Кіріспе
Бұл математиканың түрлі салаларында қолданылатын тәртіп, тор және домен теориясымен байланысты кейбір терминдердің сөздігі. Сондай-ақ, тәртіп тақырыптарының құрылымдалған тізімі де бар. Келесі шолу мақалалары да пайдалы ресурстар болып табылуы мүмкін: ішінара реттердің толықтық қасиеттері, реттік теорияның тарату заңдары, реттелген жиындар арасындағы функциялардың сақталу қасиеттері. Бұдан әрі, ішінара реттер көбінесе олардың негізгі жиындарымен белгіленеді. Егер мағынасы контексттен түсінікті болса, қатынас символын алдын ала таныстырмастан көрсету жеткілікті. Сонымен қатар, < белгісі қатаң реттілікті білдіреді.
This is a glossary of some terms used in various branches of mathematics that are related to the fields of order, lattice, and domain theory. Note that there is a structured list of order topics available as well. Other helpful resources might be the following overview articles:
completeness properties of partial orders
distributivity laws of order theory
preservation properties of functions between posets. In the following, partial orders will usually just be denoted by their carrier sets. As long as the intended meaning is clear from the context, will suffice to denote the corresponding relational symbol, even without prior introduction. Furthermore, < will denote the strict order induced by
NOTOC
NOTOC
This is a glossary of some terms used in various branches of mathematics that are related to the fields of order, lattice, and domain theory. Note that there is a structured list of order topics available as well. Other helpful resources might be the following overview articles:
completeness properties of partial orders
distributivity laws of order theory
preservation properties of functions between posets. In the following, partial orders will usually just be denoted by their carrier sets. As long as the intended meaning is clear from the context, will suffice to denote the corresponding relational symbol, even without prior introduction. Furthermore, < will denote the strict order induced by
NOTOC
А
Ациклді. Егер екілік қатынаста "циклдар" болмаса, онда ол ациклді болып табылады: теңдесінен, оның транзитивті жабылуы антисимметриялық болады. Кері. Керісін қараңыз. Рефлексиясыз. Егер X жиынында x R x болатын x элементі болмаса, онда X жиынындағы R қатынасы рефлексиясыз болып табылады. Изотон. Бірқалыптылыққа қараңыз.
Isotone. See monotone.
Ж
Қосылыңыз. Супремумді қараңыз.
L
Тор. Тор – барлық бос емес шекті жоғары жақтары (супремумдары) мен төменгі жақтары (инфимумдары) бар реттік жиын. Ең кіші элемент. Реттік жиын P-нің X ішкі жиыны үшін, егер әрбір X-тегі x элементі үшін a ≤ x болса, онда X элементі a, X-тің ең кіші элементі деп аталады. Қарсы ұғым – ең үлкен элемент. Тізбектің ұзындығы – элементтер санының бірінен кем. 1 элементі бар тізбектің ұзындығы 0, 2 элементі бар тізбектің ұзындығы 1, және т.б. Сызықтық. Толық тәртіпке қараңыз. Сызықтық кеңейтім. Ішінара тәртіптің сызықтық кеңейтімі – сызықтық тәртіп немесе толық тәртіп болатын кеңейтім. Локаль. Локаль – толық Хейтинг алгебрасы. Локальдар сонымен қатар кадрлар деп аталады және Стоун дуалдылығында және нүктесіз топологияда кездеседі. Жергілікті шекті реттік жиын. Реттік жиын P жергілікті шекті болып есептеледі, егер әрбір [a, b] аралығы = {x ∈ P | a ≤ x ≤ b} шекті жиын болса. Төменгі шек. Реттік жиын P-нің X ішкі жиынының төменгі шегі – P элементі b, мұнда барлық X-тегі x үшін b ≤ x. Қарсы ұғым – жоғарғы шек. Төменгі жиын. Реттік жиын P-нің X ішкі жиыны төменгі жиын деп аталады, егер X-тегі барлық x элементтері және P-дегі p үшін, p ≤ x болса, онда p, X-те қамтылған болады. Қарсы ұғым – жоғарғы жиын.
