Кіріспе
Матрицаның бағаналық кеңістігінің өлшемі Сызықтық алгебрада матрица А-ның рангысы – оның бағаналары құратын (немесе жабатын) векторлық кеңістіктің өлшемі болып табылады. Бұл А матрицасының сызықтық тәуелсіз бағаналарының максималды санына сәйкес келеді. Бұл, өз кезегінде, оның қатарлары құратын векторлық кеңістіктің өлшемімен тең. Осылайша, рангы – А матрицасымен сипатталатын сызықтық теңдеулер және сызықтық түрлендірулер жүйесінің "дегенерациясыздығының" өлшемі. Рангты анықтаудың бірнеше эквивалентті тәсілі бар. Матрицаның рангысы – оның ең маңызды сипаттамаларының бірі. Ранг әдетте rank(A) немесе rk(A) деп белгіленеді.
In linear algebra, the rank of a matrix A is the dimension of the vector space generated (or spanned) by its columns. This corresponds to the maximal number of linearly independent columns of A. This, in turn, is identical to the dimension of the vector space spanned by its rows. Rank is thus a measure of the "nondegenerateness" of the system of linear equations and linear transformation encoded by A. There are multiple equivalent definitions of rank. A matrix's rank is one of its most fundamental characteristics. The rank is commonly denoted by rank(A) or rk(A);
Негізгі анықтамалар
Бұл бөлімде матрицаның рангінің бірнеше анықтамалары келтірілген. Көптеген анықтамалар мүмкін; олардың кейбіреулерін қараңыз. A матрицасының бағандық рангі – A матрицасының бағандық кеңістігінің өлшемі, ал A матрицасының қатарлық рангі – A матрицасының қатарлық кеңістігінің өлшемі. Сызықтық алгебрадағы маңызды нәтиже – бағандық және қатарлық рангілер әрқашан тең болады. (Осы нәтижеге үш дәлел төменде келтірілген.) Бұл сан (яғни сызықтық тәуелсіз қатарлар немесе бағандар саны) жай ғана A матрицасының рангі деп аталады. Егер матрицаның рангі сол өлшемдегі матрица үшін ең жоғары мүмкін мәнге тең болса, онда оның толық рангі бар делінеді, бұл қатарлар мен бағандар санының кішісі. Егер матрица толық рангіге ие болмаса, онда оның рангі жетіспейді делінеді. Матрицаның рангінің жетіспеуі – қатарлар мен бағандар санының кішісі мен рангі арасындағы айырмашылық. Сызықтық бейнелеудің немесе оператордың рангі оның бейнесінің өлшемі ретінде анықталады: мұнда – векторлық кеңістіктің өлшемі, ал – бейнелеудің бейнесі.
Есептеу
Компьютерлердегі қозғалмалы нүктелі есептеулерде қолданғанда, қарапайым Гаусс жою (LU ыдырау) сенімсіз болуы мүмкін, сондықтан ренкті анықтайтын ыдырау қолданылуы тиіс. Тиімді балама – жекеше мән ыдырау (SVD), бірақ одан да аз есептеу шығындары бар, мысалы, пішіндірумен QR ыдырау (ренк ашу QR факторландыру деп аталады), олар Гаусс жоюға қарағанда сандық тұрғыдан берік. Ранкті сандық түрде анықтау үшін, SVD-ден алынған жекеше мән сияқты мән қашан нөл деп есептелуі керек екенін шешетін өлшем қажет, бұл нақты таңдау матрицаның және қолданылуының екеуіне де байланысты.
