Кіріспе
Математикалық матрицаның қасиеттері
Математикада, нақты сандары бар симметриялық матрица, егер әрбір нөлден өзге нақты баған векторы үшін нақты сан оң болса, онда оның транспозициясы оң анықталған болып табылады. Жалпы алғанда, Гермиттік матрица (яғни, өзінің конъюгациялық транспозициясына тең келетін комплекс матрица) оң анықталған болып табылады, егер әрбір нөлден өзге комплекс баған векторы үшін нақты сан оң болса, онда конъюгациялық транспозицияны білдіреді.
positive definite if the real number is positive for every nonzero complex column vector where denotes the conjugate transpose of
Оң жартылай анықталған матрицалар да осылай анықталады, бірақ скалярлар оң немесе нөл болуы керек (яғни, теріс емес). Теріс анықталған және теріс жартылай анықталған матрицалар да осыған ұқсас анықталады. Оң жартылай анықталмаған және теріс жартылай анықталмаған матрица кейде анықталмаған деп аталады. Матрица оң анықталған болып табылады, егер ол оң анықталған квадраттық форманың немесе Гермиттік форманың матрицасы болса ғана. Басқаша айтқанда, матрица оң анықталған болып табылады, егер және тек қана ол ішкі көбейтіндіні анықтаса. Оң анықталған және оң жартылай анықталған матрицаларды көптеген тәсілдермен сипаттауға болады, бұл математиканың әртүрлі салаларындағы осы ұғымның маңыздылығын түсіндіруге мүмкіндік береді. M матрицасы оң анықталған болып табылады, егер ол келесі эквивалентті шарттардың кез келгенін қанағаттандырса. M оң нақты сандары бар диагональ матрицамен конгруэнтті. M симметриялық немесе Гермиттік, және оның барлық өзіндік мәндері нақты және оң. M симметриялық немесе Гермиттік, және оның барлық жетекші басты кіші анықтауыштары оң. Конъюгациялық транспозициясы бар инверттік матрица бар, егер ол "оң" сөзі "теріс" сөзімен, "инверттік матрица" сөзі "матрица" сөзімен алмастырылса және "жетекші" сөзі алынып тасталса, онда матрица оң жартылай анықталған болып табылады. Оң анықталған және оң жартылай анықталған нақты матрицалар дөңес оптимизацияның негізінде жатыр, себебі, егер бірнеше нақты айнымалылардың функциясы екі рет дифференциалданатын болса, онда оның Гессиан матрицасы (екінші жартылай туындыларының матрицасы) p нүктесінде оң анықталған болса, онда функция p нүктесінің маңында дөңес болады, және керісінше, егер функция p нүктесінің маңында дөңес болса, онда Гессиан матрицасы p нүктесінде оң жартылай анықталған болады.
A matrix is positive semi definite if it satisfies similar equivalent conditions where "positive" is replaced by "nonnegative", "invertible matrix" is replaced by "matrix", and the word "leading" is removed. Positive definite and positive semidefinite real matrices are at the basis of convex optimization, since, given a function of several real variables that is twice differentiable, then if its Hessian matrix (matrix of its second partial derivatives) is positive definite at a point p, then the function is convex near p, and, conversely, if the function is convex near p, then the Hessian matrix is positive semidefinite at p.
Оң анықталған матрицалар жиыны ашық дөңес конус, ал оң жартылай анықталған матрицалар жиыны жабық дөңес конус болып табылады. Кейбір авторлар анықталудың жалпылама анықтамаларын қолданады, оларға кейбір симметриялық емес нақты матрицалар немесе Гермиттік емес комплекс матрицалар да кіреді.
Анықтамалар
Келесі анықтамаларда, - матрицаның транспозі, - матрицаның конъюгациялық транспозі, ал - n өлшемді нөлдік векторды білдіреді.
