Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Изучение воздействия сил на не́деформируемые тела
Study of the effects of forces on undeformable bodies
В физической науке динамики, динамика жёстких тел изучает движение систем взаимосвязанных тел под действием внешних сил. Предположение о жёсткости тел (то есть об их не́деформируемости под действием приложенных сил) упрощает анализ, поскольку сокращает количество параметров, описывающих конфигурацию системы, до поступательного и вращательного движения систем отсчёта, связанных с каждым телом. Это исключает тела, демонстрирующие свойства жидкостей, высокую эластичность и пластичность. Динамика системы жёстких тел описывается законами кинематики и применением второго закона Ньютона (кинетики) или его вариационной формы – механики Лагранжа. Решение этих уравнений движения даёт описание положения, движения и ускорения отдельных компонентов системы, а также системы в целом, как функции времени. Формулировка и решение задач динамики жёсткого тела является важным инструментом при компьютерном моделировании механических систем.
In the physical science of dynamics, rigid body dynamics studies the movement of systems of interconnected bodies under the action of external forces. The assumption that the bodies are rigid (i. e. they do not deform under the action of applied forces) simplifies analysis, by reducing the parameters that describe the configuration of the system to the translation and rotation of reference frames attached to each body. This excludes bodies that display fluid, highly elastic, and plastic behavior. The dynamics of a rigid body system is described by the laws of kinematics and by the application of Newton's second law (kinetics) or their derivative form, Lagrangian mechanics. The solution of these equations of motion provides a description of the position, the motion and the acceleration of the individual components of the system, and overall the system itself, as a function of time. The formulation and solution of rigid body dynamics is an important tool in the computer simulation of mechanical systems.
Описание ориентации или положения
Разработано несколько методов описания ориентации жесткого тела в трехмерном пространстве. Они изложены в следующих разделах.
Several methods to describe orientations of a rigid body in three dimensions have been developed. They are summarized in the following sections.
Угол Эйлера
Первая попытка представить ориентацию приписывается Леонарду Эйлеру. Он представил себе три системы отсчета, вращающиеся одна относительно другой, и понял, что, начиная с фиксированной системы отсчета и выполняя три последовательных вращения, можно получить любую другую систему отсчета в пространстве (используя два вращения для фиксации вертикальной оси и третье – для фиксации двух других осей). Значения этих трех вращений называются углами Эйлера. Обычно для обозначения прецессии, нутации и собственного вращения используются обозначения , и соответственно.
The first attempt to represent an orientation is attributed to Leonhard Euler. He imagined three reference frames that could rotate one around the other, and realized that by starting with a fixed reference frame and performing three rotations, he could get any other reference frame in the space (using two rotations to fix the vertical axis and another to fix the other two axes). The values of these three rotations are called Euler angles. Commonly, is used to denote precession, nutation, and intrinsic rotation.
Уголки Тайта Брайана
Это три угла, также известные как рыскание, тангаж и крен, навигационные углы и углы Кардана. Математически они составляют одно из шести возможных представлений внутри двенадцати возможных наборов углов Эйлера, порядок которых наиболее удобен для описания ориентации транспортного средства, например, самолета. В аэрокосмической инженерии их обычно называют углами Эйлера.
These are three angles, also known as yaw, pitch and roll, Navigation angles and Cardan angles. Mathematically they constitute a set of six possibilities inside the twelve possible sets of Euler angles, the ordering being the one best used for describing the orientation of a vehicle such as an airplane. In aerospace engineering they are usually referred to as Euler angles.
Вектор ориентации
Эйлер также осознал, что композиция двух вращений эквивалентна одному вращению вокруг другой фиксированной оси (теорема Эйлера о вращении). Следовательно, композиция первых трех углов должна соответствовать одному вращению, ось которого было сложно вычислить до разработки матриц. Исходя из этого, он ввел векторный способ описания любого вращения, используя вектор, лежащий на оси вращения, и модуль, равный величине угла. Таким образом, любая ориентация может быть представлена вектором вращения (также называемым вектором Эйлера), который переводит её из системы координат. При использовании для представления ориентации вектор вращения обычно называют вектором ориентации или вектором углов. Подобный метод, называемый представлением «угол-ось», описывает вращение или ориентацию с помощью единичного вектора, направленного вдоль оси вращения, и отдельного значения, указывающего угол (см. рисунок).
Euler also realized that the composition of two rotations is equivalent to a single rotation about a different fixed axis (Euler's rotation theorem). Therefore, the composition of the former three angles has to be equal to only one rotation, whose axis was complicated to calculate until matrices were developed. Based on this fact he introduced a vectorial way to describe any rotation, with a vector on the rotation axis and module equal to the value of the angle. Therefore, any orientation can be represented by a rotation vector (also called Euler vector) that leads to it from the reference frame. When used to represent an orientation, the rotation vector is commonly called orientation vector, or attitude vector. A similar method, called axis angle representation, describes a rotation or orientation using a unit vector aligned with the rotation axis, and a separate value to indicate the angle (see figure).
