Кіріспе
Матрица өзінің транспозасына тең. Матрицаның диагональ бойынша симметриясы, күрделі сандар өрісінде. Сызықтық алгебрада симметриялы матрица – транспозасына тең квадрат матрица. Формальды түрде, тең матрицалардың өлшемдері бірдей болғандықтан, тек квадрат матрицалар ғана симметриялы бола алады. Симметриялы матрицаның элементтері бас диагоналға қатысты симметриялы болады. Егер th қатар мен th бағандағы элементті білдірсе, онда барлық индекстер үшін және әрбір квадраттық диагональ матрица симметриялы, себебі барлық диагональ емес элементтері нөлге тең. Сол сияқты, егер сипаттамасы 2-ден өзгеше болса, қисайған симметриялы матрицаның әрбір диагональ элементі нөл болуы керек, өйткені әрқайсысы өзінің теріс шамасына тең. Сызықтық алгебрада нақты симметриялы матрица – нақты ішкі көбейту кеңістігінде ортонормалдық базада көрсетілген өзіне-қосымша операторды білдіреді. Күрделі ішкі көбейту кеңістігі үшін сәйкес келетін объект – күрделі мәнді элементтері бар Гермит матрицасы, ол өзінің конъюгациялық транспозысына тең. Сондықтан, күрделі сандар бойынша сызықтық алгебрада симметриялы матрица деп нақты мәнді элементтері бар матрицаны қарастыру қабылданған. Симметриялы матрицалар түрлі қолдануларда кездеседі және әдеттегі сандық сызықтық алгебралық бағдарламалық жасақтама олар үшін арнайы мүмкіндіктер қарастырады.
a matrix symmetric about its diagonal
matrices with symmetry over the complex number field
In linear algebra, a symmetric matrix is a square matrix that is equal to its transpose. Formally,
Because equal matrices have equal dimensions, only square matrices can be symmetric. The entries of a symmetric matrix are symmetric with respect to the main diagonal. So if denotes the entry in the th row and th column then
for all indices and
Every square diagonal matrix is symmetric, since all off diagonal elements are zero. Similarly in characteristic different from 2, each diagonal element of a skew symmetric matrix must be zero, since each is its own negative. In linear algebra, a real symmetric matrix represents a self adjoint operator represented in an orthonormal basis over a real inner product space. The corresponding object for a complex inner product space is a Hermitian matrix with complex valued entries, which is equal to its conjugate transpose. Therefore, in linear algebra over the complex numbers, it is often assumed that a symmetric matrix refers to one which has real valued entries. Symmetric matrices appear naturally in a variety of applications, and typical numerical linear algebra software makes special accommodations for them.
Негізгі қасиеттері
Екі симметриялық матрицаның қосындысы мен айырмасы симметриялық болады. Бірақ көбейтінді үшін бұл әрқашан дұрыс емес: егер берілген симметриялық матрицалар және болса, онда көбейтінді симметриялық болады, егер және тек қана егер және коммутацияласа, яғни, егер . Кез келген бүтін сан үшін , егер симметриялық болса, онда да симметриялық болады. Егер кері матрицасы болса, онда ол симметриялық болады, егер және тек қана егер симметриялық болса. Симметриялық матрицаның рангі, оның нөлдік емес меншікті мәндерінің санына тең.
Симметриялық және қисық-симметриялық бөлшектеу
Кез келген квадраттық матрицаны симметриялық және қисық симметриялық матрицаның қосындысы түрінде бірегей түрде жазуға болады. Бұл жіктелу Топлиц жіктелуі деп аталады. -ны матрицалар кеңістігін белгілейік. Егер симметриялық матрицалар кеңістігін, ал қисық симметриялық матрицалар кеңістігін білдірсе, онда және , яғни,
where denotes the direct sum. Let then
Notice that and This is true for every square matrix with entries from any field whose characteristic is different from 2. A symmetric matrix is determined by scalars (the number of entries on or above the main diagonal). Similarly, a skew symmetric matrix is determined by scalars (the number of entries above the main diagonal).
- тікелей қосындыны білдіреді. Бұл кез келген квадраттық матрица үшін, сипаттамасы 2-ден өзгеше кез келген өрістегі элементтері үшін де дұрыс. Симметриялық матрица скалярлармен анықталады (басты диагональдағы немесе одан жоғарыдағы элементтер саны). Сол сияқты, қисық симметриялық матрица скалярлармен анықталады (басты диагональдан жоғарыдағы элементтер саны).
where denotes the direct sum. Let then
Notice that and This is true for every square matrix with entries from any field whose characteristic is different from 2. A symmetric matrix is determined by scalars (the number of entries on or above the main diagonal). Similarly, a skew symmetric matrix is determined by scalars (the number of entries above the main diagonal).
Симметриялық матрицаға сәйкес келетін матрица
Кез келген симметриялық матрицаға конгруэнтті матрица да симметриялық болады: егер матрица симметриялық болса, онда кез келген матрица үшін де ол симметриялық болады.
Симметрия қалыптылықты білдіреді
(Нақты мәнді) симметриялық матрица қажетті түрде нормальды матрица болып табылады.
Нақты симметриялық матрицалар
Стандартты ішкі көбейтіндіні арқылы белгілейік. Нақты матрица симметриялық болады да, тек қана егер .