Нақты матрицалардың анықтамасы
Симметриялық нақты матрица, егер барлық нөлдік емес векторлар үшін болатын жағдайда, оң анықталған деп аталады. Формальды түрде,
Симметриялық нақты матрица, егер барлық векторлар үшін болатын жағдайда, оң жартылай анықталған немесе оң емес анықталған деп аталады. Формальды түрде,
Симметриялық нақты матрица, егер барлық нөлдік емес векторлар үшін болатын жағдайда, теріс анықталған деп аталады. Формальды түрде,
Симметриялық нақты матрица, егер барлық векторлар үшін болатын жағдайда, теріс жартылай анықталған немесе теріс емес анықталған деп аталады. Формальды түрде,
Оң жартылай анықталған да, теріс жартылай анықталған да емес симметриялық нақты матрица белгісіз деп аталады.
Күрделі матрицалардың анықтамасы
Келесі анықтамалардың барлығында "Ескеріңіз, бұл кез келген гермиттік квадрат матрица үшін әрқашан нақты сан болады" термині қолданылады. Гермиттік кешенді матрица оң белгілі деп аталады, егер формальды түрде нөлден өзге барлық үшін . Гермиттік кешенді матрица оң жартылай белгілі немесе теріс емес белгілі деп аталады, егер формальды түрде барлық үшін . Гермиттік кешенді матрица теріс белгілі деп аталады, егер формальды түрде нөлден өзге барлық үшін . Гермиттік кешенді матрица теріс жартылай белгілі немесе оңсыз белгілі деп аталады, егер формальды түрде барлық үшін . Оң жартылай белгілі де, теріс жартылай белгілі де емес гермиттік кешенді матрица белгісіз деп аталады.
An Hermitian complex matrix is said to be positive definite if for all non zero in Formally,
An Hermitian complex matrix is said to be positive semi definite or non negative definite if for all in Formally,
An Hermitian complex matrix is said to be negative definite if for all non zero in Formally,
An Hermitian complex matrix is said to be negative semi definite or non positive definite if for all in Formally,
An Hermitian complex matrix which is neither positive semidefinite nor negative semidefinite is called indefinite.
Нақты және күрделі анықтамалар арасындағы сәйкестік
Әрбір нақты матрица сонымен қатар күрделі матрица болғандықтан, екі класс үшін "оңдылық" анықтамалары сәйкес келуі керек. Күрделі матрицалар үшін ең көп қолданылатын анықтама бойынша, матрица оңды болады, егер және тек қана оның барлық мүшелері нақты және нөлдік емес кез келген күрделі баған векторлары үшін оң болса. Бұл шарт матрицаның гермиттік екенін білдіреді (яғни, оның транспозициясы оның конъюгацияланған матрицасына тең), себебі ол нақты болғандықтан, ол өзінің конъюгацияланған транспозициясына тең, кез келген үшін. Осы анықтама бойынша, оң нақты матрица гермиттік, демек симметриялық; және ол барлық нөлдік емес нақты баған векторлары үшін оң. Дегенмен, соңғы шарт ғана матрицаның оңды болуы үшін жеткіліксіз. Мысалы, егер кез келген нақты вектор үшін мүшелері және болса, онда , бұл нөл болмаса, әрқашан оң болады. Алайда, егер - мүшелері және болатын күрделі вектор болса, онда келесі теңдік орындалады: , бұл нақты сан емес. Сондықтан, бұл матрица оңды емес. Екінші жағынан, симметриялық нақты матрица үшін "барлық нөлдік емес нақты векторлар үшін " шарты, күрделі мағынада матрицаның оңды екенін білдіреді.
By this definition, a positive definite real matrix is Hermitian, hence symmetric; and is positive for all non zero real column vectors However the last condition alone is not sufficient for to be positive definite. For example, if
then for any real vector with entries and we have , which is always positive if is not zero. However, if is the complex vector with entries and , one gets
which is not real. Therefore, is not positive definite. On the other hand, for a symmetric real matrix , the condition " for all nonzero real vectors " does imply that is positive definite in the complex sense.
Нөмірлік
Егер Гермиттік матрица оң жартылай анықталған болса, кейде жазылады, ал егер оң анықталған болса, онда жазылады. Теріс жартылай анықталғанын көрсету үшін жазылады және теріс анықталғанын көрсету үшін жазылады. Бұл түсінік функционалдық талдаудан келеді, онда оң жартылай анықталған матрицалар оң операторларды анықтайды. Егер екі матрица және шартын қанағаттандырса, рефлексивті, антисимметриялық және транзитивті қатаң емес ішінара тәртіпті анықтауға болады; алайда, бұл толық тәртіп емес, себебі жалпы жағдайда матрица белгісіз болуы мүмкін. Оң жартылай анықталған, оң анықталған, теріс жартылай анықталған және теріс анықталған матрицалар үшін баламалы белгілеулер: , , және болып табылады. Бұл шатастыру тудыруы мүмкін, себебі кейде теріс емес (сәйкесінше, оң емес) матрицалар да осылай белгіленеді.
