Введение

Пространство возможных положений для всех объектов в физической системе.

В классической механике параметры, определяющие конфигурацию системы, называются обобщёнными координатами, а пространство, определяемое этими координатами, называется пространством конфигураций физической системы. Часто эти параметры удовлетворяют математическим ограничениям, в результате чего множество действительных конфигураций системы образует многообразие в пространстве обобщённых координат. Это многообразие называется конфигурационным многообразием системы. Важно отметить, что это понятие "неограниченного" пространства конфигураций, то есть пространства, в котором различные точечные частицы могут занимать одно и то же положение. В математике, особенно в топологии, чаще используется понятие "ограниченного" пространства конфигураций, в котором удаляются диагонали, представляющие "столкновения" частиц.

Пример: частица в трехмерном пространстве

Положение одной частицы, движущейся в обычном евклидовом трехмерном пространстве, определяется вектором , и поэтому ее конфигурационное пространство является . Общепринято использовать символ для точки в конфигурационном пространстве; это соглашение используется как в гамильтоновой формулировке классической механики, так и в лагранжевой механике. Символ используется для обозначения импульса; символ – для обозначения скоростей. Частица может быть ограничена движением на определенном многообразии. Например, если частица прикреплена к жесткой связи и свободно вращается вокруг начала координат, она фактически ограничена поверхностью сферы. Ее конфигурационное пространство – это подмножество координат в , определяющих точки на сфере. В этом случае говорят, что многообразие является сферой, то есть . Для n несвязанных, не взаимодействующих точечных частиц конфигурационное пространство равно . Однако, как правило, нас интересует случай, когда частицы взаимодействуют: например, они представляют собой конкретные положения в механизмах, состоящих из зубчатых колес, шкивов, катящихся шаров и т.д., часто вынужденных двигаться без проскальзывания. В этом случае конфигурационное пространство – это не все , а подпространство (подмногообразие) допустимых положений, которые могут занимать точки.

Пример: жесткое тело в 3D пространстве

Набор координат, определяющих положение точки отсчета и ориентацию координатного каркаса, прикрепленного к жесткому телу в трехмерном пространстве, образует его конфигурационное пространство, часто обозначаемое как , где представляет собой координаты начала координат каркаса, прикрепленного к телу, а – матрицы вращения, определяющие ориентацию этого каркаса относительно базового (абсолютного) каркаса. Конфигурация жесткого тела определяется шестью параметрами: тремя из и тремя из , и, таким образом, обладает шестью степенями свободы. В этом случае конфигурационное пространство является шестимерным, и точка – это просто точка в этом пространстве. "Положение" точки в этом конфигурационном пространстве описывается обобщенными координатами; например, три координаты могут описывать положение центра масс жесткого тела, а остальные три – углы Эйлера, описывающие его ориентацию. Не существует канонического выбора координат: можно выбрать любую точку на жестком теле, например, его конец, вместо центра масс; можно использовать кватернионы вместо углов Эйлера и так далее. Однако параметризация не изменяет механические характеристики системы; все различные параметризации в конечном итоге описывают один и тот же (шестимерный) многообраз, один и тот же набор возможных положений и ориентаций. Некоторые параметризации удобнее в использовании, чем другие, и многие важные утверждения можно сформулировать, не привязываясь к конкретной системе координат. Примеры утверждений, не зависящих от координат, таковы: тангентное пространство соответствует скоростям точек , а котангентное пространство – импульсам. (Скорости и импульсы могут быть связаны; в наиболее общем и абстрактном случае это делается с помощью довольно абстрактного понятия тавтологической формы.)

Пример: роботизированная рука

Для роботизированной руки, состоящей из множества жестких звеньев, пространство конфигурации определяется положением каждого звена (рассматриваемого как жесткое тело, как описано выше), с учетом ограничений, накладываемых способом соединения звеньев друг с другом и допустимым диапазоном их движения. Таким образом, для *n* звеньев можно рассмотреть общее пространство ℝ⁶*n*, однако все различные соединения и ограничения означают, что не каждая точка в этом пространстве достижима. Следовательно, пространство конфигурации является подпространством пространства конфигураций жестких тел. Важно отметить, что в робототехнике термин "пространство конфигурации" также может относиться к еще более узкому подмножеству: множеству достижимых положений рабочего органа робота. Однако такое определение приводит к сложностям, обусловленным голономией: то есть, существует несколько различных способов расположения руки робота для достижения определенного положения рабочего органа, и даже возможно перемещение руки робота при неподвижном рабочем органе. Таким образом, для полного описания руки, пригодного для использования в кинематике, необходимо указывать все положения и углы в сочленениях, а не только некоторые из них. Параметры сочленений робота используются в качестве обобщенных координат для определения конфигураций. Множество значений параметров сочленений называется пространством сочленений. Уравнения прямой и обратной кинематики робота определяют отображения между конфигурациями и положениями рабочего органа, или между пространством сочленений и пространством конфигурации. Планирование движения робота использует это отображение для поиска пути в пространстве сочленений, который обеспечивает достижимый маршрут в пространстве конфигураций рабочего органа.

Формальное определение

В классической механике конфигурацией системы называется положение всех составляющих её точечных частиц.

Фазовое пространство

Конфигурационного пространства недостаточно для полного описания механической системы: оно не учитывает скорости. Множество доступных системе скоростей определяет плоскость, касательную к конфигурационному многообразию системы. В точке эта касательная плоскость обозначается . Векторы импульса являются линейными функционалами касательной плоскости, известными как котангентные векторы; для точки эта котангентная плоскость обозначается . Множество положений и импульсов механической системы образует котангентный расслоение конфигурационного многообразия. Этот расширенный многообраз называется фазовым пространством системы.

Пространство квантовых состояний

В квантовой механике можно использовать пространство конфигураций (см., например, задачу Мотта), но расширение классической механики на фазовое пространство применить нельзя. Вместо этого, для аналогичного понятия, называемого пространством квантовых состояний, используется совершенно иной набор формализмов и обозначений. Аналог "точечной частицы" становится единственной точкой в ℂP¹, комплексной проективной прямой, также известной как сфера Блоха. Она является комплексной, поскольку квантовомеханическая волновая функция обладает комплексной фазой; она проективная, потому что волновая функция нормируется до единичной вероятности. То есть, для заданной волновой функции можно произвести её нормализацию по полной вероятности, тем самым делая её проективной.