Кіріспе
Циклдің фазасы Классикалық және кванттық механикада геометриялық фаза — жүйе циклдік адиабатикалық процестерге түскен кезде цикл барысында қабылданатын фазалық айырмашылық, ол Гамильтонның параметрлік кеңістігінің геометриялық қасиеттерінен туындайды. Бұл құбылысты классикалық оптикада С. Панчаратнам (1956), ал молекулалық физикада Х. К. Лонгует-Хиггинс (1958) тәуелсіз түрде ашқан; оны Майкл Берри (1984) жалпылады. Оны Панчаратнам-Берри фазасы, Панчаратнам фазасы немесе Берри фазасы деп те атайды. Оны потенциалдық энергия беттерінің конустық қиылысында және Ахаронов-Бом эффектісінде байқауға болады. C6H3F3+ молекулалық ионының негізгі электрондық күйін қамтитын конустық қиылыстың геометриялық фазасы Бункер мен Дженсеннің оқулығының 385–386 беттерінде талқыланады. Ахаронов-Бом эффектісі жағдайында адиабатикалық параметр — екі интерференциялық жолмен қоршалған магнит өрісі, және бұл екі жол орама түзеді деген мағынада циклдік. Конустық қиылыс жағдайында адиабатикалық параметрлер — молекулалық координаттар. Кванттық механикадан басқа, ол классикалық оптика сияқты басқа да толқындық жүйелерде пайда болады. Басқаша айтқанда, топологиядағы қандай да бір ерекшелік немесе тесіктің маңында толқынды сипаттайтын кем дегенде екі параметр болғанда орын алуы мүмкін; екі параметр қажет, өйткені ерекшеліксіз күйлер жиынтығы қарапайым түрде байланыспайды немесе нөлдік емес голономия болады. Толқындар амплитуда және фаза арқылы сипатталады және осы параметрлерге байланысты өзгеруі мүмкін. Геометриялық фаза екі параметр бір мезгілде, бірақ өте баяу (адиабатикалық) өзгертілгенде және соңында бастапқы конфигурацияға қайтарылғанда пайда болады. Кванттық механикада бұл бөлшектердің айналуын және трансляциясын қамтуы мүмкін, олар соңында жойылғандай көрінеді. Жүйедегі толқындар амплитудалар мен фазалармен сипатталған бастапқы күйге оралады деп күтуге болады (уақыттың өтуін ескере отырып). Алайда, егер параметрлік ауытқулар циклге сәйкес келсе, ал өздігінен кері қайтып келудің орнына алға-артына ауытқу болса, онда бастапқы және соңғы күйлер олардың фазаларында өзгеше болуы мүмкін. Бұл фазалық айырмашылық — геометриялық фаза, және оның пайда болуы жүйе параметрінің тәуелділігі параметрлердің кейбір комбинациясы үшін ерекше екенін (оның күйі анықталмаған) көрсетеді. Толқындық жүйеде геометриялық фазаны өлшеу үшін интерференциялық эксперимент қажет. Фуко маятнигі — кейде геометриялық фазаны көрсету үшін қолданылатын классикалық механиканың мысалы. Геометриялық фазаның механикадағы аналогы Ханней бұрышы деп аталады.
