Введение
Модель в квантовой физике
В квантовой механике задача о частице в одномерной решетке возникает при моделировании периодической кристаллической решетки. Потенциал обусловлен ионами в периодической структуре кристалла, создающими электромагнитное поле, вследствие чего электроны испытывают регулярный потенциал внутри решетки. Это обобщение модели свободных электронов, которая предполагает нулевой потенциал внутри решетки.
Определение проблемы
Когда речь идет о твердых материалах, обсуждение в основном касается кристаллов – периодических решеток. Здесь мы обсудим одномерную решетку положительных ионов. Предполагая, что расстояние между двумя ионами равно *a*, потенциал в решетке будет выглядеть примерно так: математическое представление потенциала – это периодическая функция с периодом *a*. Согласно теореме Блоха, волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера при периодическом потенциале, может быть записана как:
The mathematical representation of the potential is a periodic function with a period a. According to Bloch's theorem, the wavefunction solution of the Schrödinger equation when the potential is periodic, can be written as:
where u(x) is a periodic function which satisfies 1=u(x + a) = u(x). It is the Bloch factor with Floquet exponent which gives rise to the band structure of the energy spectrum of the Schrödinger equation with a periodic potential like the Kronig–Penney potential or a cosine function as in the Mathieu equation. When nearing the edges of the lattice, there are problems with the boundary condition. Therefore, we can represent the ion lattice as a ring following the Born–von Karman boundary conditions. If L is the length of the lattice so that L ≫ a, then the number of ions in the lattice is so big, that when considering one ion, its surrounding is almost linear, and the wavefunction of the electron is unchanged. So now, instead of two boundary conditions we get one circular boundary condition:
If N is the number of ions in the lattice, then we have the relation: 1=aN = L. Replacing in the boundary condition and applying Bloch's theorem will result in a quantization for k:
где *u(x)* – периодическая функция, удовлетворяющая условию *u(x + a) = u(x)*. Это фактор Блоха с показателем Флоке, который определяет зонную структуру энергетического спектра уравнения Шредингера с периодическим потенциалом, таким как потенциал Кронига-Пенни или косинусоидальная функция, как в уравнении Матье. При приближении к краям решетки возникают проблемы с граничными условиями. Поэтому мы можем представить ионную решетку в виде кольца, следуя граничным условиям Борна-фон Кармана. Если *L* – длина решетки, причем *L ≫ a*, то количество ионов в решетке настолько велико, что при рассмотрении одного иона его окружение практически линейно, а волновая функция электрона не изменяется. Таким образом, вместо двух граничных условий мы получаем одно круговое граничное условие:
The mathematical representation of the potential is a periodic function with a period a. According to Bloch's theorem, the wavefunction solution of the Schrödinger equation when the potential is periodic, can be written as:
where u(x) is a periodic function which satisfies 1=u(x + a) = u(x). It is the Bloch factor with Floquet exponent which gives rise to the band structure of the energy spectrum of the Schrödinger equation with a periodic potential like the Kronig–Penney potential or a cosine function as in the Mathieu equation. When nearing the edges of the lattice, there are problems with the boundary condition. Therefore, we can represent the ion lattice as a ring following the Born–von Karman boundary conditions. If L is the length of the lattice so that L ≫ a, then the number of ions in the lattice is so big, that when considering one ion, its surrounding is almost linear, and the wavefunction of the electron is unchanged. So now, instead of two boundary conditions we get one circular boundary condition:
If N is the number of ions in the lattice, then we have the relation: 1=aN = L. Replacing in the boundary condition and applying Bloch's theorem will result in a quantization for k:
Если *N* – количество ионов в решетке, то выполняется соотношение: *aN = L*. Подстановка в граничное условие и применение теоремы Блоха приведет к квантованию *k*:
The mathematical representation of the potential is a periodic function with a period a. According to Bloch's theorem, the wavefunction solution of the Schrödinger equation when the potential is periodic, can be written as:
