Кіріспе

Алгебралық құрылым логикалық операцияларды модельдеу

Абстракт алгебрада Буль алгебрасы немесе Буль торсы – толықтырылған дистрибутивті тор. Бұл алгебралық құрылымның түрі жиын операциялары мен логикалық операциялардың маңызды қасиеттерін қамтиды. Буль алгебрасын қуат жиыны алгебрасының немесе жиындар өрісінің жалпылама түрі ретінде қарастыруға болады, немесе оның элементтерін жалпыланған шындық мәндері ретінде қарастыруға болады. Бұл сондай-ақ Де Морган алгебрасының және Клин алгебрасының (инволюциямен) ерекше жағдайы. Кез келген Буль алгебрасы Буль сақинасын тудырады, және керісінше, сақина көбейтуі конъюнкцияға немесе кездесуге (∧) сәйкес келеді, ал сақина қосуы – эксклюзивті дизъюнкцияға немесе симметриялық айырмашылыққа (дизъюнкцияға емес ∨) сәйкес келеді. Дегенмен, Буль сақиналары теориясындағы екі оператор арасындағы ішкі асимметрия бар, ал Буль алгебрасының аксиомалары мен теоремалары екілік принцип бойынша сипатталған теорияның симметриясын көрсетеді. Мазмұны

Тарих

"Буль алгебрасы" термині өзін-өзі оқытқан ағылшын математигі Джордж Буль (1815–1864) құрметіне берілген. Ол алгебралық жүйені алғаш рет 1847 жылы "Логиканың математикалық талдауы" атты кішкентай памфлетінде, Август Де Морган мен Уильям Гамильтон арасындағы жалғасып жатқан қоғамдық пікірсайысқа жауап ретінде ұсынды, ал кейіннен 1854 жылы "Ойлау заңдары" атты толыққанды кітабында жариялады. Бульдің ұсынуы жоғарыда сипатталғаннан кейбір маңызды тұрғылары бойынша ерекшеленеді. Мысалы, Бульде конъюнкция мен дизъюнкция операциялары бір-біріне жұптас емес еді. Буль алгебрасы 1860 жылдары Уильям Джевонс пен Чарльз Сандерс Пирс жазған еңбектерінде қалыптасты. Буль алгебрасы мен үлестіруші торлардың алғашқы жүйелі сипаттамасы 1890 жылғы Эрнст Шредердің лекцияларында (Vorlesungen) кездеседі. Буль алгебрасының ағылшын тіліндегі алғашқы кеңінен қарастырылған еңбегі – А.Н. Уайтхедтің 1898 жылғы "Жалпы алгебрасы". Буль алгебрасы, қазіргі заманғы аксиоматикалық мағынадағы аксиоматикалық алгебралық құрылым ретінде, 1904 жылы Эдвард В. Хантингтонның жариялаған еңбегінен басталады. Буль алгебрасы Маршалл Стоунның 1930 жылдардағы жұмыстарымен және Гаррет Бирхоффтың 1940 жылғы "Торлар теориясымен" нақты математикалық пәні ретінде дамыды. 1960 жылдары Пол Коэн, Дана Скотт және басқалар Буль алгебрасының салалары – мәжбүрлеу және Бульдік модельдерді пайдалана отырып, математикалық логика мен аксиоматикалық жиын теориясында жаңа, терең нәтижелерге қол жеткізді.

Буль сақиналары

Әрбір Буль алгебрасы 1=(A, ∧, ∨) (A, +, ·) сақинасын тудырады, 1=a + b := (a ∧ ¬b) ∨ (b ∧ ¬a) = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b) (бұл операция жиындар жағдайында симметриялық айырмашылық, ал логика жағдайында XOR деп аталады) және 1=a · b := a ∧ b деп анықталғанда. Бұл сақинаның нөлдік элементі Буль алгебрасының 0-імен сәйкес келеді, ал сақинаның көбейтуге қатысты бейтарап элементі Буль алгебрасының 1-і болып табылады. Бұл сақинада 1=a · a = a қасиеті барлық a ∈ A үшін орындалады; мұндай қасиетке ие сақиналар Буль сақиналары деп аталады. Керісінше, егер Буль сақинасы А берілген болса, оны 1=x ∨ y := x + y + (x · y) және 1=x ∧ y := x · y деп анықтап Буль алгебрасына айналдыруға болады. Бұл екі конструкция бір-біріне кері болғандықтан, әрбір Буль сақинасы Буль алгебрасынан туындайды және керісінше де дұрыс. Сонымен қатар, f : A → B функциясы Буль алгебраларының гомоморфизмі болса және ғана Буль сақиналарының гомоморфизмі болады. Буль сақиналары мен Буль алгебраларының категориялары эквивалентті, тіпті изоморфты. Хсян (1985) екі кез келген өрнектің кез келген Буль сақинасында бірдей мәнді білдіретінін тексеруге арналған ережеге негізделген алгоритм ұсынды. Ал, Будет, Жуанно және Шмидт Шаус (1989) кез келген Буль сақиналық өрнектер арасындағы теңдеулерді шешу алгоритмін ұсынды. Буль сақиналары мен Буль алгебраларының ұқсастығын пайдалана отырып, екі алгоритм де автоматты түрде теоремаларды дәлелдеуде қолданылады.

