Жұп сандардың екі жай санның қосындысы ретінде өрнектелуі

Кіріспе

Тіпті бүтін сандарды екі жай санның қосындысы ретінде беру

Голдбахтың болжамы – сандар теориясы және математиканың барлық саласындағы ең көне және кең танымал шешілмеген мәселелердің бірі. Ол 2-ден үлкен кез келген жұп табиғи санның екі жай санның қосындысы болатынын айтады. Бұл болжам 4e18-ден кіші барлық бүтін сандар үшін рас екені көрсетілген, бірақ көптеген күш-жігерге қарамастан, әлі де дәлелденбеген күйде қалып отыр.

Ішінара нәтижелер

Қуатты Голдбах болжамы әлсіз Голдбах болжамынан әлдеқайда қиын. Виноградов әдісін қолдана отырып, Николай Чудаков, Йоханнес ван дер Корпут және Теодор Эстерман барлық дерлік жұп сандарды екі жай санның қосындысы ретінде жазуға болатынын көрсетті (яғни, N-ге дейінгі жұп сандардың үлесі N-нің өсуімен 1-ге жақындайды). 1930 жылы Лев Шнирелман 1-ден үлкен кез келген натурал санды C-ден аспайтын жай сандардың қосындысы түрінде жазуға болатынын дәлелдеді, мұнда C – тиімді есептелетін тұрақты; Шнирелман тығыздығына қараңыз. Шнирелман тұрақтысы – бұл қасиетке ие ең кіші C саны. Бұл нәтиже кейін көптеген авторлар, мысалы, 1995 жылы n ≥ 4 әрбір жұп санның шын мәнінде ең көп дегенде 6 жай санның қосындысы екенін көрсеткен Оливье Рамаре арқылы жетілдірілді. Қазіргі кездегі ең жақсы нәтиже Харальд Хельфготтың әлсіз Голдбах болжамын дәлелдеуінен туындайды, ол тікелей n ≥ 4 әрбір жұп санның ең көп дегенде 4 жай санның қосындысы екенін көрсетеді. 1924 жылы Харди мен Литтлвуд жалпыланған Риман гипотезасының болжамы бойынша Голдбах болжамын бұзатын X-ке дейінгі жұп сандардың саны кішкентай c үшін өте аз екенін көрсетті. 1948 жылы Альфред Реньи сілем теориясының әдістерін қолдана отырып, әрбір жеткілікті үлкен жұп санды ең көп дегенде K көшбасқандары бар жай сан мен дерлік жай санның қосындысы ретінде жазуға болатынын көрсетті. Чэнь Цзиньрун 1973 жылы сілем теориясын қолдана отырып, әрбір жеткілікті үлкен жұп санды екі жай санның немесе жай сан мен жартылай жай санның (екі жай санның көбейтіндісі) қосындысы ретінде жазуға болатынын көрсетті. Толық ақпарат алу үшін Чен теоремасын қараңыз. 1975 жылы Хью Лоуэлл Монтгомери мен Боб Вон "көптеген" жұп сандардың екі жай санның қосындысы түрінде жазылатынын көрсетті. Нақтырақ айтқанда, олар c және C оң тұрақтыларының бар екенін көрсетті, сондықтан барлық жеткілікті үлкен N саны үшін N-ден кіші әрбір жұп сан екі жай санның қосындысы болып табылады, ең көп дегенде CN^(1 − c) ерекшеліктермен. Әсіресе, екі жай санның қосындысы емес жұп бүтін сандар жиынының тығыздығы нөлге тең. 1951 жылы Юрий Линник тұрақты K бар екенін дәлелдеді, яғни кез келген жеткілікті үлкен жұп сан екі жай санның қосындысы және ең көп дегенде K-ның 2-нің дәрежелерінің қосындысы болады. Янош Пинц пен Имре Руза 2020 жылы 1=K = 8 жұмыс істейтінін анықтады. Жалпыланған Риман гипотезасын қабылдағанда, 1=K = 7 де жұмыс істейді, бұл Роджер Хит Браун мен Ян Кристоф Шлаге Пухта 2002 жылы көрсеткендей. Әлсіз болжамның дәлелі 2013 жылы Харальд Хельфгот тарапынан «Математикалық зерттеулер жылнамасы» сериясына ұсынылды. Мақала қабылданғанымен, Хельфгот төреші ұсынған маңызды түзетулерді жасауға шешім қабылдады. Бірнеше қайта қарауларға қарамастан, Хельфготтың дәлелі әлі күнге дейін рецензиядан өткен жариялымда пайда болған жоқ. Әлсіз болжам күшті болжамнан туындайды, себебі егер n − 3 екі жай санның қосындысы болса, онда n үш жай санның қосындысы болады. Алайда, егер Хельфготтың дәлелі дұрыс болса, керісінше тұжырым және осылайша күшті Голдбах болжамы дәлелденбей қалады.

