Кіріспе

Кванттық механикалық модель

Кванттық механикада сфералық симметриялық потенциал – бұл потенциалы сфералық орталықтан радиалдық қашықтыққа және кеңістіктегі орналасуға ғана тәуелді болатын жүйе. Сфералық симметриялық потенциалдағы бөлшек сол потенциалға сәйкес қалыптасады, сондықтан оны, мысалы, сутек атомындағы электронды немесе химиялық байланыстардың қалыптасуын жуықтау үшін пайдалануға болады. Жалпы, уақытқа тәуелсіз жағдайда, сфералық симметриялық потенциалдағы бөлшектің динамикасы келесі формадағы Гамильтондық оператормен анықталады: Мұнда, – бөлшектің массасы, – импульс операторы, ал потенциал тек позиция векторының ұзындығына, яғни координаталардың басынан радиалдық қашықтыққа тәуелді (содан мәселенің сфералық симметриясы туындайды). Сфералық симметриялы жүйедегі бөлшекті сипаттау үшін сфералық координаттарды қолдану ыңғайлы: , және . Уақытқа тәуелсіз Шредингер теңдеуі бұл жүйе үшін бөлінетін, ішінара дифференциалдық теңдеу болып табылады. Бұл теңдеудің бұрыштық координаталарына қатысты шешімдерін радиалдық координатадан тәуелсіз табуға болады. Соның нәтижесінде тек радиусқа байланысты қарапайым дифференциалдық теңдеу қалады, , ол берілген потенциал үшін бөлшектің өзіндік күйлерін анықтайды, .

Вакуумдық жағдайлар

Енді қарастырайық. Өлшемсіз айнымалыларды енгізгенде теңдеу Бессель теңдеуіне айналады: , мұнда оң энергиялар үшін тұрақты шешімдер бірінші түрдегі Бессель функциялары деп аталады, сондықтан үшін жазылған шешімдер сфералық Бессель функциялары деп аталады.

Вакуумдағы полярлық координаттардағы Шредингер теңдеуінің шешімдері үш кванттық санмен сипатталады: дискретті индекстер ℓ және m, ал k үздіксіз өзгереді: Бұл шешімдер нақты бұрыштық импульстің күйлерін, ал емес нақты (сызықтық) импульстің күйлерін көрсетеді, олар жазық толқындармен беріледі.

"Квадрат" потенциалы шекті сфера

Потенциалды қарастырайық және басқа жерде, яғни радиусы *R* болатын сфераның ішінде потенциал *V₀* тең, ал сфераның сыртында нөлге тең. Мұндай шекті үздіксіздігі бар потенциалды шаршы потенциал деп атайды. Біз алдымен байланысқан күйлерді, яғни бөлшектің көбінесе қораптың ішінде болатын күйлерді (шектеулі күйлерді) қарастырамыз. Олардың энергиясы сфераның сыртындағы потенциалдан кем, яғни олардың энергиясы теріс. Сондай-ақ, Кулон потенциалынан айырмашылығы, дискретті байланысқан күйлердің шексіз саны бар, ал шар тәрізді квадрат құдықта тек шекті (болған жағдайда) саны бар, себебі оның шекті қашықтығы бар. Шешімді табу, жоғарыдағы вакуумдық жағдай сияқты, жалпы толқындық функцияны нормализациялаумен бірге екі Шредингер теңдеуін шешу арқылы жүзеге асырылады – сфераның ішінде және сыртында, яғни тұрақты потенциалмен. Нормалданатын физикалық толқындық функция үшін келесі шарттар орындалуы керек:

Толқындық функция нөлде реттелген болуы керек. Толқындық функция және оның туындысы потенциалдың үздіксіздігінде үздіксіз болуы керек. Толқындық функция шексіздікте жақындасуы керек. Бірінші шарт Нейман және Ханкель функцияларының нөлде ерекшеліктерінен туындайды. Физикалық талап, вакуумдық жағдайдағы басқа мүмкіндіктердің арасынан бірінші түріндегі Бессель функциясын таңдау керек. Осы себепті, шешім сфераның ішінде осы түрінде болады: Ескеріңіз, байланысқан күйлер үшін, байланысқан күйлер вакуумдық жағдаймен салыстырғанда жаңалық әкеледі. Бұл, үшінші шартпен бірге, шексіздіктегі жалғыз жақындасатын шешім ретінде бірінші түріндегі Ханкель функциясын таңдайды (осы функциялардың нөлдегі ерекшелігі маңызды емес, себебі біз қазір сфераның сыртындамыз): Екінші шарт, *r* = *R* нүктесіндегі үздіксіздік және нормализация, *A* және *B* тұрақтыларын анықтауға мүмкіндік береді. Туындының үздіксіздігі (немесе ыңғайлылық үшін логарифмдік туындысы) энергияның квантталуын қажет етеді.

"Квадрат" потенциалы шексіз сфера

Потенциалдық ұңғыма шексіз терең болған жағдайда, сфераның ішінде және сыртында мән алуға болады. Мәселе сфераның ішіндегі толқын функциясын (сфералық Бессел функцияларын) сфераның сыртындағы толығымен нөлдік толқын функциясымен сәйкестендіруге келтіріледі. Рұқсат етілген энергиялар – радиалды толқын функциясы шекарада нөлге тең болатын энергиялар. Осылайша, энергия спектрін және толқын функцияларын табу үшін сфералық Бессел функцияларының нөлдерін пайдаланамыз. -ті k-шы нөл деп белгілесек: мәселе осы нөлдерді есептеуге дейін тоғытылады, әдетте кесте немесе калькулятор көмегімен, себебі жалпы жағдайда бұл нөлдерді аналитикалық түрде шешу мүмкін емес. Ерекше жағдайда (сфералық симметриялық орбитальдар) сфералық Бессел функциясы , оның нөлдерін былай беруге болады: Сәйкесінше, энергияның өзіндік мәндері: