Введение
Понятие теории вероятности и азартных игр
ошибочное убеждение, что статистические исходы могут стать "назревшими".
В статистике, разорение игрока – это факт, что игрок, участвующий в игре с отрицательным математическим ожиданием, в конечном итоге обанкротится, независимо от его системы ставок. Изначально эта концепция была сформулирована так: упорный игрок, который увеличивает ставку до фиксированной доли своего банкролла после выигрыша, но не уменьшает её после проигрыша, в конечном итоге и неизбежно обанкротится, даже если каждая ставка имеет положительное математическое ожидание. Другая формулировка концепции заключается в том, что настойчивый игрок с конечным капиталом, играющий в честную игру (то есть, математическое ожидание каждой ставки равно нулю для обеих сторон), в конечном итоге и неизбежно проиграет противнику с бесконечным капиталом. Такую ситуацию можно смоделировать случайным блужданием на числовой прямой. В этом контексте вероятно, что игрок с практически полной уверенностью вернется в свою исходную точку, что означает банкротство, и будет разорен бесконечное число раз, если случайное блуждание продолжается вечно. Это следствие общей теоремы Кристиана Гюйгенса, которая также известна как разорение игрока. Эта теорема показывает, как вычислить вероятность выигрыша каждого игрока в серии ставок, которая продолжается до тех пор, пока не будет потеряна вся начальная ставка, учитывая начальные ставки двух игроков и постоянную вероятность выигрыша. Это старейшая математическая идея, носящая название "разорение игрока", но не первая идея, к которой было применено это название. Современное распространенное использование термина является еще одним следствием результата Гюйгенса. Эта концепция имеет особое значение для игроков. Однако она также приводит к математическим теоремам с широким применением и множеству связанных результатов в теории вероятностей и статистике. Результат Гюйгенса, в частности, привел к важным достижениям в математической теории вероятностей.
In statistics, gambler's ruin is the fact that a gambler playing a game with negative expected value will eventually go broke, regardless of his betting system. The concept was initially stated: A persistent gambler who raises his bet to a fixed fraction of the gambler's bankroll after a win, but does not reduce it after a loss, will eventually and inevitably go broke, even if each bet has a positive expected value. Another statement of the concept is that a persistent gambler with finite wealth, playing a fair game (that is, each bet has expected value of zero to both sides) will eventually and inevitably go broke against an opponent with infinite wealth. Such a situation can be modeled by a random walk on the real number line. In that context, it is probable that the gambler will, with virtual certainty, return to his point of origin, which means going broke, and is ruined an infinite number of times if the random walk continues forever. This is a corollary of a general theorem by Christiaan Huygens, which is also known as gambler's ruin. That theorem shows how to compute the probability of each player winning a series of bets that continues until one's entire initial stake is lost, given the initial stakes of the two players and the constant probability of winning. This is the oldest mathematical idea that goes by the name gambler's ruin, but not the first idea to which the name was applied. The term's common usage today is another corollary to Huygens's result. The concept has specific relevance for gamblers. However it also leads to mathematical theorems with wide application and many related results in probability and statistics. Huygens's result in particular led to important advances in the mathematical theory of probability.
Причины четырех результатов
Пусть – сумма денег, которой игрок располагает в любой момент времени, и пусть – любое положительное целое число. Предположим, что он увеличивает ставку до при выигрыше, но не уменьшает её при проигрыше (подобная стратегия распространена среди игроков). При такой схеме ставок для банкротства ему потребуется максимум N проигрышей подряд. Если вероятность выигрыша каждой ставки меньше 1 (если она равна 1, то он не является игроком), он практически наверняка в конечном итоге проиграет N ставок подряд, каким бы большим ни было N. Ему не обязательно строго следовать этому правилу, достаточно, чтобы он увеличивал ставку достаточно быстро при выигрышах. Это верно даже если математическое ожидание каждой ставки положительно. Игрок, играющий в честную игру (с вероятностью выигрыша), в конечном итоге либо обанкротится, либо удвоит свой капитал. По симметрии, у него есть шанс обанкротиться до того, как удвоить свой капитал. Если он удваивает свой капитал, он повторяет этот процесс, и у него снова есть шанс удвоить свой капитал до банкротства. После второго процесса у него есть шанс, что он еще не обанкротился. Продолжая таким образом, его шанс не обанкротиться после процессов равен , который стремится к , а его шанс обанкротиться после последовательных процессов равен , который стремится к . Результат Гюйгенса иллюстрируется в следующем разделе. Судьба игрока в игре с отрицательным математическим ожиданием не может быть лучше, чем судьба игрока в честной игре, поэтому он также обанкротится.
Huygens's result is illustrated in the next section. The eventual fate of a player at a game with negative expected value cannot be better than the player at a fair game, so he will go broke as well.
Проблема разрушения N-игрока
Вышеописанная проблема (2 игрока) является частным случаем так называемой проблемы разорения N игроков. В этой задаче игроки с начальным капиталом в долларах, соответственно, играют последовательность (произвольных) независимых игр, выигрывая и проигрывая друг у друга определенные суммы в соответствии с фиксированными правилами. Последовательность игр прекращается, как только хотя бы один игрок разорится. Стандартные методы марковских цепей могут быть в принципе применены для решения этой более общей проблемы, но вычисления быстро становятся непомерно сложными при увеличении числа игроков или их начальных капиталов. Для достаточно больших начальных капиталов решение можно хорошо аппроксимировать с помощью двумерного броуновского движения. (Однако это невозможно для малых капиталов.) На практике, реальная задача состоит в нахождении решения для типичных случаев с ограниченным начальным капиталом. Сван (2006) предложил алгоритм, основанный на матрично-аналитических методах (Folding Algorithm for ruin problems), который значительно снижает сложность вычислительной задачи в таких случаях.