In classical and quantum mechanics, geometric phase is a phase difference acquired over the course of a cycle, when a system is subjected to cyclic adiabatic processes, which results from the geometrical properties of the parameter space of the Hamiltonian. The phenomenon was independently discovered by S. Pancharatnam (1956), in classical optics and by H. C. Longuet Higgins (1958) in molecular physics; it was generalized by Michael Berry in (1984). It is also known as the Pancharatnam–Berry phase, Pancharatnam phase, or Berry phase. It can be seen in the conical intersection of potential energy surfaces and in the Aharonov–Bohm effect. Geometric phase around the conical intersection involving the ground electronic state of the C6H3F3+ molecular ion is discussed on pages 385–386 of the textbook by Bunker and Jensen. In the case of the Aharonov–Bohm effect, the adiabatic parameter is the magnetic field enclosed by two interference paths, and it is cyclic in the sense that these two paths form a loop. In the case of the conical intersection, the adiabatic parameters are the molecular coordinates. Apart from quantum mechanics, it arises in a variety of other wave systems, such as classical optics. As a rule of thumb, it can occur whenever there are at least two parameters characterizing a wave in the vicinity of some sort of singularity or hole in the topology; two parameters are required because either the set of nonsingular states will not be simply connected, or there will be nonzero holonomy. Waves are characterized by amplitude and phase, and may vary as a function of those parameters. The geometric phase occurs when both parameters are changed simultaneously but very slowly (adiabatically), and eventually brought back to the initial configuration. In quantum mechanics, this could involve rotations but also translations of particles, which are apparently undone at the end. One might expect that the waves in the system return to the initial state, as characterized by the amplitudes and phases (and accounting for the passage of time). However, if the parameter excursions correspond to a loop instead of a self retracing back and forth variation, then it is possible that the initial and final states differ in their phases. This phase difference is the geometric phase, and its occurrence typically indicates that the system's parameter dependence is singular (its state is undefined) for some combination of parameters. To measure the geometric phase in a wave system, an interference experiment is required. The Foucault pendulum is an example from classical mechanics that is sometimes used to illustrate the geometric phase. This mechanics analogue of the geometric phase is known as the Hannay angle.
Кванттық механикадағы Бери фазасы
Кванттық жүйеде n-ші өзіндік күйде, гамильтонианның адиабатикалық эволюциясы жүйенің гамильтонианның n-ші өзіндік күйінде қалатынын, сонымен қатар фазалық факторды алатынын көрсетеді. Алынған фазаның үлесі күйдің уақыт бойынша эволюциясынан және өзгеретін гамильтонианмен өзіндік күйдің өзгеруінен тұрады. Екінші мүше – Берри фазасы, ал гамильтонианның циклдық емес өзгерулері үшін оны эволюцияның әр нүктесінде гамильтонианның өзіндік күйлерімен байланысты фазаны басқаша таңдау арқылы жоюға болады. Дегенмен, егер өзгеру циклдық болса, Берри фазасын жою мүмкін емес; ол өзгермейді және жүйенің байқалатын қасиетіне айналады. Макс Борн мен Владимир Фоктың "Zeitschrift für Physik 51, 165" (1928) журналында келтірілген адиабатикалық теореманың дәлелін қарастырып, адиабатикалық процестің барлық өзгеруін фазалық мүше ретінде сипаттауға болады. Адиабатикалық жуықтау бойынша, адиабатикалық процесс кезіндегі n-ші өзіндік күйдің коэффициенті келесідей беріледі:
мұнда – t параметріне қатысты Берри фазасы. t айнымалысын жалпыланған параметрлерге өзгерту арқылы Берри фазасын былай қайта жазуға болады:
мұнда параметрі циклдық адиабатикалық процесті параметризациялайды. Интегралдың нормалануы интегралдың жолға айналғанын білдіреді, сондықтан ол нақты сан болады. Ол тиісті параметр кеңістігінде жабық контурді құрайды. Жабық контур бойындағы геометриялық фазаны контурмен қоршалған беттегі Берри қисықтығын интегралдау арқылы да есептеуге болады.
Фуко маятнигі
Ең қарапайым мысалдардың бірі – Фуко маятнигі. Вилчек пен Шапере геометриялық фазалар тұрғысынан оңай түсіндірме береді:
Басқаша айтқанда, маятниктің прецессиясына себеп болатын инерциялық күштер жоқ, сондықтан прецессия (маятникті алып жүретін жолдың қозғалыс бағытына қатысты) толығымен осы жолдың бұрылуына байланысты. Осылайша маятниктің бағдары параллель көшіріледі. Фуконың түпкілікті маятнигі үшін жол – ендік шеңбері, ал Гаусс-Бонне теоремасы бойынша фазалық өзгеріс қоршалған кеңістіктік бұрышпен анықталады.