The notion comes from functional analysis where positive semidefinite matrices define positive operators. If two matrices and satisfy , we can define a non strict partial order that is reflexive, antisymmetric, and transitive; It is not a total order, however, as in general may be indefinite. A common alternative notation is , , and for positive semi definite and positive definite, negative semi definite and negative definite matrices, respectively. This may be confusing, as sometimes nonnegative matrices (respectively, nonpositive matrices) are also denoted in this way.
Чолескидің ыдырауы
Гермиттік оң жартылай белгілі матрицаны , мұндағы төменгі үшбұрышты теріс емес диагоналымен (екілендіре айтқанда, мұндағы жоғарғы үшбұрышты) деп жазуға болады; бұл Чолески жіктелуі. Егер матрица оң анықталған болса, онда диагональ мүшелері оң болады және Чолески жіктелуі бірегей. Керісінше, егер матрица төменгі үшбұрышты және теріс емес диагоналымен болса, онда ол оң жартылай белгілі болады. Чолески жіктелуі, әсіресе тиімді сандық есептеулер үшін өте пайдалы. Оған жақын жіктелу – LDL жіктелуі, , мұндағы матрица диагональды және матрица төменгі бірлік үшбұрышты.
Басқа сипаттамалар
Бұл нақты симметриялық матрица болсын, және "бірлік шар" деп атайық. Онда мыналар орын алады:
is a solid slab sandwiched between if and only if is an ellipsoid, or an ellipsoidal cylinder. if and only if is bounded, that is, it is an ellipsoid. If , then if and only if ; if and only if If , then for all if and only if So, since the polar dual of an ellipsoid is also an ellipsoid with the same principal axes, with inverse lengths, we have That is, if is positive definite, then for all if and only if
Let be an Hermitian matrix. The following properties are equivalent to being positive definite:
The associated sesquilinear form is an inner product The sesquilinear form defined by is the function from to such that for all and in , where is the conjugate transpose of For any complex matrix , this form is linear in and semilinear in Therefore, the form is an inner product on if and only if is real and positive for all nonzero ; that is if and only if is positive definite. (In fact, every inner product on arises in this fashion from a Hermitian positive definite matrix.) Its leading principal minors are all positive The kth leading principal minor of a matrix is the determinant of its upper left sub matrix. It turns out that a matrix is positive definite if and only if all these determinants are positive. This condition is known as Sylvester's criterion, and provides an efficient test of positive definiteness of a symmetric real matrix. Namely, the matrix is reduced to an upper triangular matrix by using elementary row operations, as in the first part of the Gaussian elimination method, taking care to preserve the sign of its determinant during pivoting process. Since the kth leading principal minor of a triangular matrix is the product of its diagonal elements up to row , Sylvester's criterion is equivalent to checking whether its diagonal elements are all positive. This condition can be checked each time a new row of the triangular matrix is obtained. A positive semidefinite matrix is positive definite if and only if it is invertible. A matrix is negative (semi)definite if and only if is positive (semi)definite.
- егер және тек қана егер эллипсоид немесе эллипсоидты цилиндр болса, арасында қатты тақта орналасады. егер және тек қана егер шектелі болса, яғни эллипсоид. Егер , онда егер және тек қана егер ; егер және тек қана егер . Егер , онда барлық үшін егер және тек қана егер . Сондықтан, эллипсоидтың полярлық дуалы да бірдей бас осьтері бар, бірақ кері ұзындығы бар эллипсоид болғандықтан, бізде бар. Яғни, егер оң анықталған болса, онда барлық үшін егер және тек қана егер.
