Введение
В математике, а точнее в функциональном анализе, положительный линейный функционал на упорядоченном векторном пространстве – это линейный функционал на таком, что для всех положительных элементов выполняется условие .
Другими словами, положительный линейный функционал гарантированно принимает неотрицательные значения для положительных элементов. Значимость положительных линейных функционалов проявляется в таких результатах, как теорема о представлении Рисса-Маркова-Какутани. Если является комплексным векторным пространством, то предполагается, что для всех является действительным числом. Как и в случае C*-алгебры с её частично упорядоченным подпространством самосопряжённых элементов, иногда частичный порядок задаётся только на подпространстве, и не распространяется на всё пространство, при этом положительные элементы рассматриваются как положительные элементы подпространства по соглашению. Это означает, что для C*-алгебры положительный линейный функционал отображает любое , равное для некоторого , в действительное число, равное его комплексно сопряжённому, и, следовательно, все положительные линейные функционалы сохраняют самосопряжённость такого элемента. Это свойство используется в конструкции GNS для установления связи между положительными линейными функционалами на C*-алгебре и внутренними произведениями.
Примеры
Рассмотрим в качестве примера C*-алгебру комплексных квадратных матриц, в которой положительные элементы — это положительно определенные матрицы. Функция следа, определенная на этой C*-алгебре, является положительным функционалом, поскольку собственные значения любой положительно определенной матрицы положительны, а следовательно, ее след также положителен. Рассмотрим пространство Риеша всех непрерывных комплекснозначных функций с компактным носителем на локально компактном хаусдорфовом пространстве. Пусть задана регулярная мера Бореля на этом пространстве и функционал, определенный как интеграл от функции по этой мере. Тогда этот функционал является положительным (интеграл от любой неотрицательной функции — положительное число). Более того, любой положительный функционал на этом пространстве имеет такой вид, что следует из теоремы о представлении Риеша — Маркова — Какутани.
Применение в экономике
При заданном пространстве, ценовую систему можно рассматривать как непрерывный, положительный, линейный функционал на этом пространстве.