Введение
Функция, которая может быть использована для построения волновой функции многофермионной системы. В квантовой механике детерминант Слейтера — это выражение, описывающее волновую функцию многофермионной системы. Он удовлетворяет требованиям антисимметрии и, следовательно, принципу Паули, меняя знак при перестановке двух электронов (или других фермионов). Лишь небольшая часть всех возможных фермионных волновых функций может быть записана в виде одного детерминанта Слейтера, но они образуют важную и полезную часть из-за своей простоты. Детерминант Слейтера возникает при рассмотрении волновой функции для набора электронов, каждый из которых имеет волновую функцию, известную как спин-орбиталь, где обозначается положение и спин одного электрона. Детерминант Слейтера, содержащий два электрона с одинаковой спин-орбиталью, будет соответствовать волновой функции, равной нулю во всех точках пространства. Детерминант Слейтера назван в честь Джона С. Слейтера, который в 1929 году ввел этот детерминант как способ обеспечения антисимметрии многоэлектронной волновой функции, хотя волновая функция в детерминантной форме впервые независимо появилась в работах Гейзенберга и Дирака за три года до этого.
In quantum mechanics, a Slater determinant is an expression that describes the wave function of a multi fermionic system. It satisfies anti symmetry requirements, and consequently the Pauli principle, by changing sign upon exchange of two electrons (or other fermions). Only a small subset of all possible fermionic wave functions can be written as a single Slater determinant, but those form an important and useful subset because of their simplicity. The Slater determinant arises from the consideration of a wave function for a collection of electrons, each with a wave function known as the spin orbital , where denotes the position and spin of a single electron. A Slater determinant containing two electrons with the same spin orbital would correspond to a wave function that is zero everywhere. The Slater determinant is named for John C. Slater, who introduced the determinant in 1929 as a means of ensuring the antisymmetry of a many electron wave function, although the wave function in the determinant form first appeared independently in Heisenberg's and Dirac's articles three years earlier.
Двухчастичный случай
Самый простой способ аппроксимировать волновую функцию многочастичной системы — взять произведение правильно выбранных ортогональных волновых функций отдельных частиц. Для случая двух частиц с координатами и , мы имеем:
Это выражение используется в методе Хартри в качестве пробной функции (анзаца) для волновой функции многих частиц и известно как произведение Хартри. Однако оно неудовлетворительно для фермионов, поскольку волновая функция, представленная выше, не является антисимметричной относительно перестановки любых двух фермионов, как того требует принцип исключения Паули. Антисимметричную волновую функцию можно математически описать следующим образом:
Это не применимо к произведению Хартри, которое, следовательно, не удовлетворяет принципу Паули. Эту проблему можно решить, взяв линейную комбинацию двух произведений Хартри:
где коэффициент является нормировочным множителем. Эта волновая функция теперь антисимметрична и больше не различает фермионы (то есть нельзя присвоить порядковый номер конкретной частице, а указанные индексы взаимозаменяемы). Кроме того, она обращается в ноль, если любые две спиновые орбитали двух фермионов совпадают. Это эквивалентно соблюдению принципа исключения Паули.
Многочастичный корпус
Выражение может быть обобщено на любое число фермионов, представив его в виде детерминанта. Для системы из N электронов детерминант Слейтера определяется как
где два последних выражения используют сокращенную запись для детерминантов Слейтера: постоянная нормировки подразумевается указанием числа N, и записываются только волновые функции одной частицы (первое сокращение) или индексы координат фермионов (второе сокращение). Все пропущенные метки подразумеваются упорядоченными по возрастанию. Линейная комбинация произведений Хартри для случая двух частиц идентична детерминанту Слейтера при N = 2. Использование детерминантов Слейтера гарантирует антисимметричную функцию изначально. Аналогичным образом, использование детерминантов Слейтера обеспечивает соответствие принципу Паули. Действительно, детерминант Слейтера обращается в нуль, если множество линейно зависимо. В частности, это происходит, когда два (или более) спиновых орбитали совпадают. В химии этот факт формулируется как утверждение, что два электрона с одинаковым спином не могут занимать одну и ту же пространственную орбиталь.
В качестве приближения
Большинство фермионных волновых функций не могут быть представлены в виде детерминанта Слейтера. Наилучшее приближение Слейтера для заданной фермионной волновой функции определяется как то, которое максимизирует перекрытие между детерминантом Слейтера и целевой волновой функцией. Максимальное перекрытие является геометрической мерой запутанности между фермионами. В теории Хартри-Фока в качестве приближения к электронной волновой функции используется один детерминант Слейтера. В более точных теориях (таких как метод конфигурационных взаимодействий и MCSCF) требуется линейная комбинация детерминант Слейтера.
Обсуждение
Слово "детор" было предложено С. Ф. Бойсом для обозначения определителя Слейтера ортонормированных орбиталей, но этот термин используется редко. В отличие от фермионов, которым подчиняется принцип исключения Паули, два или более бозонов могут занимать одно и то же одночастичное квантовое состояние. Волновые функции, описывающие системы идентичных бозонов, симметричны относительно перестановки частиц и могут быть разложены в ряд по постоянным.