is a solid slab sandwiched between if and only if is an ellipsoid, or an ellipsoidal cylinder. if and only if is bounded, that is, it is an ellipsoid. If , then if and only if ; if and only if If , then for all if and only if So, since the polar dual of an ellipsoid is also an ellipsoid with the same principal axes, with inverse lengths, we have That is, if is positive definite, then for all if and only if
Let be an Hermitian matrix. The following properties are equivalent to being positive definite:
The associated sesquilinear form is an inner product The sesquilinear form defined by is the function from to such that for all and in , where is the conjugate transpose of For any complex matrix , this form is linear in and semilinear in Therefore, the form is an inner product on if and only if is real and positive for all nonzero ; that is if and only if is positive definite. (In fact, every inner product on arises in this fashion from a Hermitian positive definite matrix.) Its leading principal minors are all positive The kth leading principal minor of a matrix is the determinant of its upper left sub matrix. It turns out that a matrix is positive definite if and only if all these determinants are positive. This condition is known as Sylvester's criterion, and provides an efficient test of positive definiteness of a symmetric real matrix. Namely, the matrix is reduced to an upper triangular matrix by using elementary row operations, as in the first part of the Gaussian elimination method, taking care to preserve the sign of its determinant during pivoting process. Since the kth leading principal minor of a triangular matrix is the product of its diagonal elements up to row , Sylvester's criterion is equivalent to checking whether its diagonal elements are all positive. This condition can be checked each time a new row of the triangular matrix is obtained. A positive semidefinite matrix is positive definite if and only if it is invertible. A matrix is negative (semi)definite if and only if is positive (semi)definite.
- Гермиттік матрица болсын. Келесі қасиеттер оң анықталған болумен эквивалентті:
* Қатысты сесквилинейрлік форма – ішкі көбейтінді.
* Сесквилинейрлік форма функциясы болып табылады, ол жиынынан жиынына, барлық және үшін, мұнда – конъюгатты транспозициясы.
* Кез келген комплекс матрица үшін, бұл форма бойынша сызықты және бойынша жартылай сызықты. Сондықтан, форма ішкі көбейтінді болады, егер және тек қана егер нақты және барлық нөлдік емес үшін оң болса; яғни, егер және тек қана егер оң анықталған болса. (Шындығында, ішкі көбейтіндінің кез келгені осылайша Гермиттік оң анықталған матрицадан туындайды.)
* Оның жетекші бас кіші анықтағыштарының барлығы оң. Матрицаның k-шы жетекші бас кіші анықтағышы – оның жоғарғы сол жақ кіші матрицасының анықтағышы. Матрица оң анықталған екені анықталады, егер және тек қана егер осы анықтағыштардың барлығы оң болса. Бұл жағдай Сильвестрдің критерийі деп аталады және симметриялық нақты матрицаның оң анықталғандығын тиімді тексеруге мүмкіндік береді. Атап айтқанда, матрица Гаусс жою әдісінің бірінші бөлігіндегідей элементарлық қатарлық операцияларды қолдану арқылы жоғарғы үшбұрышты матрицаға дейін қысқартылады, бұрылыс процесінде оның анықтағышының таңбасын сақтауға көңіл бөлінеді. Үшбұрышты матрицаның k-шы жетекші бас кіші анықтағышы – оның диагональдық элементтерінің көбейтіндісі, қатарға дейін. Сондықтан, Сильвестрдің критерийі оның диагональдық элементтерінің барлығы оң екенін тексеруге эквивалентті. Бұл жағдай үшбұрышты матрицаның жаңа қатары алынған сайын тексерілуі мүмкін. Оң жартылай анықталған матрица оң анықталған матрица болады, егер және тек қана егер ол инверттендірілсе. Егер матрица оң (жартылай) анықталған болса, онда және тек қана егер оң (жартылай) анықталған болса, ол теріс (жартылай) анықталған болады.
