Кіріспе
Топологиялық векторлық кеңістіктер арасындағы сызықтық түрлендіру
In functional analysis and operator theory, a bounded linear operator is a linear transformation between topological vector spaces (TVSs) and that maps bounded subsets of to bounded subsets of
If and are normed vector spaces (a special type of TVS), then is bounded if and only if there exists some such that for all
The smallest such is called the operator norm of and denoted by
A bounded operator between normed spaces is continuous and vice versa. The concept of a bounded linear operator has been extended from normed spaces to all topological vector spaces. Outside of functional analysis, when a function is called "bounded" then this usually means that its image is a bounded subset of its codomain. A linear map has this property if and only if it is identically
Consequently, in functional analysis, when a linear operator is called "bounded" then it is never meant in this abstract sense (of having a bounded image).
Функционалдық талдау және операторлар теориясында, шектелген сызықтық оператор – топологиялық векторлық кеңістіктер (ТВК) арасындағы сызықтық түрлендіру және егер және нормаланған векторлық кеңістіктер болса (ТВК-нің ерекше түрі), онда шектелген болады, егер және тек қана егер кейбір бар болса, осылайша барлығы үшін .
In functional analysis and operator theory, a bounded linear operator is a linear transformation between topological vector spaces (TVSs) and that maps bounded subsets of to bounded subsets of
If and are normed vector spaces (a special type of TVS), then is bounded if and only if there exists some such that for all
The smallest such is called the operator norm of and denoted by
A bounded operator between normed spaces is continuous and vice versa. The concept of a bounded linear operator has been extended from normed spaces to all topological vector spaces. Outside of functional analysis, when a function is called "bounded" then this usually means that its image is a bounded subset of its codomain. A linear map has this property if and only if it is identically
Consequently, in functional analysis, when a linear operator is called "bounded" then it is never meant in this abstract sense (of having a bounded image).
Мұндай ең кіші оператордың нормасы деп аталады және символымен белгіленеді.
In functional analysis and operator theory, a bounded linear operator is a linear transformation between topological vector spaces (TVSs) and that maps bounded subsets of to bounded subsets of
If and are normed vector spaces (a special type of TVS), then is bounded if and only if there exists some such that for all
The smallest such is called the operator norm of and denoted by
A bounded operator between normed spaces is continuous and vice versa. The concept of a bounded linear operator has been extended from normed spaces to all topological vector spaces. Outside of functional analysis, when a function is called "bounded" then this usually means that its image is a bounded subset of its codomain. A linear map has this property if and only if it is identically
Consequently, in functional analysis, when a linear operator is called "bounded" then it is never meant in this abstract sense (of having a bounded image).
Нормаланған кеңістіктер арасындағы шектелген оператор үздіксіз болады және керісінше. Шектелген сызықтық оператор түсінігі нормаланған кеңістіктерден барлық топологиялық векторлық кеңістіктерге дейін кеңейтілді. Функционалдық талдаудан тыс, егер функция "шектелген" деп аталса, онда оның бейнесі кодоменаның шектелген ішкі жиыны дегенді білдіреді. Сызықтық бейнелеудің осы қасиеті бар, егер және тек қана ол толықтай нөлге тең болса.
In functional analysis and operator theory, a bounded linear operator is a linear transformation between topological vector spaces (TVSs) and that maps bounded subsets of to bounded subsets of
If and are normed vector spaces (a special type of TVS), then is bounded if and only if there exists some such that for all
The smallest such is called the operator norm of and denoted by
A bounded operator between normed spaces is continuous and vice versa. The concept of a bounded linear operator has been extended from normed spaces to all topological vector spaces. Outside of functional analysis, when a function is called "bounded" then this usually means that its image is a bounded subset of its codomain. A linear map has this property if and only if it is identically
Consequently, in functional analysis, when a linear operator is called "bounded" then it is never meant in this abstract sense (of having a bounded image).
Осыған байланысты, функционалдық талдауда сызықтық оператор "шектелген" деп аталғанда, ол ешқашан осы абстрактілі мағынада (шектелген бейнеге ие болу) түсінілмейді.