Жолдарды азайтуды қолдану арқылы дәлелдеу
Кез келген матрицаның бағандық және жолдық рангісінің теңдігі сызықтық алгебрадағы негізгі ұғым болып табылады. Осыған көптеген дәлелдер келтірілген. Олардың ең қарапайымдарының бірі төменде келтірілген: Бұл дәлелдің бір түрі: Элементарлық жол операциясы жолдық немесе бағандық рангіні өзгерте алмайды екенін көрсету оңай. Гаусс әдісі элементарлық жол операциялары арқылы жүзеге асырылатындықтан, матрицаның төмендетілген жол эшелондық түрі бастапқы матрицамен бірдей жолдық және бағандық рангіге ие болады. Содан кейін элементарлық бағандық операциялар матрицаны сәйкестік матрица түрінде бейнелеуге мүмкіндік береді, бұл матрица нөлдер қатары мен бағанымен шектелген болуы мүмкін. Бұл да жолдық және бағандық рангіні өзгерте алмайды. Осы нәтижедегі матрицаның жолдық және бағандық рангісі оның нөлдік емес элементтерінің санына тең екені анық. Біз осы нәтижеге қатысты тағы екі дәлел ұсынамыз. Біріншісі векторлардың сызықтық комбинацияларының негізгі қасиеттерін ғана қолданады және кез келген өрісте жарамды. Дәлел Wardlaw (2005) еңбегіне негізделген. Екіншісі ортогоналдылықты қолданады және нақты сандардағы матрицалар үшін жарамды; ол Mackiw (1995) еңбегіне негізделген.
It is straightforward to show that neither the row rank nor the column rank are changed by an elementary row operation. As Gaussian elimination proceeds by elementary row operations, the reduced row echelon form of a matrix has the same row rank and the same column rank as the original matrix. Further elementary column operations allow putting the matrix in the form of an identity matrix possibly bordered by rows and columns of zeros. Again, this changes neither the row rank nor the column rank. It is immediate that both the row and column ranks of this resulting matrix is the number of its nonzero entries. We present two other proofs of this result. The first uses only basic properties of linear combinations of vectors, and is valid over any field. The proof is based upon Wardlaw (2005). The second uses orthogonality and is valid for matrices over the real numbers; it is based upon Mackiw (1995).
Сызықтық комбинацияларды қолдану арқылы дәлелдеу
A m × n матрицасын қарастырайық. A матрицасының бағандық рангісі r болсын, ал 'c'1, …, 'c'r – A матрицасының бағандық кеңістігінің кез келген негізі болсын. Бұл бағандарды m × r өлшемді C матрицасының бағандары ретінде орналастырыңыз. A матрицасының әрбір бағаны C матрицасының r бағанының сызықтық комбинациясы түрінде өрнектеле алады. Яғни, 1 = A = CR теңдігін қанағаттандыратын r × n өлшемді R матрицасы бар. R матрицасының i-інші бағаны A матрицасының i-інші бағанын C матрицасының r бағаны арқылы сызықтық комбинация түрінде беруге қажетті коэффициенттерден тұрады. Басқаша айтқанда, R матрицасы A матрицасының бағандық кеңістігінің негіздерінің (яғни C) еселіктерінен тұрады, олар A матрицасын толығымен құру үшін қолданылады. Енді, A матрицасының әрбір қатары R матрицасының r қатарының сызықтық комбинациясы арқылы беріледі. Демек, R матрицасының қатарлары A матрицасының қатарлық кеңістігінің жайылған жиынын құрайды және Штайниц алмасу леммасы бойынша A матрицасының қатарлық рангісі r-ден аспайды. Бұл A матрицасының қатарлық рангісі A матрицасының бағандық рангісінен кем немесе тең екенін көрсетеді. Бұл нәтижені кез келген матрицаға қолдануға болады, сондықтан нәтижені A матрицасының транспозициясына қолданайық. A матрицасының транспозициясының қатарлық рангісі A матрицасының бағандық рангісіне, ал A матрицасының транспозициясының бағандық рангісі A матрицасының қатарлық рангісіне тең болғандықтан, бұл кері теңсіздікті орнатады және A матрицасының қатарлық және бағандық рангісінің теңдігін аламыз. (Рангты факторлауды да қараңыз.)
