Инфинитезимальды бұрылу матрицасы және оның қасиеттері
Infinitesimal rotation matrix
Инфинитезимальды бұрылыс матрицасы – бұл өте кішкентай бұрылысты көрсететін матрица. Ол бұрылыс алгебрасындағы қисайған симметриялы матрица, емес бұрылыс матрицасы. Математикада қолданылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Инфинитезимал айналу матрицасы немесе дифференциалдық айналу матрицасы – шексіз кіші айналымды көрсететін матрица. Айналу матрицасы – (арнайы ортогональды топтың) элементін білдіретін ортогональды матрица, ал айналудың дифференциалы – тангенттік кеңістіктегі (арнайы ортогональды Ли алгебрасы) кососимметриялық матрица, ол өзі айналу матрицасы емес. Инфинитезимал айналу матрицасы мынадай формада болады:
An infinitesimal rotation matrix or differential rotation matrix is a matrix representing an infinitely small rotation. While a rotation matrix is an orthogonal matrix representing an element of (the special orthogonal group), the differential of a rotation is a skew symmetric matrix in the tangent space (the special orthogonal Lie algebra), which is not itself a rotation matrix. An infinitesimal rotation matrix has the form
мұндағы – бірлік матрица, – нөлге жақын шама, және
where is the identity matrix, is vanishingly small, and
Мысалы, егер x осіне қатысты шексіз үш өлшемді айналуды білдірсе, онда негіз элементі:
For example, if representing an infinitesimal three dimensional rotation about the x axis, a basis element of
Инфинитезимал айналу матрицалары үшін есептеу ережелері әдеттегідей, бірақ екінші дәрежелі шамалар жиі алынып тасталады. Осы ережелерге сәйкес, бұл матрицалар шексіз кіші шамаларды әдеттегідей қарастыру кезінде, қалыпты айналу матрицалары сияқты барлық қасиеттерді қанағаттандырмайды. Айналудың қолданылу реті маңызды емес екені анықталды.
The computation rules for infinitesimal rotation matrices are as usual except that infinitesimals of second order are routinely dropped. With these rules, these matrices do not satisfy all the same properties as ordinary finite rotation matrices under the usual treatment of infinitesimals. It turns out that the order in which infinitesimal rotations are applied is irrelevant.
Ротация генераторлары
Егер айналу осі [x, y, z] бірлік векторымен берілсе, онда сол вектордың шамалы Δθ бұрышына қатысты шексіз кішкентай айналуы бар деп есептейік. Айналу матрицасын шексіз қосынды ретінде жазып, бірінші реттік жуықтау қолдансақ, ΔR айналу матрицасы былай өрнектеледі:
Suppose we specify an axis of rotation by a unit vector [x, y, z], and suppose we have an infinitely small rotation of angle Δθ about that vector. Expanding the rotation matrix as an infinite addition, and taking the first order approach, the rotation matrix ΔR is represented as:
θ бұрышына қатысты айналуды сол осьтің бойындағы кішкентай айналулардың тізбегі деп қарастыруға болады. Δθ-ны θ/N ретінде жуықтап алсақ, мұнда N – үлкен сан, онда осьтің бойындағы θ бұрышына қатысты айналуды былай бейнелеуге болады:
A finite rotation through angle θ about this axis may be seen as a succession of small rotations about the same axis. Approximating Δθ as θ/N, where N is a large number, a rotation of θ about the axis may be represented as:
Көрініп тұрғанындай, Эйлер теоремасы барлық айналуларды осы түрде бейнелеуге болады дейді. Aθ көбейтіндісі – бұл нақты айналудың «генераторы», яғни А матрицасына сәйкес келетін (x, y, z) векторы. Бұл айналу матрицасы мен ось-бұрыш форматы экспоненциалдық функция арқылы байланысты екенін көрсетеді. G генераторының қарапайым формуласын алуға болады. Біз a және b перпендикуляр бірлік векторларының жұбымен анықталған кез келген жазықтықтан бастаймыз. Бұл жазықтықта x-ке перпендикуляр y векторын кездейсоқ таңдауға болады. Содан кейін y-ді x арқылы өрнектеп, жазықтықтағы айналу формуласына қойсақ, R айналу матрицасын аламыз, оған генератор 1=G = baT − abT кіреді. Жазықтықтағы емес векторларды айналуға қосу үшін R формуласын екі проекция операторын қосып өзгерту қажет. Бұл өзгертілген айналу матрицасын экспоненциалдық функция түрінде қайта жазуға болады. Талдау көбінесе толық айналу матрицасына қарағанда осы генераторлармен жұмыс істегенде оңайырақ. Генераторлар арқылы талдау айналу тобының Ли алгебрасы деп аталады.
It can be seen that Euler's theorem essentially states that all rotations may be represented in this form. The product Aθ is the "generator" of the particular rotation, being the vector (x, y, z) associated with the matrix A. This shows that the rotation matrix and the axis angle format are related by the exponential function. One can derive a simple expression for the generator G. One starts with an arbitrary plane defined by a pair of perpendicular unit vectors a and b. In this plane one can choose an arbitrary vector x with perpendicular y. One then solves for y in terms of x and substituting into an expression for a rotation in a plane yields the rotation matrix R, which includes the generator 1=G = baT − abT. To include vectors outside the plane in the rotation one needs to modify the above expression for R by including two projection operators that partition the space. This modified rotation matrix can be rewritten as an exponential function. Analysis is often easier in terms of these generators, rather than the full rotation matrix. Analysis in terms of the generators is known as the Lie algebra of the rotation group.