is a solid slab sandwiched between if and only if is an ellipsoid, or an ellipsoidal cylinder. if and only if is bounded, that is, it is an ellipsoid. If , then if and only if ; if and only if If , then for all if and only if So, since the polar dual of an ellipsoid is also an ellipsoid with the same principal axes, with inverse lengths, we have That is, if is positive definite, then for all if and only if
Let be an Hermitian matrix. The following properties are equivalent to being positive definite:
The associated sesquilinear form is an inner product The sesquilinear form defined by is the function from to such that for all and in , where is the conjugate transpose of For any complex matrix , this form is linear in and semilinear in Therefore, the form is an inner product on if and only if is real and positive for all nonzero ; that is if and only if is positive definite. (In fact, every inner product on arises in this fashion from a Hermitian positive definite matrix.) Its leading principal minors are all positive The kth leading principal minor of a matrix is the determinant of its upper left sub matrix. It turns out that a matrix is positive definite if and only if all these determinants are positive. This condition is known as Sylvester's criterion, and provides an efficient test of positive definiteness of a symmetric real matrix. Namely, the matrix is reduced to an upper triangular matrix by using elementary row operations, as in the first part of the Gaussian elimination method, taking care to preserve the sign of its determinant during pivoting process. Since the kth leading principal minor of a triangular matrix is the product of its diagonal elements up to row , Sylvester's criterion is equivalent to checking whether its diagonal elements are all positive. This condition can be checked each time a new row of the triangular matrix is obtained. A positive semidefinite matrix is positive definite if and only if it is invertible. A matrix is negative (semi)definite if and only if is positive (semi)definite.
Квадраттық нысандар
Нақты матрицамен байланысты (тек) квадраттық форма – барлық үшін симметриялық деп есептелуі мүмкін функция, оны симметриялық матрицамен алмастыру арқылы. Симметриялық матрица оң анықталған, егер және тек егер оның квадраттық формасы қатаң дөңес функция болса. Жалпы алғанда, кез келген квадраттық функцияны мына түрде жазуға болады: , мұнда – симметриялық матрица, – нақты вектор, ал – нақты тұрақты. Бұл жағдайда бұл парабола болады, және дәл осы жағдайда бізде теорема бар: Бұл квадраттық функция қатаң дөңес, демек, бірегей шекті жаһандық минимумға ие, егер және тек егер оң анықталған болса. Дәлел: Егер оң анықталған болса, онда функция қатаң дөңес. Оның градиенті бірегей нүктеде нөлге тең, бұл функция қатаң дөңес болғандықтан, жаһандық минимум болуы керек. Егер оң анықталмаған болса, онда қандай да бір вектор бар, сондықтан функция түзу сызық немесе төмен қарай бағытталған парабола болады, демек, қатаң дөңес емес және жаһандық минимумға ие емес. Осы себепті оң анықталған матрицалар оптимизация мәселелерінде маңызды рөл атқарады.
A symmetric matrix is positive definite if and only if its quadratic form is a strictly convex function. More generally, any quadratic function from to can be written as where is a symmetric matrix, is a real vector, and a real constant. In the case, this is a parabola, and just like in the case, we have
Theorem: This quadratic function is strictly convex, and hence has a unique finite global minimum, if and only if is positive definite. Proof: If is positive definite, then the function is strictly convex. Its gradient is zero at the unique point of , which must be the global minimum since the function is strictly convex. If is not positive definite, then there exists some vector such that , so the function is a line or a downward parabola, thus not strictly convex and not having a global minimum. For this reason, positive definite matrices play an important role in optimization problems.
Бір мезгілде диагональдеу
Бір симметриялық матрица және симметриялық және оң анықталған екінші матрица бір уақытта диагональға келтірілуі мүмкін. Бұл бір уақытта диагональға келтіру ұқсастық түрлендіру арқылы міндетті түрде орындалмаса да, дұрыс. Бұл нәтиже үш немесе одан көп матрицалар үшін жарамсыз. Бұл бөлімде нақты жағдайды қарастырамыз. Кешенді жағдайға кеңейту оңай. болсын – симметриялық, ал – симметриялық және оң анықталған матрица. Жалпыланған өзіндік мән теңдеуін былай жазайық: , мұнда вектор нормаланған болуын талап етеміз, яғни. Енді Холецкий ыдырауын қолданып, матрицаның керісін былай жазамыз: . оған көбейтіп, деп белгілесек, мынаны аламыз: , оны былай қайта жазуға болады: , мұнда манипуляция нәтижесінде мына теңдеу шығады: , мұнда – жалпыланған өзіндік векторларды бағандары ретінде қамтитын матрица, ал – жалпыланған өзіндік мәндердің диагональдық матрицасы. Енді сол жағынан көбейту мына соңғы нәтижені береді: және , бірақ бұл енді ішкі көбейтуге қатысты ортогональды диагональ емес екенін ескеріңіз. Шындығында, біз матрицаны ішкі көбейту арқылы диагональға келтірдік. Бұл нәтиже «Диагональға келтірілетін матрица» мақаласындағы бір уақытта диагональға келтіру туралы айтылғандарға қайшы келмейді, ол ұқсастық түрлендіру арқылы бір уақытта диагональға келтіруге сілтеме жасайды. Біздің нәтижеміз екі квадраттық форманы бір уақытта диагональға келтіруге көбірек ұқсайды және екінші форманың шарттарымен бір форманы оңтайландыру үшін пайдалы.