Оптикалық талшықтағы поляризацияланған жарық
Екінші мысал – бір режимді оптикалық талшыққа кіретін сызықты поляризацияланған жарық. Егер талшық кеңістікте белгілі бір жолды өтеді деп есептесек, және жарық талшықтан кірген бағытта шықса, бастапқы және соңғы поляризацияларды салыстырыңыз. Жартылай классикалық жуықтауда талшық толқын жетекші ретінде жұмыс істейді, ал жарықтың импульсі әрқашан талшыққа жанасады. Поляризацияны импульске перпендикуляр бағыт ретінде қарастыруға болады. Талшық өзінің жолын салып өткенде, жарықтың импульс векторы импульс кеңістігіндегі сферада жол салады. Бұл жол жабық, себебі жарықтың бастапқы және соңғы бағыттары сәйкес келеді, ал поляризация сфераға жанасатын вектор болып табылады. Импульс кеңістігіне өту – Гаусс картасын құрумен тең. Поляризацияны бұруға ешқандай күштер әсер етпейді, тек сфераға жанасатын болу қажеттілігі ғана бар. Осылайша поляризация параллель көшіруге ұшырайды, ал фазалық ығысу жабық кеңістіктік бұрышпен анықталады (спинге көбейтілген, жарық үшін бұл шама 1-ге тең).
Стохастикалық сорғы әсері
Стохастикалық насос – параметрлердің периодтық өзгеруіне орташа есеппен нөлдік емес токтармен жауап беретін классикалық стохастикалық жүйе. Стохастикалық насос эффектісін стохастикалық токтардың моменттерді тудыру функциясының геометриялық фазалық эволюциясы арқылы түсіндіруге болады.
Айналу
Геометриялық фазаны магнит өрісіндегі спин бөлшегі үшін дәл бағалауға болады. Сол сияқты геометриялық фазаны, белгілі бір циклдік тартымдылықтары бар сызықтық емес диссипативтік жүйелер сияқты, мүлдем басқа жүйелер үшін де анықтауға болады. Олар мұндай циклдік тартымдылықтардың белгілі бір симметриялары бар сызықтық емес диссипативтік жүйелер класында бар екенін көрсетті. Берри фазасының осы жалпылануының бірнеше маңызды аспектілері бар: 1) Бастапқы Берри фазасының параметрлік кеңістігі орнына, бұл Нинг Хакеннің жалпылануы фазалық кеңістікте анықталады; 2) Кванттық механикалық жүйедегі адиабатикалық эволюцияның орнына, фазалық кеңістіктегі жүйенің эволюциясы міндетті түрде адиабатикалық болуы керек емес. Уақытша эволюцияның уақыт масштабына ешқандай шектеу қойылмайды; 3) Сызықтық демпферлеуі бар гермиттік немесе гермиттік емес жүйелердің орнына, жүйелер жалпы сызықтық емес және гермиттік емес болуы мүмкін.
Циклотрон қозғалысының геометриялық фазасы мен кванттау
Магниттік өріске түскен электрон дөңгелек (циклотрон) орбитада қозғалады. Классикалық тұрғыдан, кез келген циклотрон радиусы қабылданады. Кванттық механикада тек дискретті энергия деңгейлері (Ландау деңгейлері) ғана рұқсат етіледі, ал электронның энергиясы оған байланысты болғандықтан, бұл энергияны кванттау шартына сәйкес келеді. Бұл шарт, мысалы, еркін электрондар үшін (вакуумда) немесе графендегі электрондар үшін Шредингер теңдеуін шешу арқылы алынады, мұнда . Бұл нәтижелерді алу қиын болмаса да, оларды алудың баламалы тәсілі бар, ол Ландау деңгейлерінің квантталуын физикалық жағынан жақсырақ түсінуге көмектеседі. Бұл баламалы тәсіл жартылай классикалық Бор-Зоммерфельд кванттау шартына негізделген, ол электрон циклотрон орбитасының жабық циклы бойымен қозғалғанда жинаған геометриялық фазаны қамтиды. Еркін электрондар үшін , ал графендегі электрондар үшін . Геометриялық фаза еркін электрондардың және графендегі электрондардың тікелей байланысты.
which includes the geometric phase picked up by the electron while it executes its (real space) motion along the closed loop of the cyclotron orbit. For free electrons, while for electrons in graphene. It turns out that the geometric phase is directly linked to of free electrons and of electrons in graphene.