Введение

Сумма элементов на главной диагонали

В линейной алгебре трасса квадратной матрицы 'A', обозначаемая как tr('A'), определяется как сумма элементов на главной диагонали (от верхнего левого к нижнему правому) матрицы 'A'. Трасса определена только для квадратных матриц (n × n). Можно доказать, что трасса матрицы равна сумме её собственных значений (с учётом их кратности). Также можно доказать, что для любых двух матриц 'A' и 'B' подходящих размеров. Это означает, что подобные матрицы имеют одинаковую трассу. Следовательно, можно определить трассу линейного оператора, отображающего конечномерное векторное пространство в себя, поскольку все матрицы, описывающие этот оператор относительно выбранного базиса, подобны друг другу. Трасса связана с производной определителя (см. формулу Якоби).

Следы коммутатора

Когда матрицы 'A' и 'B' обе являются квадратными матрицами размера n × n, след (кольцетеоретического) коммутатора 'A' и 'B' равен нулю: tr(['A', 'B']) = 0, поскольку tr('AB') = tr('BA') и след является линейным отображением. Это можно сформулировать как "след является отображением алгебр Ли gln → k из операторов в скаляры", так как коммутатор скаляров тривиален (это абелева алгебра Ли). В частности, используя инвариантность относительно подобия, следует, что единичная матрица никогда не подобна коммутатору какой-либо пары матриц. Обратно, любая квадратная матрица с нулевым следом является линейной комбинацией коммутаторов пар матриц. Более того, любая квадратная матрица с нулевым следом унитарно эквивалентна квадратной матрице, диагональ которой состоит только из нулей.

Отношение к характерному многочлену

След матрицы — это коэффициент при x в характеристическом многочлене, возможно, измененный знаком, в зависимости от принятого соглашения в определении характеристического многочлена.

Отношение к собственным значениям

Если 'A' – линейный оператор, представленный квадратной матрицей с вещественными или комплексными элементами, и если λ₁, …, λₙ – собственные значения 'A' (перечисленные с учетом их алгебраической кратности), то это следует из того факта, что 'A' всегда подобен своей жордановой форме – верхнетреугольной матрице, на главной диагонали которой расположены λ₁, …, λₙ. В отличие от этого, определитель 'A' равен произведению его собственных значений; то есть, все изложенное в данном разделе применимо также к любой квадратной матрице с коэффициентами в алгебраически замкнутом поле.

Следы линейного оператора

В общем, если задана некоторая линейная карта f : V → V (где V – конечномерное векторное пространство), мы можем определить след этой карты, рассмотрев след матричного представления f, то есть, выбрав базис для V и представив f в виде матрицы относительно этого базиса, и взяв след этой квадратной матрицы. Результат не будет зависеть от выбранного базиса, поскольку различные базисы приведут к подобным матрицам, что позволяет сформулировать определение следа линейной карты, не зависящее от выбора базиса. Такое определение можно дать, используя канонический изоморфизм между пространством End(V) линейных карт на V и V ⊗ V*, где V* – двойственное пространство V. Пусть v принадлежит V и g принадлежит V*. Тогда след неразложимого элемента v ⊗ g определяется как g(v); след общего элемента определяется линейностью. След линейной карты f : V → V можно тогда определить как след, в вышеуказанном смысле, элемента V ⊗ V*, соответствующего f при указанном каноническом изоморфизме. Используя явный базис для V и соответствующий двойственный базис для V*, можно показать, что это дает то же определение следа, что и выше.

Стохастический оценщик

След можно оценить без смещения с помощью "приёма Хатчинсона": для любой матрицы A и любого случайного вектора x, удовлетворяющего условию x ~ N(0, I), имеем (доказательство: раскройте математическое ожидание напрямую). Обычно случайный вектор выбирается из нормального распределения N(0, I) или распределения Радемахера. Разработаны более сложные стохастические оценки следа.

