Кіріспе

Математикалық ұғымды салыстыруға арналған математикалық ұғым.

Математикада эквиваленттік қатынас – рефлексивті, симметриялық және транзитивті екілік қатынас болып табылады. Геометриядағы сызық кесінділері арасындағы эквиваленттік қатынас – эквиваленттік қатынастың кең таралған мысалы. Одан да қарапайым мысал – теңдік. Кез келген сан өзіне тең (рефлексивті). Егер a = b болса, онда b = a (симметриялық). Егер a = b және b = c болса, онда a = c (транзитивті). Әрбір эквиваленттік қатынас негізгі жиынтықты өзара байланыссыз эквиваленттік сыныптарға бөледі. Берілген жиынның екі элементі бір-біріне эквивалентті, егер және тек қана олар бір эквиваленттік сыныпқа жатса.

Нөмірлік

Әдебиетте жиынның екі элементісінің теңдестік қатынасына қатысты эквивалентті екенін көрсету үшін әртүрлі белгілер қолданылады. Ең көп қолданылатындары – "" және "a ≡ b", олар қатынас түсініксіз болғанда қолданылады, ал "", "a ≡R b" немесе "" түрлері қатынасты нақты көрсету үшін пайдаланылады. Эквивалентті еместігі "a ≁ b" немесе "" деп жазылуы мүмкін.

Анықтама

Жинақтағы екілік қатынас, егер және тек егер ол рефлексивті, симметриялық және транзитивті болса, эквиваленттік қатынас деп аталады. Яғни, жинақтағы кез келген және үшін (рефлексивтілік). егер және тек егер (симметрия). Егер және , онда (транзитивтілік). Мұндай қатынаспен бірге сетоид деп аталады. -қа қатысты эквиваленттік класс былай анықталады:

Реляциялық алгебраны қолдана отырып, баламалы анықтама

Реляциялық алгебрада, егер және қатынастар болса, онда композициялық қатынас егер және тек егер осындай болатын элемент болса ғана анықталады. Бұл анықтама функционалдық композиция анықтамасының жалпылауы болып табылады. Жиынғыдағы эквиваленттік қатынастың анықтамалық қасиеттерін келесідей қайта формулиреуге болады: (рефлексивтілік). (Мұнда, сәйкестік функциясы жиынғыдағы функцияны білдіреді.) (симметриялық). (транзитивтілік).

Қарапайым мысал

Жинақтағы қатынас эквиваленттік қатынас болып табылады. Келесі жиындар осы қатынастың баламалық кластары болып табылады:

-тің барлық баламалық кластарының жиыны – . Бұл жиын -тің -ға қатысты бөлінісі болып табылады.

Қатынасты маңызды анықтамалар

Let , және be эквиваленттілік қатынасы. Кейбір негізгі анықтамалар мен терминология:

Теңдестік класы

Мұндай жиынның, барлық және үшін орындалатын, ал үшін және жиыннан тыс үшін ешқашан орындалмауы мүмкін емес, ішкі жиыны эквиваленттік сынып деп аталады. -қа тиесілі эквиваленттік сыныпты [символ] арқылы белгілейміз. Бір-біріне эквивалентті барлық элементтер бірдей эквиваленттік сыныптың элементтері болып табылады.

Квотиент жиынтығы

Эквиваленттілік класс есімдерінің жиынтығы - арқылы белгіленген - арқылы бөлінген жиын болып табылады. Егер кеңістік топологиялық кеңістік болса, оны топологиялық кеңістікке түрлендірудің табиғи жолы бар; толық мәліметтер үшін "Квотиент кеңістігі" бөлімін қараңыз.

Теңдестік өзегі

Функцияның эквиваленттік ядросы – x ~ y шартымен анықталған эквиваленттік қатынас. Инъекцияның эквиваленттік ядросы – сәйкестік қатынасы болады.

Бөлімдеу

X-тің бөлінісі – X-тің бос емес ішкі жиындарының P жиыны, мұнда X-тің әрбір элементе P жиынының бір ғана элементе кіреді. P жиынының әрбір элементе – бөліністің жасушасы. Бұдан әрі, P жиынының элементтері өзара шектес және олардың біріктірілісі X-ке тең.

Бөлшектерді санау

X n элементі бар шекті жиын болсын. X жиынындағы кез келген эквиваленттілік қатынасы X жиынының бөлінісіне сәйкес келеді, және керісінше, X жиынындағы эквиваленттілік қатынастарының саны X жиынының ерекше бөліністерінің санына тең, ол n-ші Белл саны Bn болып табылады: (Добинский формуласы).

Теңдестік қатынастарын салыстыру

Егер және бір жиынтықтағы екі теңдестік қатынас болса, және барлық үшін дегенді білдіреді, онда ол -тен қалың қатынас деп аталады, ал -тен ұсақ қатынас болып табылады. Баламалы түрде, егер әрбір теңдестік класы -ның теңдестік класының ішкі жиыны болса, және осылайша әрбір теңдестік класы -ның теңдестік кластарының бірігімі болса, онда - ұсақ қатынас болып саналады. Сондай-ақ, егер -мен құрылған бөлініс, -мен құрылған бөліністің нақтылануы болса, онда - ұсақ қатынас болып саналады. Теңдестік қатынасы кез келген жиынтықтағы ең ұсақ теңдестік қатынас, ал барлық элементтер жұптарын байланыстыратын әмбебап қатынас – ең қалың қатынас. Белгілі бір жиынтықтағы барлық теңдестік қатынастар жиынтығындағы "ұсақтығы" қатынасы өзі жартылай реттік қатынас болып табылады, бұл жиынтықты геометриялық торға айналдырады.

Алгебралық құрылым

Математиканың көп бөлігі теңдестіктер мен реттік қатынастарды зерттеуге негізделген. Сетка теориясы реттік қатынастардың математикалық құрылымын көрсетеді. Теңдестік қатынастар математикада реттік қатынастармен бірдей кең таралған болғанымен, теңдестіктердің алгебралық құрылымы реттіктердікідей жақсы танымал емес. Бұл құрылым негізінен топтар теориясына, ал шамалы дәрежеде сеткалар, категориялар және группоидтар теориясына сүйенеді.

Жатырлар

Кез келген X жиынтығындағы эквиваленттік қатынастар, жиынтықтың кіші жиынтық ретімен реттелгенде, конвенция бойынша Con X деп аталатын толық торды құрайды. Каноникалық бейнелеу ker: X^X → Con X, X жиынындағы барлық функциялардың X^X моноиді мен Con X арасындағы байланысты қамтамасыз етеді. ker сюръективті, бірақ инъективті емес. Анығырақ айтқанда, X жиынындағы ker эквиваленттік қатынасы, әрбір f: X → X функциясын оның ядросына ker f-ке бейнелейді. Сол сияқты, ker(ker) X^X жиынында эквиваленттік қатынас болып табылады.