Кіріспе

Математикадағы жоғарғы шектері бар математикалық реттеу. Математикада, бағытталған жиын (немесе бағытталған алдын ала реттеу немесе сүзгіленген жиын) – бұл бос емес жиын, рефлексивті және транзитивті екілік қатынаспен (яғни, алдын ала реттеу), сондай-ақ, әрбір элементтер жұбы үшін жоғарғы шек болатын қосымша қасиеті бар. Басқаша айтқанда, кез келген және үшін жиында және болатындай болатын элемент болуы керек. Бағытталған жиынның алдын ала реті бағыт деп аталады. Жоғарыда анықталған ұғым кейде жоғары бағытталған жиын деп аталады. Төмен бағытталған жиын аналогты түрде анықталады, яғни әрбір элементтер жұбы төменнен шектелген. Кейбір авторлар (және осы мақала) егер басқаша көрсетілмесе, бағытталған жиын жоғары бағытталған деп есептейді. Басқа авторлар жиынды жоғары және төмен бағытталған болған жағдайда ғана бағытталған деп атайды. Бағытталған жиын – бос емес толық реттелген жиындардың жалпыламасы. Яғни, барлық толық реттелген жиындар бағытталған жиындар болып табылады (ішінара реттелген жиындардан өзгеше, олар міндетті түрде бағытталмауы мүмкін). Қосылған жартылай торлар (ішінара реттелген жиындар) да бағытталған жиындар болып табылады, бірақ керісінше емес. Сол сияқты, торлар жоғары және төмен бағытталған. Топологияда бағытталған жиындар желілерді анықтау үшін қолданылады, олар тізбектерді жалпылайды және талдауда қолданылатын әртүрлі шек ұғымдарын біріктіреді. Бағытталған жиындар абстрактілік алгебрада және (жалпы алғанда) категориялар теориясында тікелей шектерге әкеледі.

Теңдес анықтама

Жоғарыдағы анықтамаға қоса, эквивалентті анықтама да бар. Бағытталған жиын – бұл әрбір шекті ішкі жиыны үшін жоғарғы шек болатын алдын ала реттелген жиын. Осы анықтама бойынша, бос жиынның жоғарғы шегінің болуы, жиынның бос емес екенін көрсетеді.

Мысалдар

Табиғи сандардың әдеттегі ретімен жиыны – бағытталған жиынның ең маңызды мысалдарының бірі. Кез келген толық реттелген жиын – бағытталған жиын болып табылады, оның ішінде және .

Ішінара реттелген, бірақ бағытталмаған жиынның (тривиалды) мысалы – тек реттік қатынастар ғана болатын жиын, мысалы және . Кем түсінікті мысал – "нақты сандарға бағытталған" мысал сияқты, бірақ онда реттеу ережесі тек бір жағындағы элементтер жұптарына ғана қолданылады (яғни, егер элементтінің біреуін алсақ және одан оңға элемент алсақ, онда олар салыстырылмайды, ал кіші жиынның үстіңгі шегі болмайды).

Бағытталған жиынтықтардың туындысы

Егер және болсын бағытталған жиындар. Онда Декарт көбейтіндісі жиынын бағытталған жиынға айналдыруға болады, егер және тек егер және болса. Бұл Декарт ретімен салыстырғанда, Декарт көбейтіндісіндегі бағыттылық реті болып табылады. Мысалы, табиғи сандар жұптарының жиынын егер және тек егер және болса, бағытталған жиынға айналдыруға болады.

