Кіріспе
Математикада, әсіресе функционалдық талдауда, фон Нейманның бикоммутант теоремасы белгілі бір топологиялардағы Гильберт кеңістігіндегі шектелген операторлар жиынының жабылуын сол жиынтықтың бикоммутантына байланыстырады. Қорыта айтқанда, бұл операторлар теориясының алгебралық және топологиялық аспектілері арасындағы байланыс. Теореманың формальды тұжырымы: Фон Нейманның бикоммутант теоремасы. 'M' Гильберт кеңістігіндегі шектелген операторлардан тұратын, бірлік операторын қамтитын және жалғау амалына қатысты жабық алгебра болсын. Онда 'M'-нің әлсіз оператор топологиясы және күшті оператор топологиясы бойынша жабылулары тең, және олар өз кезегінде 'M'-нің бикоммутанты 'M''-ге тең. Бұл алгебра 'M' арқылы туындаған фон Нейман алгебрасы деп аталады. Шектелген операторлар кеңістігінде басқа да бірнеше топологиялар бар, және осы топологияларда жабық * алгебралар қандай екенін сұрауға болады. Егер 'M' норма топологиясында жабық болса, онда ол C* алгебрасы, бірақ міндетті түрде фон Нейман алгебрасы емес. Мұндай мысалдың бірі – шексіз өлшемді Гильберт кеңістігіндегі компакт операторлардың C* алгебрасы. Көптеген басқа кең таралған топологиялар үшін 1-ді қамтитын жабық * алгебралар фон Нейман алгебралары болып табылады; бұл, әсіресе, әлсіз оператор, күшті оператор, * күшті оператор, ультра әлсіз, ультра күшті және * ультра күшті топологияларға қатысты. Ол Джейкобсон тығыздық теоремасымен байланысты.
Von Neumann bicommutant theorem. Let 'M' be an algebra consisting of bounded operators on a Hilbert space H, containing the identity operator, and closed under taking adjoints. Then the closures of 'M' in the weak operator topology and the strong operator topology are equal, and are in turn equal to the bicommutant 'M'′′ of 'M'. This algebra is called the von Neumann algebra generated by 'M'. There are several other topologies on the space of bounded operators, and one can ask what are the * algebras closed in these topologies. If 'M' is closed in the norm topology then it is a C* algebra, but not necessarily a von Neumann algebra. One such example is the C* algebra of compact operators (on an infinite dimensional Hilbert space). For most other common topologies the closed * algebras containing 1 are von Neumann algebras; this applies in particular to the weak operator, strong operator, * strong operator, ultraweak, ultrastrong, and * ultrastrong topologies. It is related to the Jacobson density theorem.
i) дәлелденуі
Әлсіз оператор топологиясының анықтамасы бойынша, кез келген x және y үшін H-де T → <Tx, y> бейнелеуі осы топологияда үздіксіз болады. Сондықтан, кез келген O операторы үшін (және y → O^(∗)y және x → Ox деп алмастыру арқылы), бұл бейнелеу де үздіксіз болады.
S – L(H) кез келген ішкі жиыны болсын, ал S′ – оның коммутанты. Егер T операторы S′-ге жатпаса, онда S-дегі кейбір O және H-дегі кейбір x және y үшін <OTx, y> – <TOx, y> нөлден өзгеше болады. Жоғарыда аталған бейнелеудің үздіксіздігіне сәйкес, T-ның әлсіз оператор топологиясындағы ашық маңы бар, онда бұл шама нөлден өзгеше, демек, бұл ашық маңы да S′-ге жатпайды. Осылайша, S′ әлсіз оператор топологиясында жабық, яғни S′ әлсіз жабық. Демек, әрбір коммутант әлсіз жабық, сондай-ақ 'M'′′ да; өйткені ол 'M' кіріктіреді, онда оның әлсіз жабылуы да кіріктірілген.
ii) дәлелденуі
Бұл әлсіз оператор топологиясының күшті оператор топологиясынан дөрекірек болуынан тікелей туындайды: clS('M')-дегі әрбір x нүктесі үшін, әлсіз оператор топологиясындағы x-тің кез келген ашық маңайы күшті оператор топологиясында да ашық болады және демек 'M' жиынының бір мүшесін қамтиды; сондықтан x, clW('M') жиынының да мүшесі болады.
Бірлік емес жағдай
H-ге әсер ететін C* алгебрасы "M" егер H-дегі h үшін екені айтылады. Бұл жағдайда, "M" алгебрасындағы жуықтап келген бірліктерді пайдаланып, I сәйкестік операторының "M" күшті жабылуында жатқанын көрсетуге болады. Сондықтан, бикоммутант теоремасының қорытындысы "M" үшін орындалады.