Кіріспе
2-өлшемді нақты проективті арнайы сызықтық топтың дискретті кіші тобы. Математикада Фуксиан тобы – PSL(2,R) дискретті кіші тобы. PSL(2,R) тобын гиперболалық жазықтықтың бағытты сақтайтын изометрияларының тобы, немесе бірлік дискінің конформдық түрлендірулері, немесе жоғарғы жарты жазықтықтың конформдық түрлендірулері ретінде қарастыруға болады, сондықтан Фуксиан тобы осы кеңістіктердің кез келгенінде әрекет ететін топ ретінде қарастырылуы мүмкін. Анықтаманың кейбір нұсқалары бар: кейде Фуксиан тобы шекті түрде туындайды деп есептеледі, кейде ол PGL(2,R) кіші тобы болуы мүмкін (сонда ол бағытты өзгертетін элементтерді қамтиды), ал кейде ол Клейн тобы (PSL(2,C) дискретті кіші тобы) болуы мүмкін, ол PSL(2,R) кіші тобымен конъюгацияланған. Фуксиан топтары Риман беттерінің Фуксиан модельдерін құру үшін қолданылады. Бұл жағдайда топты беттің Фуксиан тобы деп атауға болады. Бір қырынан алғанда, Фуксиан топтары Евклид емес геометрия үшін осы Евклид геометриясы үшін кристаллографиялық топтардың істейтінін істейді. Кейбір Эшер графикалары оларға негізделген (гиперболалық геометрияның дискілік моделі үшін). Жалпы Фуксиан топтарын алғаш зерттеген және Лазар Фукс есімімен атаған.
In mathematics, a Fuchsian group is a discrete subgroup of PSL(2,R). The group PSL(2,R) can be regarded equivalently as a group of orientation preserving isometries of the hyperbolic plane, or conformal transformations of the unit disc, or conformal transformations of the upper half plane, so a Fuchsian group can be regarded as a group acting on any of these spaces. There are some variations of the definition: sometimes the Fuchsian group is assumed to be finitely generated, sometimes it is allowed to be a subgroup of PGL(2,R) (so that it contains orientation reversing elements), and sometimes it is allowed to be a Kleinian group (a discrete subgroup of PSL(2,C)) which is conjugate to a subgroup of PSL(2,R). Fuchsian groups are used to create Fuchsian models of Riemann surfaces. In this case, the group may be called the Fuchsian group of the surface. In some sense, Fuchsian groups do for non Euclidean geometry what crystallographic groups do for Euclidean geometry. Some Escher graphics are based on them (for the disc model of hyperbolic geometry). General Fuchsian groups were first studied by , who was motivated by the paper , and therefore named them after Lazarus Fuchs.
Жалпы анықтама
PSL(2,C) матрицасымен анықталған сызықтық бөлшек түрлендіру Риман сферасын P1(C) = C ∪ ∞ сақтайды, бірақ жоғарғы жарты жазықтық H-ты қандай да бір ашық Δ дискіге жібереді. Мұндай түрлендіру арқылы конъюгациялау PSL(2,R) дискретті кіші тобын Δ-ны сақтайтын PSL(2,C) дискретті кіші тобына жібереді. Бұл Фуксиандық топтың келесі анықтамасын жасауға негіз болады. Γ ⊂ PSL(2,C) тобы дұрыс, ашық дискі Δ ⊂ C ∪ ∞-да инвариантты әрекет етсін, яғни Γ(Δ) = Δ. Онда Γ Фуксиандық болады, егер және тек қана келесі үш теңдес қасиеттің кез келгені орындалса: Γ – PSL(2,C)-дегі стандартты топологияға қатысты дискретті топ. Γ тобы Δ-ның әрбір нүктесінде дұрыс үзіліссіз әрекет етеді. Δ жиыны Γ-ның үзіліссіздік аймағы Ω(Γ)-ның ішкі жиыны болып табылады. Яғни, осы үш қасиеттің кез келгені Фуксиандық топтың анықтамасы ретінде қолданылуы мүмкін, ал қалғандары теоремалар ретінде туындайды. Δ инвариантты, дұрыс ішкі жиынтығының ұғымы маңызды; Пикард тобы PSL(2,Z[i]) дискретті, бірақ Риман сферасында ешқандай дискіні сақтамайды. Шындығында, тіпті Фуксиандық топ болып табылатын модульдік топ PSL(2,Z) нақты сандар түзуінде үзіліссіз әрекет етпейді; ол рационалдық сандарда жинақталу нүктелеріне ие. Сол сияқты, Δ-ның үзіліссіздік аймағының дұрыс ішкі жиыны екендігі туралы идея да маңызды; егер ол болмаса, онда кіші топ Клейн тобы деп аталады. Инвариантты домен Δ-ны әдетте ашық бірлік дискі немесе жоғарғы жарты жазықтық деп қарастыру қабылданған.
Γ is a discrete group (with respect to the standard topology on PSL(2,C)). Γ acts properly discontinuously at each point z ∈ Δ. The set Δ is a subset of the region of discontinuity Ω(Γ) of Γ. That is, any one of these three can serve as a definition of a Fuchsian group, the others following as theorems. The notion of an invariant proper subset Δ is important; the so called Picard group PSL(2,Z[i]) is discrete but does not preserve any disk in the Riemann sphere. Indeed, even the modular group PSL(2,Z), which is a Fuchsian group, does not act discontinuously on the real number line; it has accumulation points at the rational numbers. Similarly, the idea that Δ is a proper subset of the region of discontinuity is important; when it is not, the subgroup is called a Kleinian group. It is most usual to take the invariant domain Δ to be either the open unit disk or the upper half plane.
