Кіріспе
Көп фермионды жүйенің толқын функциясын құруға қолданылатын функция. Кванттық механикада Слэйтер детерминанты – көп фермионды жүйенің толқын функциясын сипаттайтын өрнек. Ол антисимметрия талаптарын және, нәтижесінде, Паули принципін екі электронды (немесе басқа фермионды) алмастырғанда таңбасын өзгерту арқылы орындайды. Барлық мүмкін фермиондық толқын функцияларының тек шағын бөлігін ғана бір Слэйтер детерминанты түрінде жазуға болады, бірақ олар қарапайымдылығының арқасында маңызды және пайдалы бөлік құрайды. Слэйтер детерминанты – электрондық жиынтық үшін толқындық функцияны қарастырудан туындайды, мұнда әр электронның толқындық функциясы спин-орбиталь деп аталады, ал ол бір электронның орнын және спинін көрсетеді. Егер Слэйтер детерминантында спин-орбиталы бірдей екі электрон болса, онда ол барлық жерде нөлге тең болатын толқындық функцияға сәйкес келеді. Слэйтер детерминанты 1929 жылы көп электронды толқын функциясының антисимметриясын қамтамасыз ету үшін детерминантты енгізген Джон С. Слэйтердің құрметіне аталған, бірақ детерминант түріндегі толқындық функция алғаш рет үш жыл бұрын Гейзенберг пен Дирактың мақалаларында тәуелсіз түрде пайда болған.
In quantum mechanics, a Slater determinant is an expression that describes the wave function of a multi fermionic system. It satisfies anti symmetry requirements, and consequently the Pauli principle, by changing sign upon exchange of two electrons (or other fermions). Only a small subset of all possible fermionic wave functions can be written as a single Slater determinant, but those form an important and useful subset because of their simplicity. The Slater determinant arises from the consideration of a wave function for a collection of electrons, each with a wave function known as the spin orbital , where denotes the position and spin of a single electron. A Slater determinant containing two electrons with the same spin orbital would correspond to a wave function that is zero everywhere. The Slater determinant is named for John C. Slater, who introduced the determinant in 1929 as a means of ensuring the antisymmetry of a many electron wave function, although the wave function in the determinant form first appeared independently in Heisenberg's and Dirac's articles three years earlier.
Екі бөлшектік корпус
Көп бөлшектік жүйенің толқын функциясын шамалаудың ең қарапайым жолы – жеке бөлшектердің дұрыс таңдалған ортогональды толқын функцияларының көбейтіндісін алу. Екі бөлшектік жағдай үшін координаталары және болатын жағдайда, бұл өрнек Хартри әдісінде көп бөлшектік толқын функциясы үшін бастапқы шарт ретінде қолданылады және Хартри көбейтіндісі деп аталады. Дегенмен, ол фермиондар үшін қанағаттанарлық емес, себебі жоғарыдағы толқын функциясы Паулидің тыйым салу принципіне сәйкес, кез келген екі фермион алмастырылғанда антисимметриялық болмайды. Антисимметриялық толқын функциясы математикалық тұрғыдан былай сипатталады: Бұл Хартри көбейтіндісіне қатысты жарамсыз, сондықтан Паули принципін қанағаттандырмайды. Бұл мәселені екі Хартри көбейтіндісінің сызықтық комбинациясын қолдану арқылы шешуге болады: мұндағы коэффициент – нормалау коэффициенті. Бұл толқын функциясы енді антисимметриялық және фермиондарды ажыратпайды (яғни, нақты бөлшектің реттік нөмірін көрсету мүмкін емес, ал берілген индекстер өзгертіліп қолданылуы мүмкін). Сонымен қатар, егер екі фермионның кез келген екі спиндік орбиталы бірдей болса, онда ол нөлге тең болады. Бұл Паулидің тыйым салу принципін қанағаттандырумен эквивалентті.
This expression is used in the Hartree method as an ansatz for the many particle wave function and is known as a Hartree product. However, it is not satisfactory for fermions because the wave function above is not antisymmetric under exchange of any two of the fermions, as it must be according to the Pauli exclusion principle. An antisymmetric wave function can be mathematically described as follows:
This does not hold for the Hartree product, which therefore does not satisfy the Pauli principle. This problem can be overcome by taking a linear combination of both Hartree products:
where the coefficient is the normalization factor. This wave function is now antisymmetric and no longer distinguishes between fermions (that is, one cannot indicate an ordinal number to a specific particle, and the indices given are interchangeable). Moreover, it also goes to zero if any two spin orbitals of two fermions are the same. This is equivalent to satisfying the Pauli exclusion principle.
Көп бөлшекті корпус
Бұл өрнекті кез келген фермион санына детерминант түрінде жазып, жалпылауға болады. N электрондық жүйе үшін Слейтер детерминанты былай анықталады:
Соңғы екі өрнекте Слейтер детерминанттарының ықшамдатылған жазу тәсілі қолданылған. Нормалау тұрақтысы N саны арқылы түсініледі және тек бір бөлшектің толқындық функциялары (бірінші ықшамдату) немесе фермион координаттарының индекстері (екінші ықшамдату) жазылады. Қалған барлық индекстер өсу ретімен тізілгендей болып есептеледі. Екі бөлшектік жағдайдағы Хартри көбейтінділерінің сызықтық комбинациясы N = 2 үшін Слейтер детерминантына тең. Слейтер детерминанттарын қолдану бастапқыда антисимметриялық функцияны қамтамасыз етеді. Сол сияқты, Слейтер детерминанттарын қолдану Паули принципіне сәйкестікті қамтамасыз етеді. Шындығында, егер жиын сызықтық тәуелді болса, Слейтер детерминанты нөлге тең болады. Атап айтқанда, бұл екі (немесе одан да көп) спиндік орбитальдар бірдей болған кезде орын алады. Химияда бұл фактіні былай түсіндіреді: бірдей спинге ие екі электрон бірдей кеңістіктік орбитальды бір мезгілде иелене алмайды.
Шамамен
Фермиондық толқын функцияларының көпшілігі Слейтер детерминанты түрінде бейнеленбейді. Белгілі бір фермиондық толқын функциясына ең жақын Слейтер жуықтамасы, Слейтер детерминанты мен мақсатты толқын функциясы арасындағы үйлесімдікті максималдау арқылы анықталады. Максималды үйлесімдік – фермиондар арасындағы байланыстың геометриялық өлшемі. Хартри-Фок теориясында электрондық толқын функциясын жуықтау үшін бір Слейтер детерминанты қолданылады. Күрделі теорияларда (конфигурациялық өзара әрекеттесу және MCSCF сияқты) Слейтер детерминанттарының сызықтық комбинациясы қажет.
Талқылау
"Детор" сөзін С. Ф. Бойз ортонормалды орбитальдардың Слейтер детерминантына сілтеме жасау үшін ұсынған, бірақ бұл термин сирек қолданылады. Паулидің тыйым салу принципіне бағынатын фермиондардан өзгеше, екі немесе одан көп бозон бірдей бір бөлшектік кванттық күйде болуы мүмкін. Бірдей бозондар жүйесін сипаттайтын толқындық функциялар бөлшектер алмасымында симметриялы болады және тұрақтылар арқылы кеңейтілуі мүмкін.