М
Максималды тізбек. Толық реттелген қасиетін жоғалтпай, оған элемент қосуға болмайтын жиынтық тізбек. Бұл қаныққан тізбектен күштірек, себебі ол тізбектегі барлық элементтерден кіші немесе барлық элементтерден үлкен элементтердің болуын қабылдамайды. Шекті қаныққан тізбек максималды болады, егер және тек қана егер ол берілген жиынның минималды және максималды элементтерін қамтитын болса. Максималды элемент. Берілген жиынның X кіші жиынындағы максималды элемент – X-тің m элементі, мұнда егер m ≤ x болса, онда m = x, барлық x ∈ X үшін. Бұл ұғымның дуалы – минималды элемент. Максимум элемент. Ең үлкен элементтің синонимі. Берілген жиынның X кіші жиыны үшін, егер кез келген x ∈ X үшін x ≤ a болса, онда X-тің a элементі X-тің максимум элементі деп аталады. Максимум элемент міндетті түрде максималды, бірақ керісінше дұрыс болмауы мүмкін. Кездесу. Инфимумға қараңыз. Минималды элемент. Берілген жиынның X кіші жиынындағы минималды элемент – X-тің m элементі, мұнда егер x ≤ m болса, онда m = x, барлық x ∈ X үшін. Бұл ұғымның дуалы – максималды элемент. Минимум элемент. Ең кіші элементтің синонимі. Берілген жиынның X кіші жиыны үшін, егер кез келген x ∈ X үшін x ≥ a болса, онда X-тің a элементі X-тің минимум элементі деп аталады. Минимум элемент міндетті түрде минималды, бірақ керісінше дұрыс болмауы мүмкін. Монотонды. P және Q жиындары арасындағы f функциясы монотонды болады, егер P-нің кез келген x, y элементтері үшін x ≤ y (P-де) болса, онда f(x) ≤ f(y) (Q-де) болады. Бұл қасиеттің басқа атаулары – изотонды және тәртіпті сақтаушы. Анализде, толық реттелген жағдайда, мұндай функцияларды көбінесе монотонды өсуші деп атайды, бірақ бұл толық реттелмеген жағдайларда өте қолайлы сипаттама емес. Бұл ұғымның дуалы – антимонотонды немесе тәртіпті кері айналдырушы.
О
Двойной порядок. Частично упорядоченного множества двойной порядок – это то же множество, в котором отношение частичного порядка заменено на обратное ему. Порядок вложение. Функция f между частично упорядоченными множествами P и Q является вложением порядка, если для всех элементов x, y из P, x ≤ y (в P) эквивалентно f(x) ≤ f(y) (в Q). Порядок изоморфизм. Отображение f: P → Q между двумя частично упорядоченными множествами P и Q называется изоморфизмом порядка, если оно биективно и как f, так и f−1 являются монотонными функциями. Эквивалентно, изоморфизм порядка – это сюръективное вложение порядка. Сохранение порядка. Смотрите монотонность. Обращение порядка. Смотрите антитонность.