In functional analysis and operator theory, a bounded linear operator is a linear transformation between topological vector spaces (TVSs) and that maps bounded subsets of to bounded subsets of
If and are normed vector spaces (a special type of TVS), then is bounded if and only if there exists some such that for all
The smallest such is called the operator norm of and denoted by
A bounded operator between normed spaces is continuous and vice versa. The concept of a bounded linear operator has been extended from normed spaces to all topological vector spaces. Outside of functional analysis, when a function is called "bounded" then this usually means that its image is a bounded subset of its codomain. A linear map has this property if and only if it is identically
Consequently, in functional analysis, when a linear operator is called "bounded" then it is never meant in this abstract sense (of having a bounded image).
Шекаралылық пен сабақтастықтың теңдігі
Нормаланған кеңістіктер арасындағы сызықтық оператор шектелі егер және тек қана егер ол үздіксіз болса.
Тұрақтылық және шектелу
TVS арасындағы әрбір тізбектік үздіксіз сызықтық оператор шектелген оператор болып табылады. Бұл метрикалық TVS арасындағы әрбір үздіксіз сызықтық оператор шектелгендігін білдіреді. Дегенмен, жалпы жағдайда, екі TVS арасындағы шектелген сызықтық оператордың үздіксіз болуы міндетті емес. Бұл тұжырымдама, жалпы топологиялық векторлық кеңістіктер арасындағы шектелген операторларды, шектелген жиындарды шектелген жиындарға жіберілген операторлар ретінде анықтауға мүмкіндік береді. Осы контексте, әрбір үздіксіз бейнелеу шектелген болады, бірақ керісінше дұрыс емес; шектелген оператор үздіксіз болуы міндетті емес. Бұл сондай-ақ, шектелгендік енді осы жағдайда Липшиц үздіксіздігімен эквивалентті емес екенін көрсетеді. Егер домен борнологиялық кеңістік болса (мысалы, псевдометрикалық TVS, Фреше кеңістігі, нормаланған кеңістік), онда кез келген басқа жергілікті дөңес кеңістікке сызықтық операторлар үздіксіз болса ғана шектелген болады. LF кеңістіктері үшін әлсіз кері тұжырым қолданылады; LF кеңістігінен кез келген шектелген сызықтық бейнелеу тізбектік үздіксіз болады. Егер екі топологиялық векторлық кеңістіктің арасындағы сызықтық оператор болса және егер нөлдің маңындағы бір аймақта шектелген жиын болса, онда ол оператор үздіксіз болады. Бұл фактіні көбінесе, нөлдің маңындағы бір аймақта шектелген сызықтық оператор міндетті түрде үздіксіз деген тұжырыммен қорытындылайды. Атап айтқанда, нөлдің маңындағы бір аймақта шектелген кез келген сызықтық функционал үздіксіз болады (оның домені нормаланған кеңістік болмаса да).
Борнологиялық кеңістіктер
Борнологиялық кеңістіктер – нақты сол жергілікті дөңес кеңістіктер, онда кез келген шектеулі сызықтық оператор басқа жергілікті дөңес кеңістікке міндетті түрде үздіксіз болады. Яғни, жергілікті дөңес ТВС кеңістігі борнологиялық кеңістік болып табылады, егер және тек қана егер кез келген жергілікті дөңес ТВС кеңістігі үшін сызықтық оператор үздіксіз болса, да және тек қана егер ол шектеулі болса. Кез келген нормаланған кеңістік борнологиялық болып табылады.
Шекаралы сызықтық операторлар кеңістігінің қасиеттері
Барлық шектелген сызықтық операторлардың кеңістігі нормаланған векторлық кеңістік болып табылады. Егер X Банах кеңістігі болса, онда X* да Банах кеңістігі болады; әсіресе, жұптас кеңістіктер Банах кеңістігі болып табылады. Кез келген сызықтық оператор үшін, оның ядросы X кеңістігінің жабық сызықтық ішкі кеңістігі болып табылады. Егер X Банах кеңістігі болса және ядросы тривиальді емес болса, онда X*/ядросы Банах кеңістігі болады.