің кеңінен қолданылуы – Гюйгенстің нәтижесіне байланысты тағы бір салдар. Бұл түсінік құмар ойыншылар үшін ерекше маңызға ие. Алайда, ол ықтималдық пен статистикадағы көптеген байланысты нәтижелерге және кең қолданылатын математикалық теоремаларға да әкеледі. Атап айтқанда, Гюйгенстің нәтижесі математикалық ықтималдықтар теориясының маңызды жетістіктеріне жол ашты.
the mistaken belief that statistical outcomes can become "due"
In statistics, gambler's ruin is the fact that a gambler playing a game with negative expected value will eventually go broke, regardless of his betting system. The concept was initially stated: A persistent gambler who raises his bet to a fixed fraction of the gambler's bankroll after a win, but does not reduce it after a loss, will eventually and inevitably go broke, even if each bet has a positive expected value. Another statement of the concept is that a persistent gambler with finite wealth, playing a fair game (that is, each bet has expected value of zero to both sides) will eventually and inevitably go broke against an opponent with infinite wealth. Such a situation can be modeled by a random walk on the real number line. In that context, it is probable that the gambler will, with virtual certainty, return to his point of origin, which means going broke, and is ruined an infinite number of times if the random walk continues forever. This is a corollary of a general theorem by Christiaan Huygens, which is also known as gambler's ruin. That theorem shows how to compute the probability of each player winning a series of bets that continues until one's entire initial stake is lost, given the initial stakes of the two players and the constant probability of winning. This is the oldest mathematical idea that goes by the name gambler's ruin, but not the first idea to which the name was applied. The term's common usage today is another corollary to Huygens's result. The concept has specific relevance for gamblers. However it also leads to mathematical theorems with wide application and many related results in probability and statistics. Huygens's result in particular led to important advances in the mathematical theory of probability.
Төрт нәтижеге негізделген себептер
Қауіпкердің кез келген сәтте қолда бар ақша сомасы болсын және кез келген оң бүтін сан болсын. Егер ол жеңіске жеткен кезде тігімін арттырады, бірақ жеңілгенде тігімін азайтпайды (бұл жалпы үлгі нақты құмар ойыншылардың арасында жиі кездеседі). Осы тігіс схемасы бойынша, оның банкротқа ұшырауы үшін ең көп дегенде N қатарынан жеңіліске ұшырауы керек. Егер оның әрбір тігіс бойынша жеңу ықтималдығы 1-ден кем болса (егер ол 1-ге тең болса, онда ол құмар ойыншы емес), ол N қаншалықты үлкен болса да, бір қатарда N тігістен айырылып қалуына сөзсіз ұшырайды. Оның дәл осы ережеге сәйкес әрекет етуі міндетті емес, тек жеңіске жеткен сайын тігімін жеткілікті түрде арттырса жеткілікті. Бұл тігістің күтілетін мәні оң болған жағдайда да дұрыс. Әділ ойын ойнаған құмар ойыншы ақырында банкротқа ұшырайды немесе байлығын екі есеге арттырады. Симметрия бойынша, ол ақшасын екі еселеуден бұрын банкротқа ұшырау мүмкіндігіне ие. Егер ол ақшасын екі есе көбейтсе, ол осы процесті қайталайды және ол қайтадан ақшасын екі есе көбейту мүмкіндігіне ие болады. Екінші процестен кейін оның әлі де банкротқа ұшырамау мүмкіндігі бар. Осылай жалғаса отырып, оның процестерден кейін банкротқа ұшырамау мүмкіндігі , яғни , ал оның бір-бірінен кейін келетін процестерден кейін банкротқа ұшырау мүмкіндігі , яғни , құрайды. Хюйгенстің нәтижесі келесі бөлімде көрсетілген. Ойынның теріс күтілетін мәні бар ойыншының соңғы тағдыры әділ ойыншыдан жақсырақ бола алмайды, сондықтан ол да банкротқа ұшырайды.
Huygens's result is illustrated in the next section. The eventual fate of a player at a game with negative expected value cannot be better than the player at a fair game, so he will go broke as well.
N-ойыншыны қирату проблемасы
Жоғарыда сипатталған проблема (2 ойыншы) – деп аталатын N ойыншының құлдырау проблемасының ерекше жағдайы болып табылады. Бұл жерде бастапқы капиталдары доллармен белгіленген ойыншылар (кез келген) тәуелсіз ойындар тізбегін ойнайды және белгілі бір ережелерге сәйкес бір-бірінен белгілі сомада доллар жеңіп немесе жоғалтады. Ойындар тізбегі кем дегенде бір ойыншы құлдыраған кезде аяқталады. Бұл жалпы проблеманы шешу үшін стандартты Марков тізбегі әдістерін қағида бойынша қолдануға болады, бірақ ойыншылар саны немесе олардың бастапқы капиталдары артқан сайын есептеулердің қиындығы тез өседі. Үлкен бастапқы капиталдар үшін шешімді екі өлшемді Браун қозғалысын қолдану арқылы жақсы жуықтауға болады. (Бұл жағдайда мүмкін емес.) Іс жүзінде нақты мәселе – бастапқы капиталдың шектеулі және типолық жағдайлары үшін шешім табу болып табылады. Swan (2006) матрицалық талдау әдістеріне негізделген алгоритмді ұсынды (құлдырау проблемалары үшін бүктеу алгоритмі), ол мұндай жағдайларда есептеу міндетінің реттілігін айтарлықтай төмендетеді.