where u(x) is a periodic function which satisfies 1=u(x + a) = u(x). It is the Bloch factor with Floquet exponent which gives rise to the band structure of the energy spectrum of the Schrödinger equation with a periodic potential like the Kronig–Penney potential or a cosine function as in the Mathieu equation. When nearing the edges of the lattice, there are problems with the boundary condition. Therefore, we can represent the ion lattice as a ring following the Born–von Karman boundary conditions. If L is the length of the lattice so that L ≫ a, then the number of ions in the lattice is so big, that when considering one ion, its surrounding is almost linear, and the wavefunction of the electron is unchanged. So now, instead of two boundary conditions we get one circular boundary condition:
If N is the number of ions in the lattice, then we have the relation: 1=aN = L. Replacing in the boundary condition and applying Bloch's theorem will result in a quantization for k:
Пробелы в полосе в модели KronigPenney
В предыдущем абзаце единственными переменными, не определяемыми параметрами физической системы, являются энергия E и кристаллический импульс k. Выбрав значение для E, можно вычислить правую часть, а затем вычислить k, извлекая корень из обеих частей. Таким образом, это выражение приводит к дисперсионному соотношению. Правая часть последнего выражения выше иногда может быть больше 1 или меньше –1, в этом случае не существует значения k, которое могло бы сделать уравнение верным. Поскольку , это означает, что существуют определенные значения E, для которых нет собственных функций уравнения Шредингера. Эти значения образуют запрещенную зону. Таким образом, модель Кронига-Пенни является одним из самых простых периодических потенциалов, демонстрирующих наличие запрещенной зоны.
Конечная решетка
В некоторых случаях уравнение Шрёдингера может быть решено аналитически на одномерной решётке конечной длины с использованием теории периодических дифференциальных уравнений. Предполагается, что длина решётки равна , где – период потенциала, а – число периодов, являющееся положительным целым числом. Два конца решётки находятся в точках и , где определяет точку обрыва. Волновая функция обращается в нуль за пределами интервала . Собственные состояния конечной системы могут быть найдены в терминах состояний Блоха бесконечной системы с тем же периодическим потенциалом. Если между двумя последовательными энергетическими зонами бесконечной системы существует запрещённая зона, то наблюдается чёткое различие между двумя типами состояний в конечной решётке. Для каждой энергетической зоны бесконечной системы существует объёмных состояний, энергии которых зависят от длины , но не зависят от точки обрыва. Эти состояния представляют собой стоячие волны, построенные как суперпозиция двух состояний Блоха с волновыми векторами и , где выбирается таким образом, чтобы волновая функция обращалась в нуль на границах. Энергии этих состояний совпадают с энергетическими зонами бесконечной системы. Для каждой запрещённой зоны существует одно дополнительное состояние. Энергии этих состояний зависят от точки обрыва , но не зависят от длины . Энергия такого состояния может находиться либо на краю зоны, либо внутри запрещённой зоны. Если энергия находится внутри запрещённой зоны, состояние является поверхностным состоянием, локализованным на одном конце решётки, но если энергия находится на краю зоны, состояние делокализовано по всей решётке.
The eigenstates of the finite system can be found in terms of the Bloch states of an infinite system with the same periodic potential. If there is a band gap between two consecutive energy bands of the infinite system, there is a sharp distinction between two types of states in the finite lattice. For each energy band of the infinite system, there are bulk states whose energies depend on the length but not on the termination These states are standing waves constructed as a superposition of two Bloch states with momenta and , where is chosen so that the wavefunction vanishes at the boundaries. The energies of these states match the energy bands of the infinite system. For each band gap, there is one additional state. The energies of these states depend on the point of termination but not on the length The energy of such a state can lie either at the band edge or within the band gap. If the energy is within the band gap, the state is a surface state localized at one end of the lattice, but if the energy is at the band edge, the state is delocalized across the lattice.