P
Ішінара тәртіп. Ішінара тәртіп – рефлексивті, антисимметриялық және транзитивті екілік қатынас. Терминологияны аздап өзгерту кезінде, термин кейде мұндай қатынасты емес, оның сәйкес ішінара реттелген жиынын білдіру үшін қолданылады. Ішінара реттелген жиын. Ішінара реттелген жиын немесе қысқаша позит, – позиттегі ішінара тәртіппен бірге жиын. Позит. Алдын ала тәртіп. Алдын ала тәртіп – рефлексивті және транзитивті екілік қатынас. Мұндай тәртіптер квазитәртіптер немесе қатаң емес алдын ала тәртіптер деп те аталады. Алдын ала тәртіп термині ациклді екілік қатынасты (ациклді граф деп те аталады) көрсету үшін де қолданылады. Алдын ала тәртіптелген жиын. Алдын ала тәртіптелген жиын – бұл жиын, онда алдын ала тәртіп анықталған. P және Q позиттері арасындағы f функциясы, егер P-нің барлық X ішкі жиындары үшін P-де supremum sup X болса, онда sup{f(x): x ∈ X} бар және f(sup X)-ке тең болса, supremum-дарды (қосылыстарды) сақтайды деп айтылады. Мұндай функция қосылысты сақтаушы деп те аталады. Сол сияқты, f шекті, бос емес, бағытталған немесе кез келген қосылыстарды (немесе қиылыстарды) сақтайды деп айтылады. Кері қасиет қосылысты шағылыстыру деп аталады. Басты. L торшасындағы I идеал, егер L-дегі кез келген x және y элементтері үшін, x ∧ y ∈ I болса, онда x ∈ I немесе y ∈ I болады, егер оны басты деп санауға болады. Двойнал түсінік – басты сүзгі. Жиын басты сүзгі болып табылады, егер оның толықтығы басты идеал болса. Басты сүзгі. Сүзгі ең кіші элементке ие болса, онда ол басты сүзгі деп аталады. Двойналды түрде, басты идеал – ең үлкен элементі бар идеал. Осы жағдайларда ең кіші немесе ең үлкен элементтерді басты элементтер деп те атауға болады. Проекция (оператор). Функциялық композицияда монотонды және идемпотентті ішінара реттелген жиынның өзіне бейнелеуі. Проекциялар домен теориясында маңызды рөл атқарады. Псевдокомплемент. Гейтинг алгебрасында x ⇒ 0 элементі x-тің псевдокомплементі деп аталады. Ол sup{y : y ∧ x = 0} арқылы да беріледі, яғни y ∧ x = 0 шартын қанағаттандыратын барлық y элементтерінің ең кіші жоғарғы шегі ретінде.
Poset. A partially ordered set. Preorder. A preorder is a binary relation that is reflexive and transitive. Such orders may also be called quasiorders or non strict preorder. The term preorder is also used to denote an acyclic binary relation (also called an acyclic digraph). Preordered set. A preordered set is a set together with a preorder on
Preserving. A function f between posets P and Q is said to preserve suprema (joins), if, for all subsets X of P that have a supremum sup X in P, we find that sup{f(x): x in X} exists and is equal to f(sup X). Such a function is also called join preserving. Analogously, one says that f preserves finite, non empty, directed, or arbitrary joins (or meets). The converse property is called join reflecting. Prime. An ideal I in a lattice L is said to be prime, if, for all elements x and y in L, x ∧ y in I implies x in I or y in I. The dual notion is called a prime filter. Equivalently, a set is a prime filter if and only if its complement is a prime ideal. Principal. A filter is called principal filter if it has a least element. Dually, a principal ideal is an ideal with a greatest element. The least or greatest elements may also be called principal elements in these situations. Projection (operator). A self map on a partially ordered set that is monotone and idempotent under function composition. Projections play an important role in domain theory. Pseudo complement. In a Heyting algebra, the element x ⇒; 0 is called the pseudo complement of x. It is also given by sup{y : y ∧ x = 0}, i. e. as the least upper bound of all elements y with y ∧ x = 0.
Q
Квазирет. Алдын-ала реттілікке қараңыз. Квазитранзитивті. Егер әртүрлі элементтердегі қатынас транзитивті болса, онда қатынас квазитранзитивті болып есептеледі. Транзитивтілік квазитранзитивтілікті білдіреді және квазитранзитивтілік ациклділікті білдіреді.
