Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, әсіресе функционалдық талдауда, реттелген векторлық кеңістіктегі оң сызықтық функционал – бұл сызықтық функционал, онда барлық оң элементтер үшін келесі шарт орындалады: .
In mathematics, more specifically in functional analysis, a positive linear functional on an ordered vector space is a linear functional on so that for all positive elements that is it holds that
Басқаша айтқанда, оң сызықтық функционал оң элементтер үшін теріс емес мәндерді қабылдауы кепілдік беріледі. Оң сызықтық функционалдардың маңыздылығы Риесс-Марков-Какутани бейнелеу теоремасы сияқты нәтижелерде жатыр. Егер – кешенді векторлық кеңістік болса, онда барлық үшін нақты сан деп есептеледі. Кейде, C* алгебрасы сияқты, өзіне-өзі қосымша элементтердің ішінара реттелген қосалқы кеңістігіне ие болғанда, ішінара тәртіп тек бір қосалқы кеңістікке ғана орналастырылады және бұл тәртіп кеңістіктің барлық элементтеріне тарамайды. Мұндай жағдайда, кеңістіктің оң элементтері, қосалқы кеңістіктің оң элементтерімен белгіленеді. Бұл C* алгебрасы үшін оң сызықтық функционал, кез келген элементті, оның кешенді түйіндесіне тең болатын элемент үшін, нақты санға жібереді, бұл сан оның кешенді түйіндесіне тең болады, сондықтан барлық оң сызықтық функционалдар мұндай өзіне-өзі қосымшалықты сақтайды. Бұл қасиет GNS құрылымында C* алгебрасындағы оң сызықтық функционалдарды ішкі көбейтулермен байланыстыру үшін пайдаланылады.
In other words, a positive linear functional is guaranteed to take nonnegative values for positive elements. The significance of positive linear functionals lies in results such as Riesz–Markov–Kakutani representation theorem. When is a complex vector space, it is assumed that for all is real. As in the case when is a C* algebra with its partially ordered subspace of self adjoint elements, sometimes a partial order is placed on only a subspace and the partial order does not extend to all of in which case the positive elements of are the positive elements of by abuse of notation. This implies that for a C* algebra, a positive linear functional sends any equal to for some to a real number, which is equal to its complex conjugate, and therefore all positive linear functionals preserve the self adjointness of such This property is exploited in the GNS construction to relate positive linear functionals on a C* algebra to inner products.
Мысалдар
К* алгебрасы мысалы ретінде оң элементтері оң анықталған матрицалар болатын күрделі квадрат матрицаларды қарастырайық. Бұл C* алгебрасында анықталған із функциясы – оң функционал, себебі кез келген оң анықталған матрицаның өзіндік мәндері оң, демек, оның ізі де оң болады. Жергілікті компактты Хаусдорф кеңістігіндегі компактты қолдауы бар барлық үздіксіз күрделі мәнді функциялардың Риес кеңістігін қарастырайық. μ болып белгіленетін Борель реттелген өлшемді және f функциясы арқылы анықталған функционалды қарастырайық: ∫f dμ. Онда бұл функционал оң (кез келген оң функцияның интегралы оң сан). Сонымен қатар, Риесс-Марков-Какутани бейнелеу теоремасынан көрінетіндей, осы кеңістіктегі кез келген оң функционал осы түрде болады.
Consider, as an example of the C* algebra of complex square matrices with the positive elements being the positive definite matrices. The trace function defined on this C* algebra is a positive functional, as the eigenvalues of any positive definite matrix are positive, and so its trace is positive. Consider the Riesz space of all continuous complex valued functions of compact support on a locally compact Hausdorff space Consider a Borel regular measure on and a functional defined by Then, this functional is positive (the integral of any positive function is a positive number). Moreover, any positive functional on this space has this form, as follows from the Riesz–Markov–Kakutani representation theorem.
Экономикаға қолдану
Берілген кеңістікте баға жүйесін сол кеңістіктегі үздіксіз, оң, сызықтық функционал ретінде қарастыруға болады.
Given a space , a price system can be viewed as a continuous, positive, linear functional on .