Введение

Линейная трансформация между топологическими векторными пространствами

В функциональном анализе и теории операторов ограниченный линейный оператор — это линейная трансформация между топологическими векторными пространствами (ТВП), которая отображает ограниченные подмножества одного пространства в ограниченные подмножества другого.

Если X и Y — нормированные векторные пространства (особый тип ТВП), то оператор T ограничен тогда и только тогда, когда существует такое число M, что для всех x из X выполняется ||T(x)|| ≤ M||x||.

Наименьшее из таких M называется операторной нормой оператора T и обозначается ||T||. Ограниченный оператор между нормированными пространствами является непрерывным и наоборот. Понятие ограниченного линейного оператора было расширено с нормированных пространств на все топологические векторные пространства.

Вне функционального анализа, когда функция называется "ограниченной", это обычно означает, что её образ является ограниченным подмножеством её области значений. Линейное отображение обладает этим свойством тогда и только тогда, когда оно тождественно равно нулю.

Следовательно, в функциональном анализе, когда линейный оператор называется "ограниченным", это никогда не подразумевается в этом абстрактном смысле (то есть, имея ограниченный образ).

Эквивалентность ограниченности и непрерывности

Линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен.

Непрерывность и ограниченность

Каждый последовательно непрерывный линейный оператор между ТВС является ограниченным оператором. Это подразумевает, что каждый непрерывный линейный оператор между метризуемыми ТВС ограничен. Однако, в общем случае, ограниченный линейный оператор между двумя ТВС не обязательно является непрерывным. Эта формулировка позволяет определить ограниченные операторы между общими топологическими векторными пространствами как оператор, отображающий ограниченные множества в ограниченные множества. В этом контексте по-прежнему верно, что любое непрерывное отображение ограничено, однако обратное неверно: ограниченный оператор не обязательно является непрерывным. Это также означает, что в этом контексте ограниченность больше не эквивалентна липшицевой непрерывности. Если область определения является борнологическим пространством (например, псевдометризуемым ТВС, пространством Фреше, нормированным пространством), то линейный оператор в любое другое локально выпуклое пространство ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Для пространств LF выполняется более слабое обратное утверждение: любое ограниченное линейное отображение из пространства LF последовательно непрерывно. Если является линейным оператором между двумя топологическими векторными пространствами и существует окрестность начала координат в таком, что является ограниченным подмножеством , то непрерывен. Этот факт часто формулируют так: линейный оператор, ограниченный в некоторой окрестности начала координат, обязательно непрерывен. В частности, любой линейный функционал, ограниченный в некоторой окрестности начала координат, непрерывен (даже если его область определения не является нормированным пространством).

Борнологические пространства

Борнологические пространства — это именно те локально выпуклые пространства, для которых каждый ограниченный линейный оператор в другое локально выпуклое пространство обязательно непрерывен. Иными словами, локально выпуклое TVS является борнологическим пространством тогда и только тогда, когда для каждого локально выпуклого TVS линейный оператор непрерывен, если и только если он ограничен. Каждое нормированное пространство является борнологическим.

Свойства пространства ограниченных линейных операторов

Пространство всех ограниченных линейных операторов из в обозначается и является нормированным векторным пространством. Если является пространством Банаха, то также является пространством Банаха; в частности, сопряженные пространства являются пространствами Банаха. Для любого оператора ядро является замкнутым линейным подпространством Если является пространством Банаха и нетривиально, то является пространством Банаха.