Введение
Дискретная подгруппа реальной проективной специальной линейной группы размерности 2. В математике, группа Фукса — это дискретная подгруппа PSL(2,ℝ). Группа PSL(2,ℝ) может рассматриваться эквивалентно как группа сохраняющих ориентацию изометрий гиперболической плоскости, или конформных преобразований единичного диска, или конформных преобразований верхней полуплоскости, поэтому группу Фукса можно рассматривать как группу, действующую на любом из этих пространств. Существуют некоторые вариации определения: иногда группа Фукса предполагается конечно порожденной, иногда ей разрешено быть подгруппой PGL(2,ℝ) (так, что она содержит элементы, меняющие ориентацию), и иногда ей разрешено быть группой Клейна (дискретная подгруппа PSL(2,ℂ)), которая сопряжена с подгруппой PSL(2,ℝ). Фуксианские группы используются для создания фуксианских моделей поверхностей Римана. В этом случае группу можно назвать группой Фукса данной поверхности. В некотором смысле, группы Фукса выполняют для неевклидовой геометрии то же, что и кристаллографические группы для евклидовой геометрии. Некоторые графики Эшера основаны на них (для модели диска гиперболической геометрии). Общие фуксианские группы впервые были изучены , который был мотивирован работой , и поэтому назвал их в честь Лазаруса Фукса.
In mathematics, a Fuchsian group is a discrete subgroup of PSL(2,R). The group PSL(2,R) can be regarded equivalently as a group of orientation preserving isometries of the hyperbolic plane, or conformal transformations of the unit disc, or conformal transformations of the upper half plane, so a Fuchsian group can be regarded as a group acting on any of these spaces. There are some variations of the definition: sometimes the Fuchsian group is assumed to be finitely generated, sometimes it is allowed to be a subgroup of PGL(2,R) (so that it contains orientation reversing elements), and sometimes it is allowed to be a Kleinian group (a discrete subgroup of PSL(2,C)) which is conjugate to a subgroup of PSL(2,R). Fuchsian groups are used to create Fuchsian models of Riemann surfaces. In this case, the group may be called the Fuchsian group of the surface. In some sense, Fuchsian groups do for non Euclidean geometry what crystallographic groups do for Euclidean geometry. Some Escher graphics are based on them (for the disc model of hyperbolic geometry). General Fuchsian groups were first studied by , who was motivated by the paper , and therefore named them after Lazarus Fuchs.
Общее определение
Линейная дробная трансформация, заданная матрицей из PSL(2,C), сохраняет сферу Римана P¹(C) = C ∪ ∞, но отображает верхнюю полуплоскость H на некоторый открытый диск Δ. Сопряжение такой трансформацией переводит дискретную подгруппу PSL(2,R) в дискретную подгруппу PSL(2,C), сохраняющую Δ. Это мотивирует следующее определение группы Фукса. Пусть Γ ⊂ PSL(2,C) действует инвариантно на собственном открытом диске Δ ⊂ C ∪ ∞, то есть Γ(Δ) = Δ. Тогда Γ является фуксианской группой тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих трех эквивалентных свойств: Γ – дискретная группа (относительно стандартной топологии на PSL(2,C)). Γ действует правильно разрывно в каждой точке z ∈ Δ. Множество Δ является подмножеством области разрыва Ω(Γ) группы Γ. Любое из этих трех свойств может служить определением фуксианской группы, а остальные следуют как теоремы. Понятие инвариантного собственного подмножества Δ важно; так называемая группа Пикара PSL(2,Z[i]) дискретна, но не сохраняет никакого диска на сфере Римана. Действительно, даже модульная группа PSL(2,Z), являющаяся фуксианской группой, не действует разрывно на действительной прямой; она имеет точки накопления в рациональных числах. Аналогично, важна идея о том, что Δ является собственным подмножеством области разрыва; в противном случае подгруппа называется группой Клейна. Обычно инвариантной областью Δ выбирают либо открытый единичный диск, либо верхнюю полуплоскость.
Γ is a discrete group (with respect to the standard topology on PSL(2,C)). Γ acts properly discontinuously at each point z ∈ Δ. The set Δ is a subset of the region of discontinuity Ω(Γ) of Γ. That is, any one of these three can serve as a definition of a Fuchsian group, the others following as theorems. The notion of an invariant proper subset Δ is important; the so called Picard group PSL(2,Z[i]) is discrete but does not preserve any disk in the Riemann sphere. Indeed, even the modular group PSL(2,Z), which is a Fuchsian group, does not act discontinuously on the real number line; it has accumulation points at the rational numbers. Similarly, the idea that Δ is a proper subset of the region of discontinuity is important; when it is not, the subgroup is called a Kleinian group. It is most usual to take the invariant domain Δ to be either the open unit disk or the upper half plane.
Границы
Из-за дискретного действия, орбита Γz точки z в верхней полуплоскости при действии Γ не имеет точек накопления в верхней полуплоскости. Однако предельные точки могут находиться на вещественной оси. Пусть Λ(Γ) — предельное множество Γ, то есть множество предельных точек Γz для z ∈ H. Тогда Λ(Γ) ⊆ R ∪ ∞. Предельное множество может быть пустым, содержать одну или две точки, или бесконечное число точек. В последнем случае выделяют два типа:
Группа Фукса первого типа — это группа, для которой предельное множество является замкнутой вещественной прямой R ∪ ∞. Это происходит, если пространство H/Γ имеет конечный объем, но существуют группы Фукса первого типа с бесконечным кообъемом. В противном случае группа Фукса называется группой второго типа. Эквивалентно, это группа, для которой предельное множество является совершенным множеством, нигде не плотным на R ∪ ∞. Поскольку оно нигде не плотно, это означает, что любая предельная точка сколь угодно близка к открытому множеству, не входящему в предельное множество. Иными словами, предельное множество является множеством Кантора. Тип группы Фукса не обязательно совпадает с ее типом при рассмотрении как группы Клейна: на самом деле, все группы Фукса являются группами Клейна типа 2, поскольку их предельные множества (как групп Клейна) являются собственными подмножествами сферы Римана, содержащимися в некотором круге.
Примеры
Примером группы Фукса является модульная группа PSL(2,ℤ). Это подгруппа PSL(2,ℝ), состоящая из линейных дробных преобразований
где a, b, c, d – целые числа. Коэффициентное пространство H/PSL(2,ℤ) является модульным пространством эллиптических кривых. Другие группы Фукса включают группы Γ(n) для каждого целого числа n > 0. Здесь Γ(n) состоит из линейных дробных преобразований вышеуказанной формы, где элементы матрицы
совпадают с элементами единичной матрицы по модулю n.
Компактным примером является (обычная, вращательная) треугольная группа (2,3,7), содержащая группы Фукса четвертичной кривой Клейна и поверхности Макбита, а также другие группы Хурвица. В более общем случае, любая гиперболическая группа фон Дика (подгруппа индекса 2 треугольной группы, соответствующая изометриям, сохраняющим ориентацию) является группой Фукса. Все перечисленные – группы первого рода. Все гиперболические и параболические циклические подгруппы PSL(2,ℝ) являются фуксианскими. Любая эллиптическая циклическая подгруппа является фуксианской тогда и только тогда, когда она конечна. Каждая абелева группа Фукса циклична. Ни одна группа Фукса не изоморфна Z × Z. Пусть Γ – неабелева группа Фукса. Тогда нормализатор Γ в PSL(2,ℝ) является фуксианским.