R
Кейін тарту. P және Q жиындары арасындағы f функциясы жоғарғы шекті (қосылысты) кейін тартады деп айтылады, егер P жиынының кез келген X ішкі жиыны үшін sup{f(x): x ∈ X} жоғарғы шегі болса және ол P жиынының кейбір s елемі үшін f(s) түрінде болса, онда sup X жоғарғы шегі бар және sup X = s болады. Сол сияқты, f функциясы шекті, бос емес, бағытталған немесе кез келген қосылыстарды (немесе төменгі шектерді) кейін тартады деуге болады. Кері қасиет қосылысты сақтау деп аталады. Кері байланыс. Егер кез келген x ∈ X үшін x R x орындалса, онда X жиынындағы R екілік қатынасы кері байланысты болып табылады. Қалдық. Қалдық бейнелеуге байланысты қосарлы бейнелеу. Қалдық бейнелеу. Негізгі төмен жиынның кері бейнесі де негізгі болатын монотонды бейнелеу. Бұл Галуа байланысының бір құрауы.
Т
Жоғары. Бөлмеге қараңыз. Толық тәртіп. Толық тәртіп T – бұл T жиынындағы кез келген x және y үшін x ≤ y немесе y ≤ x шарты орындалатын ішінара тәртіп. Толық тәртіптер сызықтық тәртіптер немесе тізбектер деп те аталады. Толық қатынас. Байланысты қатынас синонимі. Транзитивті қатынас. Егер X жиынындағы R қатынасы үшін x R y және y R z болса, онда x R z болады, барлық x, y, z элементтері үшін бұл қатынас транзитивті болып табылады. Транзитивті жабылу. R қатынасының транзитивті жабылуы R* – бұл x R a, a R b, ..., z R y түріндегі шекті тізбек болатын барлық x, y жұптарынан тұрады.
Transitive closure. The transitive closure R∗ of a relation R consists of all pairs x,y for which there cists a finite chain x R a, a R b, , z R y.
U
Бірлік. Позитивті жиын P-нің ең үлкен елемі бірлік немесе жай ғана 1 деп аталуы мүмкін (егер ол болса). Бұл элементтің тағы бір жиі қолданылатын атауы – жоғарғы элемент. Ол бос жиынның инфимумы және P-нің супремумы болып табылады. Дуал ұғым – нөл. Жоғары жиын. Жоғарғы жиынға қараңыз. Жоғарғы шек. Позитивті жиын P-нің X ішкі жиынының жоғарғы шегі – P элементі b, онда барлық x ∈ X үшін x ≤ b. Дуал ұғым – төменгі шек. Жоғарғы жиын. Позитивті жиын P-нің X ішкі жиыны, егер X-тегі барлық x элементтері және P-дегі p үшін, x ≤ p болса, p элементі X-ке кіретін болса, жоғарғы жиын деп аталады. Дуал ұғым – төменгі жиын.
V
Бағалау. Төрелікке берілген бағалау қатаң (яғни, ), монотонды, модулді (яғни, ) және оң болады. Ұзындығы үзділіссіз бағалаулар – өлшемдердің жалпылама түрі.
W
Қарым-қатынастан әлдеқайда төмен. Позитивті жиын P-де, егер P-нің барлық бағытталған D ішкі жиындары үшін supremum болғанда, y ≤ sup D болса, онда x ≤ D-дегі кейбір d үшін, x, y-ден әлдеқайда төмен деп айтылады, және x<<y деп жазылады. Сондай-ақ, x, y-ге жуық деп те айтылады. Домен теориясымен де танысыңыз. Әлсіз рет. Егер X жиынтығындағы ≤ бөлшектік рет, (X, ≤) позитивті жиынтығы кардиналдылықты салыстыру арқылы реттелген жиынтардың саналатын жиынтығына изоморфты болса, онда ол әлсіз рет болып табылады.
Z
Нөл. Позитивті жиын P-нің ең кіші елемі нөл немесе 0 деп аталуы мүмкін (егер ол болса). Бұл элементтің тағы бір жиі қолданылатын атауы – төменгі шек. Нөл – бос жиынның жоғарғы шегі және P жиынының төменгі шегі. Осыған қарама-қарсы ұғым – бірлік.