Введение

Четные числа как сумма двух простых чисел

Гипотеза Гольдбаха — одна из старейших и наиболее известных нерешенных проблем в теории чисел и во всей математике. Она утверждает, что любое четное натуральное число, большее 2, является суммой двух простых чисел. Гипотеза была проверена для всех целых чисел меньше 4e18, но, несмотря на значительные усилия, остается недоказанной.

Частичные результаты

Сильная гипотеза Гольдбаха намного сложнее слабой гипотезы Гольдбаха. Используя метод Виноградова, Николай Чудаков, Иоганнес ван дер Корпут и Теодор Эстерманн показали, что почти все четные числа могут быть записаны как сумма двух простых чисел (в том смысле, что доля четных чисел до некоторого N, которые могут быть так записаны, стремится к 1 при увеличении N). В 1930 году Лев Шнирельман доказал, что любое натуральное число, большее 1, может быть записано как сумма не более C простых чисел, где C — эффективно вычислимая константа; см. плотность Шнирельмана. Постоянная Шнирельмана — это наименьшее число C, обладающее этим свойством. Этот результат впоследствии был усовершенствован многими авторами, такими как Оливье Рамаре, который в 1995 году показал, что каждое четное число n ≥ 4 на самом деле является суммой не более 6 простых чисел. Наилучший известный результат на данный момент получен в доказательстве слабой гипотезы Гольдбаха Харальдом Хельфготом, которое непосредственно подразумевает, что каждое четное число n ≥ 4 является суммой не более 4 простых чисел. В 1924 году Харди и Литтлвуд показали, что при предположении обобщенной гипотезы Римана число четных чисел до X, нарушающих гипотезу Гольдбаха, значительно меньше, чем для малых c.

В 1948 году, используя методы теории сит, Альфред Реньи показал, что каждое достаточно большое четное число может быть записано как сумма простого числа и почти простого числа с не более чем K множителями. Чэнь Цзиньрун в 1973 году, также используя теорию сит, показал, что каждое достаточно большое четное число может быть записано как сумма двух простых чисел или простого и полупростого числа (произведения двух простых чисел). Подробности см. в теореме Чэна. В 1975 году Хью Лоуэлл Монтгомери и Боб Вон показали, что "большинство" четных чисел представимы в виде суммы двух простых чисел. Более точно, они показали, что существуют положительные константы c и C, такие, что для всех достаточно больших чисел N каждое четное число меньше N является суммой двух простых чисел, за исключением не более чем CN^(1 − c) случаев. В частности, множество четных целых чисел, не являющихся суммой двух простых чисел, имеет плотность ноль. В 1951 году Юрий Линник доказал существование константы K, такой, что каждое достаточно большое четное число является суммой двух простых чисел и не более чем K степеней 2. Янош Пинц и Имре Руцца обнаружили в 2020 году, что K = 8 подходит. При предположении обобщенной гипотезы Римана K = 7 также подходит, как показали Роджер Хит Браун и Ян Кристоф Шлаге Пухта в 2002 году. Доказательство слабой гипотезы было представлено Харальдом Хельфготом в 2013 году в серию "Анналы математических исследований". Хотя статья была принята, Хельфгот решил внести существенные изменения, предложенные рецензентом. Несмотря на несколько редакций, доказательство Хельфготта до сих пор не опубликовано в рецензируемом издании. Слабая гипотеза следует из сильной, поскольку если n − 3 является суммой двух простых чисел, то n является суммой трех простых чисел. Однако обратное утверждение и, следовательно, сильная гипотеза Гольдбаха останутся недоказанными, если доказательство Хельфготта верно.

Вычислительные результаты

Для малых значений n сильная гипотеза Гольдбаха (и, следовательно, слабая гипотеза Гольдбаха) может быть проверена непосредственно. Например, в 1938 году Нильс Пиппинг кропотливо проверил гипотезу до. С появлением компьютеров было проверено гораздо больше значений n; Т. Оливейра и Сильва провели распределенный компьютерный поиск, который подтвердил гипотезу для (и повторно проверили до 4e17) по состоянию на 2013 год. Одним из результатов этого поиска является то, что 3 325 581 707 333 960 528 – наименьшее число, которое нельзя представить в виде суммы двух простых чисел, одно из которых меньше 9781. Кулли Хугилл и Дудек доказывают (частичный и условный) результат, основанный на гипотезе Римана: существует сумма двух нечетных простых чисел в интервале (x, x + 9696 log^2 x] для всех x ≥ 2.

В популярной культуре

"Предположение Гольдбаха" – название биографии китайского математика и теоретика чисел Чэнь Цзиньруна, написанной Сюй Чи. Это предположение является центральным элементом сюжета романа 1992 года "Дядя Петрос и предположение Гольдбаха" греческого писателя Апостолоса Доксиадиса, рассказа "Шестьдесят миллионов триллионов комбинаций" Айзека Азимова, а также романа-детектива 2008 года "Никто, кого ты не знаешь" Мишель Ричмонд. Предположение Гольдбаха играет роль в сюжете испанского фильма 2007 года "Комната Ферма". В французско-швейцарском фильме 2023 года "Теорема Маргариты" предположение Гольдбаха выступает в качестве основной темы исследования героини Маргариты, которую играет Элла Рампф.