Кіріспе

Матрицаға байланысты векторлық кеңістіктер

Сызықтық алгебрада, A матрицасының бағаналық кеңістігі (диапазон немесе кескін деп те аталады) – оның бағаналық векторларының сызықтық комбинацияларының барлық мүмкін жиынтығынан құралған кеңістік. Матрицаның бағаналық кеңістігі – сәйкес матрицалық түрлендірудің бейнесі немесе диапазоны болып табылады. болып алсақ, m × n матрицасының компоненттері болғанда, оның бағаналық кеңістігі m-өлшемді кеңістіктің сызықтық кіші кеңістігі болады. Бағаналық кеңістіктің өлшемі – матрицаның ранкі деп аталады және ол min(m, n)-нен аспайды. Сақина арқылы да матрицалар анықталуы мүмкін. Жол кеңістігі де ұқсас түрде анықталады. A матрицасының жол кеңістігі мен бағаналық кеңістігі кейде тиісінше 'C'(Aᵀ) және 'C'(A) деп белгіленеді. Бұл мақалада нақты сандардан құралған матрицалар қарастырылады. Жол және бағаналық кеңістіктер тиісінше нақты кеңістіктер және болып табылады.

Өлшем

Баған кеңістігінің өлшемі матрицаның ранкі деп аталады. Ранк, қысқартылған жол эшелондық түріндегі бағыттық элементтердің (пивоттардың) санына тең, және матрицадан таңдап алуға болатын сызықтық тәуелсіз бағандардың ең көп саны болып табылады. Мысалы, жоғарыдағы мысалда келтірілген 4 × 4 матрицаның ранкі үшке тең. Баған кеңістігі – сәйкес матрицалық түрлендірудің бейнесі болғандықтан, матрицаның ранкі бейне өлшемімен бірдей. Мысалы, жоғарыда көрсетілген матрицамен сипатталған түрлендіру, барлық кеңістікті үш өлшемді кеңістікке бейнелейді. Матрицаның нөлдік өлшемі – нөлдік кеңістіктің өлшемі болып табылады, және ол қысқартылған жол эшелондық түрінде бағыттық элементтері (пивоттары) жоқ бағандардың санына тең. n бағаналы A матрицасының ранкі мен нөлдік өлшемі мына теңдеумен байланысты:

Бұл ранг-нөлдік өлшем теоремасы деп аталады.

Сол жақтағы нөлдік кеңістікпен қатынасы

A-ның сол жақтағы нөлдік кеңістігі – 'x' векторының 1='x'^(T)A = '0'^(T) теңдігін қанағаттандыратын барлық векторлар жиыны. Бұл А матрицасының транспозының нөлдік кеңістігімен бірдей. A^(T) матрицасы мен 'x' векторының көбейтіндісін векторлардың скалярлық көбейтіндісі түрінде жазуға болады: себебі A^(T) қатар векторлары A матрицасының баған векторлары 'v'k-ның транспозициясы болып табылады. Осылайша, 1=A^(T)'x' = '0' шарты орындалуы үшін 'x' векторы A матрицасының әрбір баған векторына ортогональ (перпендикуляр) болуы керек. Соған сәйкес, сол жақтағы нөлдік кеңістік (A^(T) нөлдік кеңістігі) A матрицасының бағандық кеңістігіне ортогональды толықтыру болып табылады. A матрицасы үшін бағандық кеңістік, қатарлық кеңістік, нөлдік кеңістік және сол жақтағы нөлдік кеңістік кейде төрт негізгі кіші кеңістік деп аталады.

Өлшем

Жол кеңістігінің өлшемі матрицаның ранкі деп аталады. Бұл матрицадан таңдауға болатын ең көп сызықтық тәуелсіз жолдар санымен немесе эквивалентті түрде півоттар санымен бірдей. Мысалы, жоғарыдағы мысалдағы 3 × 3 матрицаның ранкі екіге тең. Матрицаның ранкі баған кеңістігінің өлшеміне де тең. Нөлдік кеңістіктің өлшемі матрицаның нөлдігі деп аталады және ол төмендегі теңдеу арқылы ранкімен байланысты:

мұнда n – матрица А-ның бағаналарының саны. Жоғарыдағы теңдеу ранг-нөлдік теорема деп аталады.

Нөлдік кеңістікпен қатынасы

A матрицасының нөлдік кеңістігі – A'x' = '0' теңдеуін қанағаттандыратын барлық 'x' векторларының жиыны. A матрицасы мен 'x' векторының көбейтіндісін векторлардың скалярлық көбейтіндісі арқылы жазуға болады:

мұнда 'r'1, …, 'r'm – A матрицасының жол векторлары. Осылайша, A'x' = '0' егер және тек қана 'x' векторы A матрицасының әрбір жол векторына перпендикуляр болса. Соған сәйкес, A матрицасының нөлдік кеңістігі – жол кеңістігіне ортогональды толықтыру болып табылады. Мысалы, егер жол кеңістігі үш өлшемді кеңістікте координата басынан өтетін жазықтық болса, онда нөлдік кеңістік координата басынан өтетін перпендикуляр түзу болады. Бұл ранг-нөлдік теореманы дәлелдейді (өлшем туралы қараңыз). Жол кеңістігі және нөлдік кеңістік – A матрицасымен байланысты төрт негізгі ішкі кеңістіктің екеуі (қалған екеуі – баған кеңістігі және сол жақтанғы нөлдік кеңістік).

Суретпен байланысы

Егер V және W векторлық кеңістіктер болса, сызықтық түрлендірудің ядросы T: V → W – T('v') = '0' шартын қанағаттандыратын 'v' ∈ V векторларының жиыны болып табылады. Сызықтық түрлендірудің ядросы матрицаның нөлдік кеңістігімен аналогты. Егер V ішкі көбейтінді кеңістігі болса, онда ядроның ортогональды толықтырғышы қатар кеңістігінің обобщениесі ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұл кейде T-нің коимиджі деп аталады. T түрлендіруі өзінің коимиджінде біржақты болып табылады, ал коимидж T-нің бейнесіне изоморфты түрде бейнеленеді. V ішкі көбейтінді кеңістігі болмаған жағдайда, T-нің коимиджі V / ker(T) көбейтінді кеңістігі ретінде анықталуы мүмкін.