Матрица ориентации
С введением матриц теоремы Эйлера были переформулированы. Вращения описывались ортогональными матрицами, называемыми матрицами вращения или матрицами направляющих косинусов. При использовании для представления ориентации матрица вращения обычно называется матрицей ориентации или матрицей углов. Вышеупомянутый вектор Эйлера является собственным вектором матрицы вращения (матрица вращения имеет единственное вещественное собственное значение). Произведение двух матриц вращения представляет собой композицию вращений. Следовательно, как и ранее, ориентация может быть задана как вращение от исходной системы координат к системе координат, которую необходимо описать. Конфигурационное пространство несимметричного объекта в n-мерном пространстве – SO(n) × Rn. Ориентацию можно представить, прикрепив к объекту базис тангенциальных векторов. Направление, в котором указывает каждый вектор, определяет ориентацию объекта.
With the introduction of matrices the Euler theorems were rewritten. The rotations were described by orthogonal matrices referred to as rotation matrices or direction cosine matrices. When used to represent an orientation, a rotation matrix is commonly called orientation matrix, or attitude matrix. The above mentioned Euler vector is the eigenvector of a rotation matrix (a rotation matrix has a unique real eigenvalue). The product of two rotation matrices is the composition of rotations. Therefore, as before, the orientation can be given as the rotation from the initial frame to achieve the frame that we want to describe. The configuration space of a non symmetrical object in n dimensional space is SO(n) × Rn. Orientation may be visualized by attaching a basis of tangent vectors to an object. The direction in which each vector points determines its orientation.
Ориентационный квартернион
Другой способ описать вращения — использование кватернионов вращения, также называемых версорами. Они эквивалентны матрицам вращения и векторам вращения. По сравнению с векторами вращения, их можно более легко преобразовывать в матрицы и обратно. При использовании для представления ориентации, кватернионы вращения обычно называют кватернионами ориентации или кватернионами углового положения.
Another way to describe rotations is using rotation quaternions, also called versors. They are equivalent to rotation matrices and rotation vectors. With respect to rotation vectors, they can be more easily converted to and from matrices. When used to represent orientations, rotation quaternions are typically called orientation quaternions or attitude quaternions.
Второй закон Ньютона в трех измерениях
Для рассмотрения динамики жесткого тела в трехмерном пространстве второй закон Ньютона необходимо расширить, чтобы определить взаимосвязь между движением жесткого тела и системой сил и моментов сил, действующих на него. Ньютон сформулировал свой второй закон для частицы следующим образом: "Изменение движения объекта пропорционально приложенной силе и происходит в направлении прямой, по которой эта сила приложена". Поскольку Ньютон обычно подразумевал под "движением" частицы произведение массы на скорость, фраза "изменение движения" относится к произведению массы на ускорение частицы, и поэтому этот закон обычно записывается как
To consider rigid body dynamics in three dimensional space, Newton's second law must be extended to define the relationship between the movement of a rigid body and the system of forces and torques that act on it. Newton formulated his second law for a particle as, "The change of motion of an object is proportional to the force impressed and is made in the direction of the straight line in which the force is impressed." Because Newton generally referred to mass times velocity as the "motion" of a particle, the phrase "change of motion" refers to the mass times acceleration of the particle, and so this law is usually written as
где F понимается как единственная внешняя сила, действующая на частицу, m – масса частицы, а a – вектор ускорения. Расширение второго закона Ньютона на жесткие тела достигается путем рассмотрения жесткой системы частиц.
where F is understood to be the only external force acting on the particle, m is the mass of the particle, and a is its acceleration vector. The extension of Newton's second law to rigid bodies is achieved by considering a rigid system of particles.
Виртуальная работа сил, действующих на жесткое тело
Альтернативная формулировка динамики жесткого тела, обладающая рядом удобных свойств, получается при рассмотрении виртуальной работы сил, действующих на это тело. Виртуальная работа сил, действующих в различных точках одного жесткого тела, может быть вычислена с использованием скоростей точек их приложения, а также результирующей силы и момента. Чтобы понять это, рассмотрим силы F1, F2, ..., Fn, действующие на точки R1, R2, ..., Rn в жестком теле. Траектории точек Ri, где i = 1, 2, ..., n, определяются движением жесткого тела. Скорости этих точек Ri вдоль их траекторий равны
An alternate formulation of rigid body dynamics that has a number of convenient features is obtained by considering the virtual work of forces acting on a rigid body. The virtual work of forces acting at various points on a single rigid body can be calculated using the velocities of their point of application and the resultant force and torque. To see this, let the forces F1, F2 Fn act on the points R1, R2 Rn in a rigid body. The trajectories of Ri, 1=i = 1, , n are defined by the movement of the rigid body. The velocity of the points Ri along their trajectories are
где ω – вектор угловой скорости тела.
where ω is the angular velocity vector of the body.
Форма Д'Аламберта принципа виртуального труда
Уравнения движения механической системы жестких тел могут быть определены с использованием формы принципа виртуальной работы Д'Аламбера. Принцип виртуальной работы применяется для изучения статического равновесия системы жестких тел, однако, путем введения членов, учитывающих ускорение, в законы Ньютона, этот подход обобщается для определения динамического равновесия.
The equations of motion for a mechanical system of rigid bodies can be determined using D'Alembert's form of the principle of virtual work. The principle of virtual work is used to study the static equilibrium of a system of rigid bodies, however by introducing acceleration terms in Newton's laws this approach is generalized to define dynamic equilibrium.