Приложения

Если 2 x 2 матрица с действительными элементами имеет нулевой след, то её квадрат является диагональной матрицей. След 2 × 2 комплексной матрицы используется для классификации преобразований Мёбиуса. Сначала матрица нормализуется так, чтобы её определитель был равен единице. Затем, если квадрат следа равен 4, соответствующее преобразование является параболическим. Если квадрат следа находится в интервале [0, 4), то преобразование эллиптическое. Наконец, если квадрат следа больше 4, то преобразование локсодромическое. См. классификацию преобразований Мёбиуса. След используется для определения характеров групповых представлений. Два представления "A", "B" : G → GL(V) группы G эквивалентны (с точностью до смены базиса в V), если tr('A'(g)) = tr('B'(g)) для всех g ∈ G.

След также играет центральную роль в распределении квадратичных форм.

Следы в языке тензорных произведений

При заданном векторном пространстве V существует естественное билинейное отображение V × V∗ → F, заданное соответствием (v, φ) ↦ φ(v). Универсальное свойство тензорного произведения V ⊗ V∗ автоматически влечет, что это билинейное отображение индуцируется линейным функционалом на V ⊗ V∗. Аналогично, существует естественное билинейное отображение V × V∗ → Hom(V, V), заданное соответствием (v, φ) ↦ линейное отображение w ↦ φ(w)v. Универсальное свойство тензорного произведения, как и ранее, утверждает, что это билинейное отображение индуцируется линейным отображением V ⊗ V∗ → Hom(V, V). Если V конечномерно, то это линейное отображение является линейным изоморфизмом. Этот фундаментальный факт является прямым следствием существования (конечного) базиса V и может быть сформулирован также как утверждение о том, что любое линейное отображение V → V можно представить в виде суммы (конечного числа) линейных отображений ранга один. Композиция обратного к изоморфизму отображения с полученным выше линейным функционалом дает линейный функционал на Hom(V, V). Этот линейный функционал совпадает со следом. Используя определение следа как суммы диагональных элементов, матричную формулу легко доказать, и она была приведена выше. В данном подходе рассматриваются линейные отображения S и T, представляемые в виде суммы отображений ранга один, так что существуют линейные функционалы φi и ψj и ненулевые векторы vi и wj, такие что S(u) = Σ φi(u)vi и T(u) = Σ ψj(u)wj для любого u ∈ V. Тогда для любого u ∈ V. Линейное отображение ранга один u ↦ ψj(u)φi(wj)vi имеет след ψj(vi)φi(wj), и следовательно, tr(S ∘ T) = Σ ψj(vi)φi(wj). Следуя той же процедуре, но меняя местами S и T, получим точно такую же формулу, доказывающую, что tr(S ∘ T) = tr(T ∘ S). Вышеприведенное доказательство можно рассматривать как основанное на тензорных произведениях, поскольку фундаментальная тождественность End(V) с V ⊗ V∗ эквивалентна возможности представить любое линейное отображение в виде суммы отображений ранга один. Таким образом, доказательство можно записать в обозначениях тензорных произведений. Тогда можно рассмотреть мультибилинейное отображение V × V∗ × V × V∗ → V ⊗ V∗, заданное соответствием (v, φ, w, ψ) ↦ φ(w)v ⊗ ψ. Дальнейшая композиция с отображением следа дает φ(w)ψ(v), и этот результат не изменится, если бы мы начали с (w, ψ, v, φ). Можно также рассмотреть билинейное отображение End(V) × End(V) → End(V), заданное соответствием (f, g) ↦ композиция f ∘ g, которая индуцируется линейным отображением End(V) ⊗ End(V) → End(V). Можно показать, что это совпадает с линейным отображением V ⊗ V∗ ⊗ V ⊗ V∗ → V ⊗ V∗. Установленная симметрия при композиции с отображением следа устанавливает равенство двух следов. Для любого конечномерного векторного пространства V существует естественное линейное отображение ; в терминах линейных отображений оно сопоставляет скаляру c линейное отображение c⋅idV. Иногда это отображение называют кооценкой, а след — оценкой. Эти структуры можно аксиоматизировать для определения категорных следов в абстрактном контексте теории категорий.