Кіріспе

Кванттық физикадағы модель

Кванттық механикада бір өлшемді тордағы бөлшек – периодты кристалл тор моделінде кездесетін мәселе. Потенциал кристаллдың периодтық құрылымындағы иондар электромагниттік өріс тудыруынан пайда болады, сондықтан электрондар тордың ішінде белгілі бір потенциалға тәуелді болады. Бұл тордың ішінде потенциалдың жоқтығын болжайтын еркін электрон моделінің жалпыланған түрі.

Мәселе анықтамасы

Қатты материалдар туралы сөйлескенде, талқылау негізінен кристалдар – периодтық торлар туралы болады. Мұнда оң иондардың 1D торын қарастырамыз. Екі ион арасындағы қашықтық a деп есептесек, тордағы потенциал шамамен былай көрінеді:

Потенциалдың математикалық сипаттамасы – a периоды бар периодтық функция. Блох теоремасына сәйкес, потенциал периодтық болғанда Шредингер теңдеуінің толқындық функциясының шешімін былай жазуға болады:

мұнда u(x) – u(x + a) = u(x) шартын қанағаттандыратын периодтық функция. Бұл Блох факторы, Флоке көрсеткішімен бірге, Kronig–Penney потенциалы сияқты периодтық потенциал немесе Матье теңдеуіндегі косинус функциясы сияқты, Шредингер теңдеуінің энергия спектрінің жолақты құрылымын анықтайды. Тордың шеттеріне жақындағанда, шекаралық шарттармен проблемалар туындайды. Сондықтан, иондық торды Борн–фон Карман шекаралық шарттарын сақтайтын сақина ретінде қарастыруға болады. Егер L – тордың ұзындығы болса және L ≫ a болса, онда тордағы иондар саны соншалықты көп болады, бір ионды қарастырғанда оның айналасы дерлік түзу болып табылады және электронның толқындық функциясы өзгермейді. Осылайша, екі шекаралық шарттың орнына бір шеңберлік шекаралық шарт аламыз:

Егер N – тордағы иондар саны болса, онда мына қатынас орындалады: aN = L. Шекаралық шартқа қойып, Блох теоремасын қолдансақ, k үшін квантталу пайда болады:

KronigPenney үлгісіндегі жолақтардағы саңылаулар

Алдыңғы абзацта физикалық жүйенің параметрлерімен анықталмаған жалғыз айнымалылар – энергия E және кристалл импульсі k. E мәнін таңдап, оң жақ бөлігін есептеуге болады, содан кейін екі жақтың да түбірін алып k-ны есептеуге болады. Осылайша, бұл өрнек дисперсиялық қатынасты тудырады. Жоғарыдағы соңғы өрнектің оң жағы кейде 1-ден үлкен немесе -1-ден кіші болуы мүмкін, мұндай жағдайда теңдеуді дұрыс ететін k мәні болмайды. Осыдан Шредингер теңдеуінің өзіндік функциялары жоқ E-нің белгілі бір мәндері бар екені көрінеді. Бұл мәндер энергиялық аралықты құрайды. Осылайша, Кронинг-Пенни моделі энергиялық аралықты көрсететін ең қарапайым периодтық потенциалдардың бірі болып табылады.

Шекті тор

Кейбір жағдайларда, Шредингер теңдеуін мерзімді дифференциалдық теңдеулер теориясын қолдана отырып, шекті ұзындығы бар бір өлшемді торда талдамалық түрде шешуге болады. Тордың ұзындығы , мұндағы – потенциалдың периоды, ал – периодтар саны оң бүтін сан деп есептеледі. Тордың екі шеті және нүктелерінде орналасқан, мұндағы аяқталу нүктесін анықтайды. Толқындық функция берілген интервалдан тысқары жоғалады. Шекті жүйенің өзіндік күйлерін сол потенциалға ие шексіз жүйенің Блох күйлері арқылы табуға болады. Егер шексіз жүйенің екі тікелей жалғасқан энергия жолақтарының арасында энергиялық саңылау болса, онда шекті тордағы екі түрлі күй арасында айқын ерекшелік болады. Шексіз жүйенің әрбір энергия жолағы үшін энергиясы ұзындығына емес, аяқталу нүктесіне байланысты болатын көлемдік күйлер бар. Бұл күйлер екі Блох күйінің суперпозициясынан құралған тұрақты толқындар болып табылады, олардың импульстары және , мұндағы сондықтан толқындық функция шекараларда жоғалады. Бұл күйлердің энергиясы шексіз жүйенің энергия жолақтарымен сәйкес келеді. Әрбір энергиялық саңылау үшін қосымша бір күй болады. Бұл күйлердің энергиясы аяқталу нүктесіне байланысты, бірақ ұзындығына емес. Мұндай күйдің энергиясы энергия жолағының шетінде немесе саңылаудың ішінде орналасуы мүмкін. Егер энергия саңылаудың ішінде болса, онда күй – тордың бір шетінде локализацияланған беттік күй, ал егер энергия жолақтың шетінде болса, онда күй тордың бойымен кеңейтілген (делокализацияланған) күй болады.