Бір нүктеге бағытталған

Егер нақты сан болса, онда жиыны деп анықталғанда бағытталған жиынтыққа айналуы мүмкін (яғни, "үлкен" элементтерге жақын). Осылайша, нақты сандар санына қарай бағытталған болады. Бұл жартылай реттелмеген және толық реттелмеген бағытталған жиынтықтың мысалы. Себебі, антисимметрия және сандары санынан бірдей қашықтықта орналасқан және олардың орналасуы қарама-қарсы болған кезде бұзылады. Атап айтқанда, бұл болған жағдайда орын алады, онда болса да, болады. Егер бұл алдын ала реттелу орнына үшін анықталған болса, онда ол әлі де бағытталған жиынтықты құрар еді, бірақ енді оның (бірден-бір) ең үлкен элементі болар еді, атап айтқанда ; алайда, ол әлі де жартылай реттелмеген болар еді. Бұл мысал метрикалық кеңістікке немесе алдын ала ретті деп анықтау арқылы жалпылауға болады.

Логика

Келсін, белгілі бір қасиеттері бар сөйлемдер жиынтығы (олардың толық мәліметтерін тақырып бойынша мақалада табуға болады) формальды теория болсын. Мысалы, ол бірінші реттік теория (Зермело-Франкельдің жиын теориясы сияқты) немесе қарапайым нөлдік реттік теория болуы мүмкін. Алдын ала реттелген жиынтық бағытталған жиынтық болып табылады, себебі егер және егер логикалық қосылыс арқылы құрылған сөйлемді білдірсе, онда және егер болса, онда . Егер Линденбаум-Тарски алгебрасы болса, онда ол ішінара реттелген және сонымен қатар бағытталған жиынтық болып табылады.

Жартылай реңктермен қарама-қарсылық

Бағытталған жиын (қосылу) жартылай тордан жалпырақ түсінік: әрбір қосылу жартылай тор – бағытталған жиын, себебі екі элементтің қосылуы немесе ең кіші жоғарғы шегі қажетті. Алайда, керісіне дұрыс емес, мысалы, біттік реттелген бағытталған жиын {1000,0001,1101,1011,1111} (мысалы, орындалады, бірақ соңғы бітінде 1 > 0 болғандықтан орындалмайды), мұнда {1000,0001} үш жоғарғы шегі бар, бірақ ең кіші жоғарғы шегі жоқ, суретке қараңыз. (Сонымен қатар, 1111 болмаса, жиын бағытталмайды.)

Бағытталған кіші жиынтықтар

Бағытталған жиынның реттік қатынасы антисимметриялық болуы міндетті емес, сондықтан бағытталған жиын әрқашан ішінара реттелген жиын болып табылмайды. Дегенмен, бағытталған жиын термині жиі ішінара реттелген жиындар (посеттер) контекстінде қолданылады. Бұл жағдайда, ішінара реттелген жиынның ішкі жиыны, егер ол сол ішінара реттеуге сәйкес бағытталған жиын болса, бағытталған ішкі жиын деп аталады: яғни, ол бос жиын емес, және элементтердің кез келген жұбы үшін жоғарғы шек бар. Мұнда, жиынның элементтеріндегі реттік қатынас жиыннан мұраланады, сондықтан рефлексивтілік және транзитивтілік қажеттіліктері ашық түрде көрсетілмейді. Посеттің бағытталған ішкі жиыны төменнен жабық болуы міндетті емес; Посеттің ішкі жиыны бағытталған болып есептеледі, егер оның төменнен жабылуы идеал болса ғана. Бағытталған жиынның анықтамасы "жоғары бағытталған" жиынға қатысты болса да (элементтердің кез келген жұбы үшін жоғарғы шек бар), элементтердің кез келген жұбы үшін ортақ төменгі шек болатын төмен бағытталған жиынды анықтауға болады. Посеттің ішкі жиыны төмен бағытталған болып есептеледі, егер оның жоғарыдан жабылуы сүзгі болса. Бағытталған ішкі жиындар домен теориясында қолданылады, ол толық ішінара реттелген жиындарды зерттейді. Бұл – әрбір жоғары бағытталған жиынның ең кіші жоғарғы шегі болуы талап етілетін жиындар. Осы контексте, бағытталған ішкі жиындар конвергентті тізбектердің жалпылама түрін ұсынады.