The strong Goldbach conjecture is much more difficult than the weak Goldbach conjecture. Using Vinogradov's method, Nikolai Chudakov, Johannes van der Corput, and Theodor Estermann showed that almost all even numbers can be written as the sum of two primes (in the sense that the fraction of even numbers up to some N which can be so written tends towards 1 as N increases). In 1930, Lev Schnirelmann proved that any natural number greater than 1 can be written as the sum of not more than C prime numbers, where C is an effectively computable constant; see Schnirelmann density. Schnirelmann's constant is the lowest number C with this property. Schnirelmann himself obtained This result was subsequently enhanced by many authors, such as Olivier Ramaré, who in 1995 showed that every even number n ≥ 4 is in fact the sum of at most 6 primes. The best known result currently stems from the proof of the weak Goldbach conjecture by Harald Helfgott, which directly implies that every even number n ≥ 4 is the sum of at most 4 primes. In 1924, Hardy and Littlewood showed under the assumption of the generalized Riemann hypothesis that the number of even numbers up to X violating the Goldbach conjecture is much less than for small c.

In 1948, using sieve theory methods, Alfréd Rényi showed that every sufficiently large even number can be written as the sum of a prime and an almost prime with at most K factors. Chen Jingrun showed in 1973 using sieve theory that every sufficiently large even number can be written as the sum of either two primes, or a prime and a semiprime (the product of two primes). See Chen's theorem for further information. In 1975, Hugh Lowell Montgomery and Bob Vaughan showed that "most" even numbers are expressible as the sum of two primes. More precisely, they showed that there exist positive constants c and C such that for all sufficiently large numbers N, every even number less than N is the sum of two primes, with at most CN^(1 − c) exceptions. In particular, the set of even integers that are not the sum of two primes has density zero. In 1951, Yuri Linnik proved the existence of a constant K such that every sufficiently large even number is the sum of two primes and at most K powers of 2. János Pintz and Imre Ruzsa found in 2020 that 1=K = 8 works. Assuming the generalized Riemann hypothesis, 1=K = 7 also works, as shown by Roger Heath Brown and Jan Christoph Schlage Puchta in 2002. A proof for the weak conjecture was submitted in 2013 by Harald Helfgott to Annals of Mathematics Studies series. Although the article was accepted, Helfgott decided to undertake the major modifications suggested by the referee. Despite several revisions, Helfgott's proof has not yet appeared in a peer reviewed publication. The weak conjecture is implied by the strong conjecture, as if n − 3 is a sum of two primes, then n is a sum of three primes. However, the converse implication and thus the strong Goldbach conjecture would remain unproven if Helfgott's proof is correct.

Есептеу нәтижелері

n-нің кіші мәндері үшін күшті Гольдбах болжамын (соның салдарынан әлсіз Гольдбах болжамын) тікелей тексеруге болады. Мысалы, 1938 жылы Нильс Пиппинг шаршап, болжамды дейін тексерді. Компьютерлердің пайда болуымен n-нің көптеген мәндері тексерілді; Т. Оливейра е Сильва 2013 жылға дейін (және 4e17 дейін қайта тексерген) болжамды тексерген үлестірілген компьютерлік іздестіруді жүргізді. Осы іздестірудің бір деректері бойынша, 3,325,581,707,333,960,528 – 9781-ден кіші екі жай санның қосындысы түрінде жазылмайтын ең кіші сан. Кулли Хугилл мен Дудек Риман гипотезасына байланысты (ішінара және шартты) нәтижені дәлелдеді: барлық x ≥ 2 үшін (x, x + 9696 log^2 x) аралығында екі тақ жай санның қосындысы бар.

Танымал мәдениетте

Голдбахтың болжамы – Xu Chi жазған қытай математигі және сандар теориясының маманы Чэнь Цзиньрунның өмірбаянының атауы. Бұл болжам грек жазушысы Апостолос Доксиадистің 1992 жылғы "Петрос аға мен Голдбахтың болжамы" романының маңызды бөлігі, Исаак Азимовтың "Алпыс миллион триллион комбинациясы" атты әңгімесінде де, 2008 жылғы Мишель Ричмондтың "Сен танымайтын ешкім" құпия романында да орталық орын алады. Голдбахтың болжамы 2007 жылғы испандық "Ферма бөлмесі" фильмінің сюжетіне енгізілген. 2023 жылғы француз-швейцарлық "Маргарет теоремасы" фильмінде актриса Элла Румпфтың Маргарет кейіпкерінің зерттеу тақырыбы ретінде Голдбахтың болжамы көрсетілген.