Шекті жиынтықтар
Дискретті әрекеттің салдарынан, Γ әрекеті астындағы үстіңгі жарты жазықтықтағы z нүктесінің Γz орбитасының үстіңгі жарты жазықтықта жинақталу нүктелері болмайды. Дегенмен, нақты осьте лимит нүктелер болуы мүмкін. Λ(Γ) – Γ-ның лимит жиыны, яғни z ∈ H үшін Γz-ның лимит нүктелерінің жиынтығы. Лимит жиыны бос болуы мүмкін, немесе бір немесе екі нүктеден тұруы мүмкін, немесе шексіз көп нүктеден тұруы мүмкін. Соңғы жағдайда екі түрі бар: бірінші типтегі Фуксиан тобы – лимит жиыны жабық нақты түзу R ∪ ∞-ға тең болатын топ. Бұл H/Γ бөліктік кеңістігінің көлемі шекті болғанда болады, бірақ шексіз коволюмға ие бірінші типтегі Фуксиандық топтар да бар. Әйтпесе, Фуксиан тобы екінші типті болады. Балама ретінде, бұл R ∪ ∞-да ешқайда тығыз емес толық жиын болып табылатын топ. Ол ешқайда тығыз болмағандықтан, кез келген лимит нүкте лимит жиынына кірмейтін ашық жиынға кездейсоқ жақын екенін білдіреді. Басқаша айтқанда, лимит жиыны Кантор жиыны. Фуксиан тобының түрі, оны Клейн тобы ретінде қарастырғанда, оның түрімен сәйкес келуі міндетті емес: шындығында, барлық Фуксиандық топтар – 2-типтегі Клейн топтары, өйткені олардың лимит жиындары (Клейн топтары ретінде) – Риман сферасының белгілі бір шеңберде орналасқан нақты кіші жиындары болып табылады.
A Fuchsian group of the first type is a group for which the limit set is the closed real line R ∪ ∞. This happens if the quotient space H/Γ has finite volume, but there are Fuchsian groups of the first kind of infinite covolume. Otherwise, a Fuchsian group is said to be of the second type. Equivalently, this is a group for which the limit set is a perfect set that is nowhere dense on R ∪ ∞. Since it is nowhere dense, this implies that any limit point is arbitrarily close to an open set that is not in the limit set. In other words, the limit set is a Cantor set. The type of a Fuchsian group need not be the same as its type when considered as a Kleinian group: in fact, all Fuchsian groups are Kleinian groups of type 2, as their limit sets (as Kleinian groups) are proper subsets of the Riemann sphere, contained in some circle.
Мысалдар
Фуксиандық топтың мысалы — модульдік топ, PSL(2,ℤ). Бұл a, b, c, d бүтін сандар болатын сызықтық бөлшектік түрлендірулерден тұратын PSL(2,ℝ) кіші тобы. H/PSL(2,ℤ) үлестік кеңістігі эллиптік қисықтардың модульдік кеңістігі болып табылады. Басқа Фуксиандық топтарға әр n > 0 бүтін саны үшін Γ(n) топтары жатады. Мұнда Γ(n) — матрицаның элементтері сәйкестік матрицасының элементтерімен n модулі бойынша конгруэнтті болатын жоғарыда көрсетілген түрдегі сызықтық бөлшектік түрлендірулерден тұрады. Ықшам мысал — (қалыпты, айналмалы) (2,3,7) үшбұрыштық тобы, онда Клейн квартикасының және Макбит бетінің Фуксиандық топтары, сондай-ақ басқа да Хурвиц топтары бар. Жалпы алғанда, кез келген гиперболалық фон Дайк тобы (үшбұрыштық топтың индексі 2 кіші тобы, бағдарды сақтайтын изометрияға сәйкес) — Фуксиандық топ. Бұлардың барлығы бірінші типтегі Фуксиандық топтар. PSL(2,ℝ) барлық гиперболалық және параболалық циклдік кіші топтары Фуксиандық болып табылады. Кез келген эллипстік циклдік кіші топ тек қана шекті болса, Фуксиандық болып табылады. Әрбір абельдік Фуксиандық топ циклдік болып табылады. Фуксиандық топтың Z × Z-ге изоморфтығы жоқ. Γ абельдік емес Фуксиандық топ болсын. Сонда Γ-ның PSL(2,ℝ)-дегі нормализаторы Фуксиандық болып табылады.
where a, b, c, d are integers. The quotient space H/PSL(2,Z) is the moduli space of elliptic curves. Other Fuchsian groups include the groups Γ(n) for each integer n > 0. Here Γ(n) consists of linear fractional transformations of the above form where the entries of the matrix
are congruent to those of the identity matrix modulo n.
A co compact example is the (ordinary, rotational) (2,3,7) triangle group, containing the Fuchsian groups of the Klein quartic and of the Macbeath surface, as well as other Hurwitz groups. More generally, any hyperbolic von Dyck group (the index 2 subgroup of a triangle group, corresponding to orientation preserving isometries) is a Fuchsian group. All these are Fuchsian groups of the first kind. All hyperbolic and parabolic cyclic subgroups of PSL(2,R) are Fuchsian. Any elliptic cyclic subgroup is Fuchsian if and only if it is finite. Every abelian Fuchsian group is cyclic. No Fuchsian group is isomorphic to Z × Z. Let Γ be a non abelian Fuchsian group. Then the normalizer of Γ in PSL(2,R) is Fuchsian.