Кіріспе

Негізгі диагоналдағы элементтердің қосындысы

Сызықтық алгебрада "A" квадрат матрицасының трассасы, tr("A") деп белгіленеді, "A" матрицасының негізгі диагоналіндегі (жоғарғы сол жақтан төменгі оң жаққа дейін) элементтердің қосындысы ретінде анықталады. Трасса тек (n × n) квадрат матрицалар үшін ғана анықталған. Матрицаның трассасы оның өзіндік мәндерінің қосындысына тең екенін (көптігімен есептелінеді) дәлелдеуге болады. Кез келген екі "A" және "B" матрицалары үшін де олардың тиісті өлшемдері болса, бұл тура екенін дәлелдеуге болады. Бұл ұқсас матрицалардың трассасы бірдей екенін көрсетеді. Осыдан келіп, шекті өлшемді векторлық кеңістікті өзіне бейнелейтін сызықтық оператордың трассасын анықтауға болады, себебі мұндай операторды кез келген негізде сипаттайтын матрицалар ұқсас болады. Трасса детерминанттың туындысымен байланысты (Жакоби формуласын қараңыз).

Коммутатордың іздері

Егер "A" және "B" екеуі де n × n матрица болса, "A" және "B" (сақиналық теориялық) коммутаторларының іздері нөлге тең болады: tr(['A', 'B']) = 0, себебі tr('AB') = tr('BA') және tr сызықтық. Мұны "тұрақты Ли алгебраларының gln → k операторлардан скалярларға бейнелеуі" деп айтуға болады, өйткені скалярлардың коммутаторы тривиалды (ол Абельдік Ли алгебрасы). Атап айтқанда, ұқсастық инварианттылығын пайдалану арқылы, бірлік матрицасы ешқашан кез келген матрицалар жұбының коммутаторына ұқсас болмайды. Керісінше, нөлдік ізге ие кез келген квадрат матрица, матрицалар жұптарының коммутаторларының сызықтық комбинациясы болып табылады. Сонымен қатар, нөлдік ізді кез келген квадрат матрица, барлық диагональдық элементтері нөлге тең квадрат матрицаға унитарлық түрлендіріледі.

Характерлік көптікпен қатынасы

Матрицаның ізi – бұл сипаттамалық полиномдағы коэффициент, оның белгісі сипаттамалық полиномның анықтамасындағы конвенцияға сәйкес өзгеруі мүмкін.

Өзіндік мәндермен қатынасы

Егер 'A' – нақты немесе кешенді элементтері бар квадрат матрица арқылы бейнеленген сызықтық оператор болса және λ1, …, λn – 'A' операторының өзіндік мәндері болса (олардың алгебралық көптігіне сәйкес тізімделген), онда

Бұл 'A' әрқашан өзінің Жордан түріне эквивалентті екендігінен туындайды, бұл жоғарғы үшбұрышты матрица, оның басты диагоналінде λ1, …, λn орналасқан. Керісінше, 'A' матрицасының анықтамасы – оның өзіндік мәндерінің көбейтіндісі; яғни,

Осы бөлімде келтірілген барлық мәлімдемелер алгебралық жабық өрістегі коэффициенттері бар кез келген квадрат матрицаға да қатысты.

Сызықтық оператордың іздері

Жалпы, белгілі бір сызықтық бейнеуді f: V → V (мұнда V – шекті өлшемді векторлық кеңістік) бергенде, осы бейнеудің ізін, f-тің матрицалық өрнегін қарастыру арқылы анықтауға болады, яғни V үшін негіз таңдап, f-ті осы негізге қатысты матрица ретінде сипаттап, осы квадрат матрицаның ізін алу арқылы. Нәтиже таңдалған негізге тәуелді болмайды, себебі әртүрлі негіздер ұқсас матрицалар береді, бұл сызықтық бейнеудің ізін анықтау үшін негізге тәуелсіз анықтама беру мүмкіндігін тудырады. Мұндай анықтаманы V кеңістігіндегі сызықтық бейнеулердің End(V) кеңістігі мен V ⊗ V* арасындағы канондық изоморфизмді пайдалана отырып беруге болады, мұнда V* – V-дің жұп кеңістігі. v V-де, ал g V*-де болсын. Онда бөлшектенбейтін элементтің v ⊗ g ізі g(v) деп анықталады; ал жалпы элементтің ізі сызықтылық қағидасы бойынша анықталады. Осылайша, сызықтық бейнеудің f: V → V ізі, жоғарыда аталған канондық изоморфизм бойынша f-ке сәйкес келетін V ⊗ V* элементінің жоғарыда көрсетілген мағынадағы ізі ретінде анықталады. V үшін нақты негізді және V* үшін сәйкес жұп негізді пайдаланып, осы анықтаманың жоғарыда берілген анықтамамен бірдей екенін көрсетуге болады.

Стохастикалық бағалаушы

Тректі "Хатчинсонның тәсілі" арқылы қатесіз бағалауға болады: Кез келген матрица және орташасы нөлге тең кездейсоқ вектор үшін, бізде (Дәлел: күтуді тікелей ашыңыз). Әдетте, кездейсоқ вектор (қалыпты таралым) немесе (Радемахер таралымы) бойынша таңдалады. Тректі бағалау үшін одан да күрделі стохастикалық әдістер әзірленген.