Бұл анықтама негізді таңдауға тәуелсіз болғандықтан, симметрия – бұл тек A сызықтық операторына және ішкі көбейтіндінің таңдалуына байланысты қасиет. Симметрияның осы сипаттамасы, мысалы, дифференциалдық геометрияда пайдалы, себебі әрбір жанама кеңістікке көптік үшін ішкі көбейтінді берілуі мүмкін, бұл Риман көптігі деп аталатын нәрсені тудырады. Бұл тұжырымдама қолданылатын тағы бір сала – Гильберт кеңістіктері. Шектелген өлшемді спектрлік теоремаға сәйкес, жазбалары нақты сандардан тұратын кез келген симметриялық матрицаны ортогональды матрица арқылы диагональдауға болады. Нақтырақ айтқанда: әрбір нақты симметриялық матрица үшін диагональ матрица болып табылатын нақты ортогональды матрица бар. Осылайша, әрбір нақты симметриялық матрица ортонормалды негізді таңдауға дейін диагональ матрица болып табылады. Егер және ауыспалы болатын нақты симметриялық матрицалар болса, онда оларды бір мезгілде ортогональды матрица арқылы диагональдауға болады: негіздің әрбір элементі олардың екеуі үшін де өзіндік вектор болып табылатын негіз бар. Әрбір нақты симметриялық матрица Гермит матрицасы болып табылады, сондықтан оның барлық өзіндік мәндері нақты сандар болады. (Шындығында, өзіндік мәндер – жоғарыдағы диагональ матрицасының элементтері, сондықтан матрица элементтерінің ретіне қарай бірегей түрде анықталады.) Қорыта айтқанда, нақты матрицалар үшін симметриялық болу қасиеті, кешенді матрицалар үшін Гермит болу қасиетімен сәйкес келеді.
Every real symmetric matrix is Hermitian, and therefore all its eigenvalues are real. (In fact, the eigenvalues are the entries in the diagonal matrix (above), and therefore is uniquely determined by up to the order of its entries.) Essentially, the property of being symmetric for real matrices corresponds to the property of being Hermitian for complex matrices.
Күрделі симметриялық матрицалар
Күрделі симметриялық матрицаны унитарлық матрица арқылы 'диагональдауға' болады: егер күрделі симметриялық матрица болса, онда жағымсыз емес элементтері бар нақты диагональдық матрица болатын унитарлық матрица бар. Бұл нәтиже Автонн–Такаги факторлануы деп аталады. Оны Леон Автонн (1915) және Тейджи Такаги (1925) дәлелдеген, ал басқа математиктер оны әртүрлі дәлелдермен қайта ашты. Шындығында, матрица гермиттік және оң жартылай анықталған, сондықтан жағымсыз емес нақты элементтері бар диагональдық болатын унитарлық матрица бар. Осылайша, күрделі симметриялық және нақты. жазып, және нақты симметриялық матрицалар болсын. және қайтымды болғандықтан, екі матрицаны да диагональдық ететін нақты ортогональды матрица бар. (бірлік матрица) деп белгілейік, онда матрицасы күрделі диагональдық болады. матрицасын тиісті диагональдық унитарлық матрицамен көбейту арқылы (оның бірлігін сақтайтын), матрицасының диагональдық элементтерін қалағандай нақты және жағымсыз емес етуге болады. Бұл матрицаны құру үшін диагональдық матрицаны былай жазамыз: Ізделінетін матрица қарапайым түрде берілген: Көрініп тұрғанындай, біз өзгеріс жасаймыз. Олардың квадраттары матрицасының өзіндік мәндерімен сәйкес келеді, сондықтан олар матрицасының жеке мәндерімен де сәйкес келеді. (Ескерту, күрделі симметриялық матрицаның өзіндік ыдырауы туралы, матрицасының Жордан қалыпты түрі диагональдық болмауы мүмкін, сондықтан оны кез келген ұқсастық түрлендіруі арқылы диагональдау мүмкін емес.)
Гессен
Нақты функциялардың симметриялық матрицалары нақты айнымалылардың екі рет дифференциалданатын функцияларының Гессиандары ретінде пайда болады (екінші туындының үздіксіздігі қажет емес, керісінше жиі қабылданатын сенімге қарамастан). Кез келген квадраттық форманы симметриялық матрица арқылы бірегей түрде жазуға болады. Жоғарыда аталған спектрлік теоремаға сүйене отырып, кез келген квадраттық форманы, -нің ортонормал базасын таңдауға дейін, нақты сандармен "ұқсас" деп айтуға болады. Бұл квадраттық формаларды зерттеуді, сондай-ақ коникалық қималардың обобщениесі болып табылатын деңгей жиынтықтарын зерттеуді едәуір жеңілдетеді. Бұл маңызды, өйткені кез келген тегіс көп айнымалы функцияның екінші реттік қасиеттері функцияның Гессианына жататын квадраттық формамен сипатталады; бұл Тейлор теоремасының салдары.
with real numbers This considerably simplifies the study of quadratic forms, as well as the study of the level sets which are generalizations of conic sections. This is important partly because the second order behavior of every smooth multi variable function is described by the quadratic form belonging to the function's Hessian; this is a consequence of Taylor's theorem.