Ортогоналдылықты қолдану арқылы дәлелдеу
А матрицасы нақты сандардағы элементтері бар m × n өлшемді матрица болсын, оның қатарлық ранкі r-ге тең. Сондықтан, А матрицасының қатарлық кеңістігінің өлшемі r-ге тең. 'x'1, 'x'2, ..., 'x'r векторлары А матрицасының қатарлық кеңістігінің базасын құрасын. Біз A'x'1, A'x'2, ..., A'x'r векторлары сызықтық тәуелсіз екенін дәлелдейміз. Мұны түсіну үшін, осы векторларды қамтитын c1, c2, ..., cr скалярлы коэффициенттері бар сызықтық гомогенді қатынасты қарастырайық:
мұнда 1 = 'v' = c1'x'1 + c2'x'2 + ... + cr'x'r. Екі мәселені қарастырамыз: (a) 'v' векторы А матрицасының қатарлық кеңістігіндегі векторлардың сызықтық комбинациясы болып табылады, яғни 'v' векторы А матрицасының қатарлық кеңістігіне жатады, және (b) 1 = A'v' = 0 болғандықтан, 'v' векторы А матрицасының кез келген қатарлық векторына ортогональды, демек, А матрицасының қатарлық кеңістігіндегі кез келген векторға ортогональды. (a) және (b) фактілері бірге 'v' векторының өзіне ортогональды екенін көрсетеді, яғни 1 = 'v' = 0 немесе 'v' анықтамасы бойынша,
бірақ 'x'i векторлары А матрицасының қатарлық кеңістігінің базасы ретінде таңдалғанын және сызықтық тәуелсіз екенін еске түсірейік. Бұл 1 = c1 = c2 = ... = cr = 0 екенін білдіреді. Осыдан A'x'1, A'x'2, ..., A'x'r векторлары сызықтық тәуелсіз екендігі шығады. Енді, әр A'x'i векторы А матрицасының бағандық кеңістігіндегі вектор болып табылады. Демек, A'x'1, A'x'2, ..., A'x'r векторлары А матрицасының бағандық кеңістігіндегі r сызықтық тәуелсіз векторлардың жиыны болып табылады, сондықтан А матрицасының бағандық кеңістігінің өлшемі (яғни, А матрицасының бағандық ранкі) кем дегенде r-ге тең болуы керек. Бұл А матрицасының қатарлық ранкі А матрицасының бағандық ранкінен артық емес екенін көрсетеді. Енді осы нәтижені А матрицасының транспозициясына қолданып, кері теңсіздікті аламыз және бұрынғы дәлелдемедегідей қорытынды жасаймыз.
Баламалы анықтамалар
Осы бөлімдегі барлық анықтамаларда A матрицасы кез келген F өрісіндегі m × n матрицасы деп қарастырылады.
Қатысушылардың күші жойылды
Жоғарыда көрсетілгендей f сызықтық түрлендіруді алғанда, ренгі n-ден f ядросының өлшеміне тең кемітеді. Ренг-нульдік теоремасы осы анықтаманың бұрынғысына балама екенін көрсетеді.
Бағандық орын Бағандық кеңістіктің өлшемі
A-ның рангі – A матрицасының сызықтық тәуелсіз бағандарының ең көп саны; бұл A-ның бағандық кеңістігінің өлшемі (бағандық кеңістік – A матрицасының бағандарымен құрылған F^(m) кеңістігінің ішкі кеңістігі, бұл, шындығында, A матрицасына сәйкес келетін f сызықтық бейнелеуінің бейнесі).
Жолдар қатары Жол кеңістігінің өлшемі
A-ның рангі – A матрицасының сызықтық тәуелсіз қатарларының ең көп саны; бұл A-ның қатарлық кеңістігінің өлшемі.
Бірлік мәндер бойынша орын
A-ның рангі нөлдік емес жеке мәндердің санына тең, бұл жеке мәндік ыдырауда Σ-дағы нөлдік емес диагональдық элементтер санымен бірдей.
Анықтамалық дәреже ең үлкен жоғалмайтын кіші заттардың мөлшері
A матрицасының қатары – A матрицасындағы кез келген нөлдік емес минордың ең үлкен реті. (Минордың реті – оның анықтамасы болатын шаршы кіші матрицаның қабырғасының ұзындығы.) Декомпозициялық қатар сипаттамасы сияқты, бұл да қатарды есептеудің тиімді тәсілін бермейді, бірақ теориялық тұрғыдан пайдалы: нөлдік емес кіші минор қатардың төменгі шегін (яғни оның ретін) көрсетеді, бұл (мысалы) кейбір операциялар матрицаның қатарын төмендетпейтінін дәлелдеу үшін пайдалы болуы мүмкін. Нөлдік емес p-минор (нөлдік емес анықтамасы бар p × p кіші матрица) сол кіші матрицаның қатарлары мен бағандарының сызықтық тәуелсіз екенін көрсетеді, сондықтан толық матрицаның сол қатарлары мен бағандары да сызықтық тәуелсіз (толық матрицада), демек қатар және баған қатары детерминанттық қатардан кем емес; алайда керісіншесі оңай емес. Детерминанттық қатар мен бағандық қатардың теңдігі, егер n векторлардың кеңістігі p өлшемді болса, онда олардың p-і векторлар кеңістікті жабады деген мәлімдемені күшейтеді (әйтпесе, векторлардың кіші жиыны болатын жабатын жиынтықты таңдауға болады): теңдік қатарлар мен бағандардың кіші жиыны бір мезгілде инвертирленетін кіші матрицаны анықтайтынын білдіреді (әйтпесе, егер n векторлардың кеңістігі p өлшемді болса, онда олардың p-і векторлар кеңістікті жабады және олар сызықтық тәуелсіз болатын p координаталар жиыны бар).