Қолданбалар

Егер 2x2 нақты матрицаның ізi нөлге тең болса, оның квадраты диагональдық матрица болады. 2 × 2 кешенді матрицаның ізi Мёбиус түрлендірулерін жіктеу үшін қолданылады. Біріншіден, матрицаның детерминанты біреуге тең болу үшін нормаланады. Егер іздің квадраты 4-ке тең болса, сәйкес түрлендіру параболалық болады. Егер квадрат [0,4) аралығында болса, ол эллипстік болады. Ал егер квадрат 4-тен үлкен болса, түрлендіру локсодромалық болады. Мёбиус түрлендірулерінің жіктелуіне қараңыз. Із топтық өкілдіктердің мінездемелерін анықтау үшін қолданылады. G тобының екі өкілдігі "A", "B" : G → GL(V), егер барлық g ∈ G үшін 1=tr(A(g)) = tr(B(g)) болса, V-дегі негізді өзгертуге дейін тең болады. Із квадраттық формалардың таралуында да маңызды рөл атқарады.

Тензорлы көбейтінділер тіліндегі іздер

V векторлық кеңістігін қарастыра отырып, (v, φ) жұбын φ(v) скалярына жіберу арқылы берілген V × V^(∗) → F табиғи билинейлік бейнелеуі бар. Тензорлық көбейтіндінің универсалды қасиеті бұл билинейлік бейнелеу V ⊗ V^(∗) кеңістігіндегі сызықтық функционалмен индукцияланады екенін автоматты түрде білдіреді. Сол сияқты, V × V^(∗) → Hom(V, V) табиғи билинейлік бейнелеуі бар, ол (v, φ) жұбын w ↦ φ(w)v сызықтық бейнелеуіне жібереді. Бұл билинейлік бейнелеу де, бұрын қолданылғандай, тензорлық көбейтіндінің универсалды қасиеті арқылы V ⊗ V^(∗) → Hom(V, V) сызықтық бейнелеуімен индукцияланады. Егер V шекті өлшемді болса, онда бұл сызықтық бейнелеу сызықтық изоморфизм болады. Бұл негізгі факт V-дің (шекті) базисінің болуының тікелей салдары және кез келген V → V сызықтық бейнелеуін (шекті саны) бірінші ретті сызықтық бейнелеулердің қосындысы ретінде жазуға болады. Изоморфизмнің кері бейнелеуін жоғарыда алынған сызықтық функционалмен құрастыру Hom(V, V) кеңістігінде сызықтық функционалды береді. Бұл сызықтық функционал дәл сол ізге тең. Ізді диагональдық элементтерінің қосындысы ретінде анықтамасын пайдаланып, матрицалық формуланы оңай дәлелдеуге болады, және ол жоғарыда келтірілген. Аталған тұрғысынан, S және T сызықтық бейнелеулерін қарастырып, оларды бірінші ретті бейнелеулердің қосындысы ретінде қарастырамыз, сондықтан φᵢ және ψⱼ сызықтық функционалдары және V кеңістігіндегі нөлдік емес vᵢ және wⱼ векторлары бар, олар кез келген u ∈ V үшін және теңдіктерін қанағаттандырады. Онда кез келген u ∈ V үшін

теңдігі орындалады. Бірінші ретті сызықтық бейнелеу u ↦ ψⱼ(u)φᵢ(wⱼ)vᵢ іздері ψⱼ(vᵢ)φᵢ(wⱼ) тең, сондықтан

теңдігі орындалады. S және T бейнелеулерін кері ретпен қарастыра отырып, дәл сол формуланы аламыз, бұл tr(S ∘ T) = tr(T ∘ S) екенін көрсетеді. Жоғарыдағы дәлелді тензорлық көбейтінділерге негізделген деп қарастыруға болады, себебі End(V) мен V ⊗ V^(∗) арасындағы негізгі тепе-теңдік кез келген сызықтық бейнелеуді бірінші ретті сызықтық бейнелеулердің қосындысы ретінде беруге тең. Сондықтан, дәлелді тензорлық көбейтінділердің белгілеуін пайдаланып жазуға болады. Содан кейін V × V^(∗) × V × V^(∗) → V ⊗ V^(∗) көпсызықтық бейнелеуін қарастыруға болады, ол (v, φ, w, ψ) жұбын φ(w)v ⊗ ψ бейнелеуіне жібереді. Бұл бейнелеуді із бейнелеуімен құрастырғанда φ(w)ψ(v) нәтижесі шығады, және егер (w, ψ, v, φ) жұбынан бастағанда да нәтиже өзгермейді. Сонымен қатар, End(V) × End(V) → End(V) билинейлік бейнелеуін қарастыруға болады, ол (f, g) жұбын f ∘ g композициясына жібереді, және бұл бейнелеу End(V) ⊗ End(V) → End(V) сызықтық бейнелеуімен индукцияланады. Бұл бейнелеу V ⊗ V^(∗) ⊗ V ⊗ V^(∗) → V ⊗ V^(∗) сызықтық бейнелеуімен сәйкес келеді. Із бейнелеуімен құрастыру кезінде орнатылған симметрия екі іздің теңдігін анықтайды. Кез келген шекті өлшемді V векторлық кеңістігі үшін табиғи сызықтық бейнелеу бар; сызықтық бейнелеулер тілінде ол скаляр c-ге c⋅idV сызықтық бейнелеуін сәйкестендіреді. Кейде бұл кобағалау бейнелеуі деп аталады, ал із бағалау бейнелеуі деп аталады. Бұл құрылымдарды категориялық іздерді анықтау үшін категория теориясының абстрактілік жағдайында аксиоматизациялауға болады.