Идеалдар мен сүзгілер

Буль алгебрасының идеалы – бос емес I жиынтығы, мұнда I-дегі кез келген x, y үшін I-де болады және A-дағы кез келген a үшін I-де болады. Бұл идеал түсінігі Бульдік сақина А-дағы сақиналық идеал түсінігімен сәйкес келеді. A-ның I идеалы жай деп аталады, егер I-дегі кез келген a және b үшін, егер I-де болса, онда a I-де немесе b I-де болады. Әрбір үшін , және егер I жай болса, онда кез келген A үшін немесе болады. A-ның I идеалы максималды деп аталады, егер және егер I-ді қамтитын жалғыз идеал A-ның өзі болса. I идеалы үшін, егер және , онда немесе басқа бір идеал J-де қамтылған. Сондықтан, мұндай I максималды емес, демек, Буль алгебрасында жай идеал және максималды идеал түсініктері эквивалентті. Бұған қоса, бұл түсініктер Буль сақинасы А-дағы жай идеал және максималды идеалдың сақиналық теориялық түсініктерімен сәйкес келеді. Идеалдың дуалы – сүзгі. Буль алгебрасының сүзгісі – бос емес p жиынтығы, мұнда p-дегі кез келген x, y үшін I-де болады және A-дағы кез келген a үшін I-де болады. Буль алгебрасындағы максималды (немесе жай) идеалдың дуалы – ультрафильтр. Ультрафильтрлерді A-дан екі элементті Буль алгебрасына дейінгі 2-мәнді морфизмдер ретінде де сипаттауға болады. Буль алгебрасындағы әрбір сүзгі ультрафильтрге кеңейтіле алады деген тұжырым ультрафильтр леммасы деп аталады және егер ZF сәйкес болса, Zermelo–Fraenkel жиынтық теориясында (ZF) дәлелденбейді. ZF ішінде ультрафильтр леммасы таңдау аксиомасынан қатаң әлсіз. Ультрафильтр леммасының көптеген эквивалентті формулировкалары бар: әрбір Буль алгебрасының ультрафильтрі бар, Буль алгебрасындағы әрбір идеалды жай идеалға дейін кеңейтуге болады және т.б.

Өкілдіктер

Кез келген шекті Буль алгебрасы, шекті жиынның барлық кіші жиынтықтарының Буль алгебрасына изоморфты екенін көрсетуге болады. Сондықтан, кез келген шекті Буль алгебрасының элементтерінің саны екінің дәрежесі болады. Стоунның Буль алгебралары үшін белгілі теоремасы, кез келген Буль алгебрасы А, кейбір (жинақы, толығымен үзіліссіз, Хаусдорф) топологиялық кеңістіктегі барлық ашық-жабық жиындардың Буль алгебрасына изоморфты екенін мәлімдейді.

Жалпылау

Буль алгебрасының аксиомаларынан бірліктің болу шартын алып тастау «жалпыланған Буль алгебраларын» тудырады. Формальды түрде, 1=B дистрибутивті тор, егер оның ең кіші элементі 1=0 болса және 1=B-дегі кез келген 1=a және 1=b элементтері үшін, егер 1=a ≤ b болса, онда 1=a ∧ x = 0 және 1=a ∨ x = b болатын 1=x элементі бар болады. 1=a \ b анықтамасын (a ∧ b) ∨ x = a және (a ∧ b) ∧ x = 0 шартын қанағаттандыратын бірегей 1=x ретінде берсек, (B, ∧, ∨, \, 0) құрылымын жалпыланған Буль алгебрасы, ал (B, ∨, 0) құрылымын жалпыланған Буль жартылай тор деп атаймыз. Жалпыланған Буль торлары – Буль торларының идеалдары. Буль алгебрасының аксиомаларының екі дистрибутивті аксиомасынан басқа барлық аксиомаларын қанағаттандыратын құрылымды ортокомплементті тор деп атайды. Ортокомплементті торлар кванттық логикада ажыратылатын Гильберт кеңістіктері үшін жабық сызықтық кіші кеңістіктердің торлары ретінде табиғи түрде туындайды.

Пайдаланылған әдебиеттер

Please provide the English text you want me to translate. I need the content of the ".". and ".". to perform the translation. I will use the existing translation reference you provided *only* for terminology consistency, prioritizing the accurate meaning of the English text.

Жалпы сілтемелер

. 2.5 бөлімін қараңыз. 2-тарауды қараңыз. 3 томдық (1-том, 2-том, 3-том). 1979 жылы "Dover Publications" баспасында қайта басылды.