Тензорлық қатар қарапайым тензорлардың ең аз саны
A-ның рангі – A-ны k 1-рангты матрицалардың қосындысы түрінде жазуға болатын ең кіші k саны болып табылады. Матрица 1-рангты деп есептеледі, егер және тек қана оны нөлдік емес бағана векторы c пен қатар векторы r-дің көбейтіндісі ретінде жазуға болады. Осы ранг туралы түсінік тензорлық ранг деп аталады; оны сингулярлық мәннің ыдырауының ажыратылатын модельдер түсіндірілімінде жалпылауға болады.
Қолданбалар
Матрицаның қатарын есептеудің бір пайдалы қолданысы – сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдерінің санын анықтау. Руше-Капелли теоремасына сәйкес, егер толықтырылған матрицаның қатары коэффициенттер матрицасының қатарынан жоғары болса, жүйе шешімі жоқ болады. Ал егер осы екі матрицаның қатарлары тең болса, онда жүйенің кем дегенде бір шешімі болуы керек. Шешім бірегей болады, егер және тек қана қатар айнымалылар санына тең болса. Әйтпесе, жалпы шешімде k еркін параметр болады, мұнда k – айнымалылар саны мен қатардың арасындағы айырма. Бұл жағдайда (егер теңдеулер жүйесі нақты немесе кешенді сандармен берілген болса) теңдеулер жүйесінің шешімі шексіз көп болады. Бақылау теориясында матрицаның қатары сызықтық жүйенің басқарылатындығын немесе байқалатындығын анықтау үшін қолданылады. Коммуникация күрделілігі саласында функцияның коммуникациялық матрицасының қатары екі тараптың функцияны есептеу үшін қажетті коммуникация мөлшеріне шектеулер қояды.
Жалпылау
Матрицаларға кез келген сақиналар бойынша ранг ұғымын жалпылаудың әртүрлі түрлері бар, онда матрицаның бағандық ранги, қатарлық ранги, бағандық кеңістіктің өлшемі және қатарлық кеңістіктің өлшемі бір-бірінен өзгеше болуы немесе олардың болуы мүмкін емес. Матрицаларды тензорлар ретінде қарастыратын болсақ, тензорлық ранг кез келген тензорларға жалпыланады; 2-ден жоғары ретті тензорлар үшін (матрицалар 2-ретті тензорлар), матрицаларға қарағанда рангты есептеу өте қиын. Тегіс көптүрліліктер арасындағы тегіс бейнелеулер үшін ранг ұғымы бар. Ол туындының сызықтық рангіне тең.
Тензоралар ретінде матрицалар
Матрицалық ранкті тензорлық реттікпен шатастыруға болмайды, ол тензорлық дәреже деп аталады. Тензорлық дәреже – тензорды жазу үшін қажетті индекстер саны, сондықтан барлық матрицалардың тензорлық дәрежесі 2-ге тең. Нақтырақ айтқанда, матрицалар (1,1) типіндегі тензорлар болып табылады, оларда бір жол индексі және бір баған индексі бар, сондай-ақ коварианттық 1 және контраварианттық 1 ретінде белгіленеді; толық мәліметтер үшін «Тензор (ішкі анықтама)» бөлімін қараңыз. Матрицаның тензорлық ранкі матрицаны сызықтық комбинация түрінде көрсету үшін қажетті қарапайым тензорлардың ең аз санын білдіруі мүмкін, және бұл анықтама осы жерде талқыланған матрицалық ранкпен сәйкес келеді.