Введение

Бесконечно малая матрица вращения или матрица дифференциального вращения — это матрица, представляющая бесконечно малое вращение. В то время как матрица вращения является ортогональной матрицей, представляющей элемент специальной ортогональной группы, дифференциал вращения является кососимметричной матрицей в тангентном пространстве (специальной ортогональной алгебры Ли), которая сама по себе не является матрицей вращения. Бесконечно малая матрица вращения имеет вид

где — единичная матрица, — величина, стремящаяся к нулю, и

Например, если представляет бесконечно малое трехмерное вращение вокруг оси x, то это является базисным элементом

Правила вычисления для бесконечно малых матриц вращения обычны, за исключением того, что бесконечно малые второго порядка обычно отбрасываются. При этих правилах эти матрицы не удовлетворяют всем тем же свойствам, что и обычные конечные матрицы вращения при стандартном обращении с бесконечно малыми величинами. Оказывается, порядок, в котором применяются бесконечно малые вращения, не имеет значения.

Генераторы вращения

Предположим, мы задаём ось вращения единичным вектором [x, y, z], и предположим, что у нас есть бесконечно малое вращение на угол Δθ вокруг этого вектора. Разлагая матрицу вращения как бесконечную сумму и используя приближение первого порядка, матрица вращения ΔR представляется как:

Конечное вращение на угол θ вокруг этой оси можно рассматривать как последовательность малых вращений вокруг той же оси. Приближая Δθ как θ/N, где N – большое число, вращение на угол θ вокруг оси можно представить как:

Можно заметить, что теорема Эйлера по сути утверждает, что все вращения могут быть представлены в этой форме. Произведение Aθ является "генератором" данного вращения, представляя собой вектор (x, y, z), связанный с матрицей A. Это показывает, что матрица вращения и представление оси-угла связаны экспоненциальной функцией. Можно вывести простое выражение для генератора G. Начинаем с произвольной плоскости, определяемой парой перпендикулярных единичных векторов a и b. В этой плоскости можно выбрать произвольный вектор x с перпендикулярным ему вектором y. Затем находим y через x и, подставляя в выражение для вращения в плоскости, получаем матрицу вращения R, которая включает генератор 1 = G = baᵀ − abᵀ. Чтобы включить в вращение векторы, лежащие вне плоскости, необходимо модифицировать вышеуказанное выражение для R, добавив два оператора проекции, которые разделяют пространство. Эту модифицированную матрицу вращения можно переписать в виде экспоненциальной функции. Анализ часто проще проводить с точки зрения этих генераторов, чем с использованием полной матрицы вращения. Анализ с точки зрения генераторов известен как алгебра Ли группы вращений.