Note that this result does not contradict what is said on simultaneous diagonalization in the article Diagonalizable matrix, which refers to simultaneous diagonalization by a similarity transformation. Our result here is more akin to a simultaneous diagonalization of two quadratic forms, and is useful for optimization of one form under conditions on the other.
Ішінара тапсыруды енгізу
Кез келген квадраттық матрицалар үшін, егер, яғни, оң жартылай белгілі болса, деп жазамыз. Бұл барлық квадраттық матрицалар жиынында ішінара реттелуді анықтайды. Сол сияқты, қатаң ішінара реттелуді де анықтауға болады. Бұл реттелу Loewner реті деп аталады.
Оң нақты матрицаның теріс түрі
Әрбір оң анықталған матрица инверттелуге болады және оның кері матрицасы да оң анықталған болады. Егер болса, онда . Сонымен қатар, мин-макс теоремасы бойынша, матрицасының k-шы ең үлкен өзіндік мәні, матрицасының k-шы ең үлкен өзіндік мәнінен үлкен немесе оған тең болады.
Өлшемін өзгерту
Егер матрица оң анықталған болса және λ нақты сан болса, онда λA матрицасы оң анықталған.
Қосу
Егер A және B оң анықталған болса, онда A+B қосындысы да оң анықталған болады.
Кронекер өнімдері
Егер , тіпті оң жартылай анықталмаған болса да, Кронекер көбейтіндісі .
Фробен өнімдері
Егер , оң жартылай белгілі болмаса да, Фробеньюстің ішкі көбейтіндісі болады (Ланкастер – Тисменетский, Матрицалар теориясы, 218-бет).
Қиыршық
Оң жартылай анықталған симметриялық матрицалар жиыны дөңес. Яғни, егер A және B оң жартылай анықталған болса, онда 0 мен 1 арасындағы кез келген t үшін, tA + (1-t)B де оң жартылай анықталған болады. Кез келген вектор үшін:
Бұл қасиет жартылай анықталған бағдарламалау мәселелерінің жаһандық оптималды шешімге жуысуын қамтамасыз етеді.
Қосымша қасиеттері
Егер матрица симметриялық Топлиц матрицасы болса, яғни элементтері абсолютті индекс айырмасының функциясы ретінде берілген: , және қатаң теңсіздік орындалса, онда матрица қатаң оң анықталған. Егер және Гермитиан болса. Егер (сәйкесінше, ) болса, онда (сәйкесінше, ). Егер нақты болса, онда мұндай матрица бар, мұнда – бірлік матрицасы. Егер жетекші минорды білдірсе, онда ол LU жіктелу кезінде k-шы орам болады. Матрица теріс анықталған, егер оның k-шы ретті негізгі миноры k тақ болғанда теріс, ал k жұп болғанда оң болса. Егер A – нақты оң анықталған матрица болса, онда әрбір вектор үшін оң нақты сан бар, егер және тек қана оның барлық негізгі минорлары теріс емес болса, A Гермитиан матрицасы оң жартылай анықталған болады. Дегенмен, 0 және -1 элементтері бар диагональдық матрицада көрсілгендей, тек жетекші негізгі минорларды қарастыру жеткіліксіз.
A Hermitian matrix is positive semidefinite if and only if all of its principal minors are nonnegative. It is however not enough to consider the leading principal minors only, as is checked on the diagonal matrix with entries 0 and −1.
Жергілікті экстрема
Нақты айнымалыларға арналған жалпы квадраттық нысанды әрқашан сол айнымалылардан құралған бағандық вектор ретінде жазуға болады, ал – симметриялық нақты матрица. Сондықтан, матрица оң анықталған болса, онда –нің мәні нөл болғанда бірегей минимум (нөл) болады, ал қалған барлық мәндер үшін қатаң оң болады. Көбірек жалпыластырылған түрде, нақты айнымалылар бойынша екі рет дифференциалданатын нақты функция аргументтерде жергілікті минимумға ие болады, егер оның градиенті нөлге тең болса және оның Гессиан матрицасы (барлық екінші туындылардың матрицасы) сол нүктеде оң жартылай анықталған болса. Осыған ұқсас мәлімдемелер теріс анықталған және жартылай анықталған матрицалар үшін де жасалуы мүмкін.
More generally, a twice differentiable real function on real variables has local minimum at arguments if its gradient is zero and its Hessian (the matrix of all second derivatives) is positive semi definite at that point. Similar statements can be made for negative definite and semi definite matrices.
Коварианттылық
Статистикада көпөлшемді ықтималдық таралымының ковариациялық матрицасы әрқашан оң жартылай белгілі болады; және егер бір айнымалы қалғандарының нақты сызықтық функциясы болмаса, ол оң белгілі болады. Керісінше, кез келген оң жартылай белгілі матрица – кейбір көпөлшемді таралымның ковариациялық матрицасы болып табылады.
Гермиттік емес квадраттық матрицалар үшін кеңейту
Позитивті нақтылы анықтаманы кез келген кешенді матрицаны (мысалы, нақты симметриялық емес) оң анықталған деп белгілеу арқылы жалпылауға болады, егер барлық нөлдік емес кешенді векторлар үшін , мұнда – кешенді санның нақты бөлігін білдіреді. Тек Гермиттік бөлігі ғана матрицаның оң анықталған екенін анықтайды және жоғарыдағы тар мағынада бағаланады. Сол сияқты, егер және нақты болса, онда барлық нақты нөлдік емес векторлар үшін , егер және ғана егер симметриялық бөлігі тар мағынада оң анықталған болса. Бұл M транспозициясына сезімтал емес екені бірден көрінеді. Осының салдарынан, тек оң өзіндік мәндері бар симметриялық емес нақты матрицаның оң анықталған болуы міндетті емес. Мысалы, матрицаның оң өзіндік мәндері бар, бірақ ол оң анықталған емес; әсіресе, таңдау арқылы -ның теріс мәні алынады (бұл симметриялық бөлігінің теріс өзіндік мәніне сәйкес келетін өзіндік вектор). Қорыта айтқанда, нақты және кешенді жағдайдың арасындағы ерекшелік – кешенді Гильберт кеңістігіндегі шектелген оң оператор міндетті түрде Гермиттік немесе өзіне-қосымша болып табылады. Жалпы талап поляризациялық тепе-теңдікті пайдалана отырып дәлелденуі мүмкін. Бұл нақты жағдайда енді дұрыс емес.
Consequently, a non symmetric real matrix with only positive eigenvalues does not need to be positive definite. For example, the matrix has positive eigenvalues yet is not positive definite; in particular a negative value of is obtained with the choice (which is the eigenvector associated with the negative eigenvalue of the symmetric part of ). In summary, the distinguishing feature between the real and complex case is that, a bounded positive operator on a complex Hilbert space is necessarily Hermitian, or self adjoint. The general claim can be argued using the polarization identity. That is no longer true in the real case.
Жылу өткізгіштігі матрицасы
Фурье заңының жылу өткізгіштігі, температура градиенті арқылы жылу ағынын анықтайды және анизотроптық орта үшін былай жазылады: , мұнда – симметриялық жылу өткізгіштік матрицасы. Фурье заңына теріс таңба енгізілуі, жылудың әрқашан ыстықтан суыққа қарай ағатынын көрсетеді. Яғни, температура градиенті әрқашан суықтан ыстыққа қарай бағытталғандықтан, жылу ағынының мен теріс ішкі көбейтіндісі болуы күтіледі, сондықтан Фурье заңын қолданғанда бұл күтілім келесідей болады: , осыдан өткізгіштік матрицасы оң белгілі болуы керек деген қорытынды шығады.